雙層規(guī)劃模型

1、雙層規(guī)劃法雙層規(guī)劃的一般形式設(shè) 分別為維歐式空間，為與的叉積空間。雙層規(guī)劃模型的一般形式如下： （P1） （P2） （1） St. 其中，分別為上層（P1）與下層(P2)的決策變量；與是定義于凸區(qū)域上取值于實(shí)數(shù)集的上、下層的目標(biāo)函數(shù)，：為的實(shí)函數(shù)。令，稱為允許集，為允許元。當(dāng)上層給出的一決策即給出允許元，滿足下層目標(biāo)函數(shù)及約束條件的最優(yōu)解，可以表示為： （2）此時(shí)，若為單點(diǎn)集，即存在唯一的與之相對應(yīng)，稱它為下層對上層的反饋函數(shù)(這里我們假設(shè)的唯一性，即要求對每一，存在唯一的，但一般講這是不必要的。如果不唯一，這時(shí)就成為數(shù)集，就成為的反饋“集”函數(shù)。本文不再討論)。這個問題稱為下層規(guī)劃問題(P2

2、)?？梢钥闯觯聦拥臎Q策是依賴于上層決策的。對每一上層決策，滿足上層目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可以表示為: (3)若存在，使得，稱為雙層規(guī)劃的最優(yōu)解。即： 綜上所述，雙層規(guī)劃問題是由兩個單一規(guī)劃問題(P1)、(P2)組成的決策變量相互關(guān)聯(lián)的如下規(guī)劃問題： （P1）其中如下決定 （P2） （4） St. 雙層規(guī)劃問題可以有效地應(yīng)用于管理部門來組織生產(chǎn)，既充分發(fā)揮生產(chǎn)部門的潛力又能得到宏觀控制，達(dá)到持續(xù)、穩(wěn)定、健康的發(fā)展。下面就文章開始的一個以效益兼具公平性為雙層目標(biāo)的雙層規(guī)劃問題建立雙層規(guī)劃模型。分配選址模型 總公司下面有個分公司，每一個分公司記為，經(jīng)過多因素分析后，在第個城市中，初步確定備選地址，標(biāo)號為

3、。已知第個公司所管轄的第個城市選擇第個地址后的成本與收益分別為， (可以用貨幣單位或者其他數(shù)量折算，見表1)。規(guī)定每一城市至少要選建一個超市，即在每一城市的所有備選點(diǎn)中至少要選一個。對于下層的每一分公司來說就是要在選建超市的總成本不超過總公司分配額度的情況下如何在各城市選擇合適的備選點(diǎn)。使得分公司的效益最大?而對于位于上層的總公司來說，就是要考慮如何分配專項(xiàng)投資資金，即如何決策資金分配向量，使得資金的分配最為“公平合理”?詳細(xì)分析如下：一方面，對于每一個分公司，根據(jù)總公司所分配的投資額度，確立以效益最大為目標(biāo)的下層規(guī)劃問題(P2)，即：給定，滿足(5)。其中，目標(biāo)函數(shù)表示第個分公司在所管轄城市

4、中通過選擇合適的備選點(diǎn)而獲利最大，反映了下層決策者對所分配資金的最佳“使用”：第一個約束條件表示第個分公司為籌建各超市所投入的總成本不低于從總公司所獲得的資金分配；第二個約束條件表示在第個城市中至少要保證籌建一個超市；決策變量表示第個分公司在第個城市選擇第個備選點(diǎn)。表示第個分公司在第個城市中第個備選點(diǎn)未被選中。 (P2)St. (5)那么總公司應(yīng)該如何構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)才能使一個資金分配向量 反映出上層對下層分公司資金分配的公平性(即如何以“公平合理”為目標(biāo))。利用遺憾值函數(shù)，作為上層決策者的目標(biāo)函數(shù)。這里我們雖也用作為目標(biāo)函數(shù)，但給予了新的解釋，即目標(biāo)函數(shù)表示公司間的差異最小化，稱為公平指數(shù)。原因

5、如下：任何資金的一個分配方案，都會給各分公司帶來或多或少的遺憾。即分公司本能達(dá)到而因資金不充分未能實(shí)現(xiàn)的效益。如果一個資金分配方案，能使個分公司留下的遺憾值。即不滿意程度差距最小就能顯示此項(xiàng)資金分配的公平性?？梢杂萌缦乱?guī)劃問題表示： （P1）St. （6）其中： （7）目標(biāo)函數(shù)是分公司中具有最大遺憾值與最小遺憾值的差。稱為差異化，總公司的目標(biāo)就是尋求合理的資金分配方案，使差異化最小。下面給出此雙層規(guī)劃模型的算法。分配選址模型的求解步驟按上述雙層規(guī)劃的定義，分配一選址模型的求解可以按以下幾步進(jìn)行。(1)給出分公司及所管轄城市擬建超市的各備選點(diǎn)的成本與收益(見表1)。(2)對于總公司的每一投資分配決策，分公司根據(jù)投資來尋找回報(bào)最大的備選點(diǎn)()，并計(jì)算出該分公司在投資分配下的遺憾值，見表2。 (3)根據(jù)分公司的遺憾程度，調(diào)整上層決策，從而經(jīng)過若干輪上、下層的互動與協(xié)調(diào)，最終確定一資金分配向量，使差異化最小，即上述步驟可以用逐次逼近法來實(shí)現(xiàn)。逐次逼近法的思想是先在可行域中取一個初值。然后逐步調(diào)整至遺憾值較小的解直到最優(yōu)解的獲得。分配選址問題算例設(shè)總公司現(xiàn)有總數(shù)為的資金。要分配給下屬的三個分公司，每個分公司管轄二個城市，每一城市有二個備選點(diǎn)可供選擇來籌建超市預(yù)計(jì)各備選點(diǎn)投資后的收益與成本見表4。依上述計(jì)算步驟及表3，可得如下結(jié)果，見表5-8。 表4 分公司擬在所管轄城市籌