結(jié)構(gòu)力學第七章力法

1、第七章 力 法,7-1 超靜定結(jié)構(gòu)的組成 和超靜定次數(shù),超靜定結(jié)構(gòu)有如下特征： 1) 從幾何構(gòu)造分析的觀點來看，超靜定結(jié)構(gòu)是有多余約束的幾何不變體系。 2) 若只考慮靜力平衡條件，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力不能夠由平衡方程唯一確定，還要補充位移條件,一、超靜定結(jié)構(gòu)的組成,若只滿足平衡條件，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力可以有無窮多組解答,如下圖超靜定梁，若只滿足平衡條件，支座B的豎向反力可以是任意值,二、超靜定次數(shù),超靜定次數(shù) n = 結(jié)構(gòu)多余約束數(shù)目,為了確定超靜定次數(shù)，通常使用的方法是拆除多余約束，使原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，則n等于拆除的多余約束數(shù),規(guī)則： 1）去掉或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個約

2、束； 2）去掉一個簡單鉸，相當于去掉兩個約束,3）去掉一個固定支座或切斷一根梁式桿，相當于去掉三個約束； 4）在梁式桿上加一個簡單鉸，相當于去掉一個約束,例,a,原結(jié)構(gòu),c,d,e,f,不要把原結(jié)構(gòu)拆成幾何可變體系。此外，要把超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束全部拆除,原結(jié)構(gòu),7-2 力法基本原理,解超靜定結(jié)構(gòu)，除應(yīng)滿足平衡條件外，還必須滿足位移協(xié)調(diào)條件,一、一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法計算,1. 力法的基本體系和基本未知量,如下圖示超靜定梁，去掉支座B的鏈桿，用相應(yīng)的未知力X1代替，X1稱為力法基本未知量。去掉B支座的多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法基本結(jié)構(gòu),2. 力法方程,力法方程為,基本體系的位移=原結(jié)構(gòu)的位

3、移,原結(jié)構(gòu)B截面豎向位移,因為,方程可寫為,討論,1）力法方程是位移方程； 2）方程的物理意義：基本結(jié)構(gòu)在荷載FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原結(jié)構(gòu)B支座豎向位移； 3）系數(shù)的物理意義,基本結(jié)構(gòu)在X1=1作用下沿X1方向的位移,基本結(jié)構(gòu)在FP作用下沿X1方向的位移,3. 力法計算,1) 求系數(shù)及自由項,3) 作內(nèi)力圖,M圖,FQ圖,2) 求未知力X1,15,二、多次超靜定結(jié)構(gòu)的力法計算,下面給出多次超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)在荷載和未知力X分別作用下的位移圖,力法方程為,根據(jù)前面給出的位移圖討論力法方程和系數(shù)的物理意義,主系數(shù)：11、22、33恒大于零,副系數(shù)：ij (ij)可能大于、

4、等于或小于零,由位移互等定理：ij= ji，即12= 21， 23= 32， 31= 13。作 圖及MP圖，求出力法方程的系數(shù)和自由項，解方程求出力法未知量，然后根據(jù)下式求內(nèi)力,三、超靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的力法計算,超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時的力法計算對理解力法的解題思路很有幫助。與靜定結(jié)構(gòu)不同，超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時，結(jié)構(gòu)不僅產(chǎn)生變形，而且有內(nèi)力。下面討論超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時力法的解題思路,原結(jié)構(gòu),受X1及支座轉(zhuǎn)角共同作用,只有X1作用，支座轉(zhuǎn)角 對桿端A無影響,受X1及支座轉(zhuǎn)角共同作用,解,1）選兩種基本體系如下圖示,2）力法基本方程,位移條件,力法方程,只有X1作用，支座轉(zhuǎn)角 對桿端A

5、無影響,3）求系數(shù)和自由項,4）求未知力X1,5） 作內(nèi)力圖,在基本體系II中，若X1為逆時針方向，如下圖示，則力法方程成為,小結(jié),1）當超靜定結(jié)構(gòu)有支座位移時，所取的基本體系上可能保留有支座移動，也可能沒有支座移動。應(yīng)當盡量取無支座移動的基本體系。 2）當基本體系有支座移動時，自由項按下式求解,為基本體系由X=1產(chǎn)生的支座反力,為基本體系的支座位移,3）當超靜定結(jié)構(gòu)有支座移動時，其內(nèi)力與桿件的抗彎剛度EI成正比，EI越大，內(nèi)力越大,例7-2-1 寫出圖示剛架的力法方程并求出系數(shù)iC,解,1）取兩種基本體系如下圖示,基本體系I,基本體系II,2） 建立力法方程,討論方程及系數(shù)的物理意義,3）

6、求自由項,本例主要討論自由項的求法，其余計算略去,7-3 力法舉例,一、連續(xù)梁,用力法解連續(xù)梁時，其基本體系是將桿在中間支座處變?yōu)殂q，如下圖所示,原結(jié)構(gòu) B=0 C=0,B=0 B左右截面相對轉(zhuǎn)角等于零。 C=0 C左右截面相對轉(zhuǎn)角等于零,位移方程,1. 力法方程,方程各系數(shù)示于上頁圖中。討論方程和系數(shù)的物理意義,2. 方程求解,圖、 圖及MP圖見下頁圖示。上述彎矩圖的一個特征是：彎矩圖局部化,將系數(shù)代入力法方程就得到,解方程得,3. 作內(nèi)力圖,1) 根據(jù)下式求各截面M值，然后畫M圖,2) 根據(jù)M圖求各桿剪力并畫FQ圖,很容易求得CD桿剪力為,二、超靜定剛架,例7-3-1 求圖示剛架M圖,1.

