重積分及其簡單應(yīng)用

1、4.6 二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分的概念,1.曲頂柱體,非負(fù)且連續(xù)函數(shù),設(shè) 是定義在有界閉區(qū)域 上,我們稱,以曲面 為頂,面上,的區(qū)域 為底,以平行于 軸,且沿著底面區(qū)域 的邊界,曲線的直線圍成的立體,稱為曲頂柱體,二重積分及其簡單應(yīng)用,2.曲頂柱體的體積,特點(diǎn)：平頂,曲頂柱體體積=,特點(diǎn)：曲頂,底面積 高,柱體體積,二重積分及其簡單應(yīng)用,求曲頂柱體的體積的步驟,的面積為,分割,將區(qū)域 任意,分割成 個(gè)小,區(qū)域,第 塊小區(qū)域,二重積分及其簡單應(yīng)用,求近似代替,任取一點(diǎn),求和,二重積分及其簡單應(yīng)用,取極限,3.二重積分的概念,設(shè) 是定義在有界閉區(qū)域 上的,有界函數(shù),將

2、任意分成 個(gè)小區(qū)域,區(qū)域的面積,其中 表示第 塊小,在每個(gè)小區(qū)域 上任取,一點(diǎn),作乘積,并作和,令,當(dāng) 時(shí),和式 的極限存在,且其值與,的分法和點(diǎn) 的選法無關(guān),并稱此,極限值為 在D上的二重積分,記作 即,二重積分及其簡單應(yīng)用,其中“ ”稱為二重積分符號,D稱為積分區(qū)域,二重積分及其簡單應(yīng)用,稱為被積函數(shù),稱為積分變量,二重積分及其簡單應(yīng)用,說明,1、定義中對區(qū)域D的劃分是任意的,2、若 在閉區(qū)域D上連續(xù),則函數(shù),在該區(qū)域上可積,3、在直角坐標(biāo)系中,一般用平行于坐標(biāo)軸的,直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,則面積元素為,二重積分及其簡單應(yīng)用,故二重積分可表示為,4.二重積分的幾何意義,當(dāng)被積函數(shù)大,的體積,二

3、重積分是柱體,于零時(shí),二重積分及其簡單應(yīng)用,當(dāng)被積函數(shù)小,于零時(shí),的體積的負(fù)值,二重積分是柱體,當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時(shí),二重積分的值就等于各個(gè)部分,區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分的性質(zhì),性質(zhì)2,被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到,積分號外面,即,為常數(shù),性質(zhì)1,有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的二重積分,等于各個(gè)函數(shù)二重積分的代數(shù)和,二重積分及其簡單應(yīng)用,即,性質(zhì)3,若積分區(qū)域 被一曲線分成兩個(gè),部分區(qū)域 和 則在 上的二重積,分等于在 和 上二重積分的和,即,二重積分及其簡單應(yīng)用,性質(zhì)4,若在區(qū)域 上, 且 的面,積為 則,性質(zhì)5,若在區(qū)域 上,恒有,則,二重積分及

4、其簡單應(yīng)用,解,如圖所示,三角形斜邊方程,在 內(nèi)有,二重積分及其簡單應(yīng)用,由性質(zhì)得,二重積分及其簡單應(yīng)用,性質(zhì)6,設(shè) 分別是函數(shù) 在 上的,解,如圖所示,積分域 的邊界,為圓周區(qū)域 的面積為,在 上有,即,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,性質(zhì)7,若函數(shù) 在有界閉區(qū)域 上連續(xù),為 的面積，則在 內(nèi)至少存在一,點(diǎn) 使得,二重積分的計(jì)算,二重積分及其簡單應(yīng)用,類型1,積分區(qū)域 是邊平行于坐標(biāo)軸的矩形域,設(shè)二元函數(shù) 是定義于,上的連續(xù)函數(shù),則二重積分,一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,注,1、二重積分的計(jì)算就是分別對變量,和 作兩次定積分的計(jì)算,2、化二重積分為二次積分的關(guān)鍵是,選擇積分次序和

5、確定積分上、下限,即積分區(qū)域D是一矩形時(shí),其積分,次序可交換,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,3、幾種寫法的比較,已知,比較,二重積分及其簡單應(yīng)用,已知,比較,二重積分及其簡單應(yīng)用,解法一,先對 再對 的累,次積分,對 積分時(shí)要固定,為常數(shù),二重積分及其簡單應(yīng)用,解法二,先對 再對 的累,次積分,對 積分時(shí)要固定,為常數(shù),二重積分及其簡單應(yīng)用,說明,1、若函數(shù)可積,且 ，則,如,二重積分及其簡單應(yīng)用,2、有的題用兩種方法均可,且難移程度,相同,但有的題只能對一種可行,另一,種則不行或難移程度不同,解,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,解,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其

6、簡單應(yīng)用,注,利用直系計(jì)算二重積分的步驟,1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界,3）確定積分限，化為二次定積分,2）根據(jù)積分域類型, 確定積分次序,4）計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果,曲線交點(diǎn)坐標(biāo),二重積分及其簡單應(yīng)用,積分限確定法,域中一線插,域邊兩線夾,內(nèi)限定上下,外限依靠它,二重積分及其簡單應(yīng)用,此時(shí)D稱為Y型區(qū)域,若積分區(qū)域D用 來表示,類型2,二重積分及其簡單應(yīng)用,Y型區(qū)域的特點(diǎn),區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算公式,穿過區(qū)域且平行于 軸的直線與,二重積分及其簡單應(yīng)用,解,解方程組,如圖所示,解得交點(diǎn),二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,解,1、如圖,解方程組

7、,解得交點(diǎn),二重積分及其簡單應(yīng)用,2、如圖,解方程組,解得交點(diǎn),二重積分及其簡單應(yīng)用,若積分區(qū)域D用 來表示,類型3,此時(shí)D稱為X型區(qū)域,二重積分及其簡單應(yīng)用,X型區(qū)域的特點(diǎn),計(jì)算公式,穿過區(qū)域且平行于 軸的直線與,二重積分及其簡單應(yīng)用,解法一,如圖所示,則 可表示為,若按先對 再對 積分,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,解法二,如圖所示,三條直線的交點(diǎn)為,若按先對 再對 積分,則 可表示為,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,說明,在計(jì)算過程中,恰當(dāng)?shù)剡x擇積分次序,是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵,解,如圖所示,若按先對 再對 積分,二重積分及其簡單應(yīng)用,則 可表示為,二重積分及其簡單應(yīng)用,說明,本題如果先對 積分,后 對積分，則不,能計(jì)算出結(jié)果.因?yàn)?沒有初等函數(shù),二重積分及其簡單應(yīng)