高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何 理

1、隨堂講義 專題五立體幾何 第三講空間向量與立體幾何,求解立體幾何問題是高考的必考內(nèi)容，每套試卷必有立體幾何解答題，一般設(shè)2至3問，前一問較簡單，最后一問難度較大，而選用向量法可以降低解題難度 預(yù)測2016年高考仍以棱柱或棱錐為載體，第一問求證線面平行、垂直關(guān)系，第二或第三問則求角或探索存在性問題，有一定難度,解析：解法一(1)取CD中點(diǎn)O，連接OB，OM,2如下圖所示，在四棱錐 OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn) (1)證明：直線MN平面OCD； (2)求異面直線AB與MD所成角的大??； (3)求點(diǎn)B到平面OCD的距離,

2、解析：解法一(綜合法) (1)如右圖所示，取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE， MEAB，ABCD， MECD. 又NEOC， 平面MNE平面OCD. MN平面OCD,思路點(diǎn)撥：(1)要證明線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；(2)求二面角的平面角，一種方法是利用空間線面之間的推理論證關(guān)系作出二面角的平面角，通過解三角形知識求解；另一種方法是建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)坐標(biāo)及二面角的兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求解,解析：(1)四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都相等， 四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1均為菱形， ACBDO，A1C1B1D1O1， O，O1分別為B

3、D，B1D1中點(diǎn) 四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1為矩形， OO1CC1BB1且CC1AC，BB1BD. OO1BD，OO1AC， 又ACBDO且AC，BD底面ABCD， OO1底面ABCD,2)解法一過O1作B1O的垂線交B1O于點(diǎn)H，連接HO1，HC1，設(shè)四棱柱ABCDA1B1C1D1的邊長為2a. OO1底面ABCD且底面ABCD面A1B1C1D1， OO1面A1B1C1D1. 又O1C1面A1B1C1D1， O1C1OO1. 四邊形A1B1C1D1為菱形， O1C1O1B1. 又O1C1OO1且OO1O1C1O1，O1O、O1B1面OB1D,O1C1面OB1D. 又B1O面OB1

4、D， B1OO1C1. 又B1OO1H且O1C1O1HO1，O1C1、O1H面O1HC1， B1O面O1HC1， O1HC1為二面角C1OB1D的平面角，則cosO1HC1. CBA60且四邊形ABCD為菱形，設(shè)AB為2a， O1C1a，B1O1a，OO12a，B1Oa,解法二因?yàn)樗睦庵鵄BCDA1B1C1D1的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD是棱形，因此，ACBD，又O1O面ABCD，從而OB，OC，O1O兩兩垂直，如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立三維直角坐標(biāo)系設(shè)AB2，因?yàn)镃BA60，所以O(shè)B，OC1，于是各點(diǎn)的坐標(biāo)為：O(0，0，0)，B1(，0

5、，2)，C1(0，1，2,求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角求得二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角,3如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，PA1，P在平面ABCDEF內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O. (1)證明：PABF； (2)求面APB與面DPB所成二面角的大小,解析：平面PAD平面ABCD， 而PAD90，PA平面ABCD， 而ABCD是正方形，即ABAD. 故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0,空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜繁瑣的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷在解題過程中，往往把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，從而使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題,1用空間向量解決立體幾何問題時(shí)，要根據(jù)情況選擇，易建立空間直角坐標(biāo)系，可利用空間向量知識解決立體幾何問題 2在用空間向量解決立體幾何問題時(shí)，一定要正確寫出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，如果要寫十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)