7、 力法方程,2. 方程求解,將求得的系數(shù)代入力法方程就得到,解方程得,3. 討論,1）當k=0，即E1I1很小或E2I2很大，則,剛架彎矩圖為,可見，柱AB相當于在橫梁BC的B端提供了固定約束,2）當k=1，剛架彎矩圖如圖a)示,3）當k=，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗彎剛度趨近于零，只提供軸向支撐，故梁BC相當于簡支梁，M圖見圖b,結(jié)論： 在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿抗彎剛度EI的比值k 相關(guān)，而與桿件抗彎剛度EI的絕對值無關(guān)。若荷載不變，只要k 不變，結(jié)構(gòu)內(nèi)力也不變,三 、超靜定桁架,以下圖示桁架為例討論兩種基本體系的處理方法。除注明者外，其余各桿剛度為EA,基本體

8、系I,力法方程,力法方程的物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在荷載和X1共同作用下，桿AB切口左右截面相對于水平位移等于零。基本結(jié)構(gòu)中包括AB桿,基本體系I,基本體系II,力法方程,力法方程的物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在荷載和X1共同作用下，結(jié)點A、B相對水平位移等于桿AB的伸長，但符號相反?；窘Y(jié)構(gòu)中不包括AB桿,例7-3-2 求上圖示桁架各桿軸力，各桿EA相同,根據(jù)上述基本體系I求得各桿FNP及 標于圖中,解,求得未知量后，桁架各桿軸力按下式計算,四 、排架,例7-3-3 求圖示排架M圖,排架結(jié)構(gòu)求解時，通常切斷鏈桿以得到力法基本結(jié)構(gòu)。這樣，MP圖和 圖局部化，求解力法方程系數(shù)比較簡單,解,1）基本體系和力法

9、方程,2）求系數(shù)和自由項,方程物理意義：橫梁切口左右截面相對水平位移等于零,4）作M圖,M圖(kN.m,3）求多余未知力,五、單跨超靜定梁有支座移動時的彎矩圖,桿件抗彎剛度EI與桿長l的比值稱為線剛度，用符號i表示,1,2,3,4,依據(jù)3)，很容易得到右圖示內(nèi)力圖,5,6,7-4 力法簡化計算,一、力法簡化計算的思路,若一個結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)為n，則在荷載作用下其力法方程為,在上列方程中，主系數(shù)ii恒大于零，副系數(shù) ij（ij）則可能大于零、等于零或小于零,若能使全部副系數(shù)ij等于零，則方程組解耦，力法方程變?yōu)?即使不能使全部副系數(shù)等于零，若能使大部分副系數(shù)等于零，則力法計算也將大大簡化。所以，

10、力法簡化計算的目的：使盡可能多的副系數(shù)等于零,二、非對稱結(jié)構(gòu)的簡化計算,對于非對稱結(jié)構(gòu)，為簡化計算，應(yīng)盡量使 圖及MP圖局部化，以簡化方程系數(shù)的計算。所以，取基本結(jié)構(gòu)時應(yīng)考慮這一因素,排架結(jié)構(gòu) 基本體系,三 、對稱結(jié)構(gòu)的簡化計算,對稱結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承條件、桿件的材料性質(zhì)及桿件的剛度均關(guān)于某軸對稱就稱為對稱結(jié)構(gòu)。用力法解對稱結(jié)構(gòu)，應(yīng)取對稱的基本結(jié)構(gòu)，只有這樣才能簡化計算,1. 對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的簡化計算,l/2,X1，X2對稱未知力,X3反對稱未知力,根據(jù) ，MP圖的對稱性或反對稱性可知,于是，原力法方程變?yōu)?結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，其反對稱未知力為零，只有對稱未知力,

11、2. 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的簡化計算,根據(jù) ，MP圖的對稱性或反對稱性可知,于是，原力法方程變?yōu)?對于前兩個方程組成的方程組，因其右端項為零，且系數(shù)行列式的值通常不等于零，即,結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其對稱未知力為零，只有反對稱未知力,于是，方程組只有零解：X1=0，X2=0,3. 奇數(shù)跨或偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)的處理,若對稱結(jié)構(gòu)是奇數(shù)跨，則有與對稱軸相交之截面。切開該截面，則該截面的未知力分為兩組：對稱未知力和反對稱未知力。若荷載對稱或反對稱，則按前述方法處理,X1, X2為對稱未知力; X3為反對稱未知力,若對稱結(jié)構(gòu)是偶數(shù)跨，則不存在與對稱軸相交之截面，此時應(yīng)根據(jù)荷載情況分別處理,

12、1）對稱荷載。對稱結(jié)構(gòu)在該對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移均對稱,2）反對稱荷載。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移均反對稱,4. 非對稱荷載的處理,對稱結(jié)構(gòu)通常作用有非對稱荷載，處理方法為,1）非對稱荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載分別計算，然后疊加兩種情況的結(jié)果,2）荷載不分解，只取對稱基本體系,根據(jù) ，MP圖的對稱性或反對稱性可知,于是，原力法方程變?yōu)?5. 組合未知力（廣義未知力,結(jié)合下圖示剛架進行說明,力法方程為,在上題中，X1實質(zhì)上是對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下產(chǎn)生的未知力，而X2則是反對稱荷載產(chǎn)生的未知力,四 、舉例,例7-4-1 右圖示結(jié)構(gòu)，討論用力法簡化計算,將荷載分解為對稱荷載

13、和反對稱荷載。在對稱結(jié)點荷載作用下，由于不考慮桿件的軸向變形，其M等于零。在反對稱結(jié)點荷載作用下，只有一個未知量X1,圖示對稱結(jié)構(gòu)，各桿EI相同，討論力法的簡化計算,解： 將荷載分為兩組：第一組荷載關(guān)于x和y 軸都對稱，見圖b)。第二組荷載關(guān)于y 軸對稱，關(guān)于x 軸反對稱，見下頁圖c,例7-4-2,由于不考慮桿件的軸向變形，圖 b) 荷載作用下各桿彎矩等于零。圖c) 荷載關(guān)于x軸反對稱，切開與x軸相交的截面，未知力分為兩組：對稱未知力X1，X2以及反對稱未知力X3。所以對稱未知力X1，X2等于零，只有反對稱未知力X3，如圖d)所示,7-5 溫度變化及有彈簧支座結(jié)構(gòu)的計算,一 、溫度變化時的計算

14、,下面通過例題進行說明,例7-5-1 圖示剛架，混凝土澆筑時溫度為15。，到冬季時室外溫度為-35 。，室內(nèi)保持不變，求M圖。各桿EI相同，線膨脹系數(shù)為,X1=1,1) 溫度改變值,所以,2) 力法方程,解,3) 求未知力,4) 作彎矩圖,超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動作用下，桿件內(nèi)力與桿件抗彎剛度EI成正比,二 、具有彈簧支座結(jié)構(gòu)的力法求解,彈簧支座分為拉壓彈簧支座和轉(zhuǎn)動彈簧支座兩類，如下圖示,解,1) 將拉壓彈簧與桿端C分開，取基本體系如圖示,2) 力法方程,3) 求系數(shù)和自由項,例7-5-2 求下圖示剛架M圖,4) 求未知量并作彎矩圖,若基本體系保留有彈簧支座，則求方程的系數(shù)比較繁瑣，應(yīng)

15、盡量避免。詳見下面的例,例7-5-3 求下圖示具有彈簧支座梁的M圖,解,1) 基本體系見圖 b,2) 力法方程,3) 求系數(shù)和自由項,4）求未知力并作M圖,7-6 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算及力法計算校核,一、 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算,用力法求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力后，欲求某截面的位移，則單位荷載可以加在任選的基本體系上，即超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算可以在任選的基本體系上進行,對于某超靜定結(jié)構(gòu)，所選取的各種基本體系在外因（荷載、溫度變化、支座移動）以及未知力X共同作用下，其內(nèi)力和變形與原結(jié)構(gòu)完全相同。所以求原結(jié)構(gòu)的位移就轉(zhuǎn)化為求基本體系的位移,例7-6-1 求梁中點豎向位移CV，EI為常數(shù),解,1) 單位荷載加

16、在原結(jié)構(gòu)上,基本體系I,2) 單位荷載加在基本體系I上,基本體系II,3）單位荷載加在基本體系II上,例7-6-2 求圖示剛架結(jié)點水平位移DH，各桿EI如圖示,解：單位荷載分別加在四種基本體系上，顯然基本體系1的計算最簡單（見下頁圖,二、 超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖的校核,超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖的校核，除了校核求得的M、FQ、FN是否滿足平衡條件外，最主要的是變形條件的校核。只有既滿足平衡條件又滿足變形協(xié)調(diào)條件的解答才是超靜定結(jié)構(gòu)正確的解答。 在進行變形條件的校核時，通常選擇原結(jié)構(gòu)位移等于零的截面進行校核，也就是進行超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算,如下圖連續(xù)梁，可以校核BV 、 CV、 DV是否等于零，也可以校核A、 B、 C是否等于零,校核A,圖,圖,校核DV,圖,校核 B,100,對于如下圖示封閉型剛架，可以得到位移校核的簡單公式。梁