幾何分布的定義以及期望與方差的證明

1、.幾何分布的定義以及期望與方差幾何分布（Geometric distribution）是離散型概率分布。其中一種定義為：在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機(jī)率。詳細(xì)的說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。公式：它分兩種情況：1. 得到1次成功而進(jìn)行，n次伯努利實(shí)驗，n的概率分布，取值范圍為1，2，3，.;2. m = n-1次失敗，第n次成功，m的概率分布，取值范圍為0，1，2，3，.由兩種不同情況而得出的期望和方差如下：, ;, 。概率為p的事件A，以X記A首次發(fā)生所進(jìn)行的試驗次數(shù)，則X的分布列：， 具有這種分布列的隨機(jī)變量X，稱為服從參數(shù)p的幾何分布，記為XGeo(p)。

2、幾何分布的期望 ，方差 。高中數(shù)學(xué)教科書新版第三冊（選修II）比原來的修訂本新增加隨機(jī)變量的幾何分布，但書中只給出了結(jié)論：（1），（2），而未加以證明。本文給出證明，并用于解題。（1）由，知下面用倍差法（也稱為錯位相減法）求上式括號內(nèi)的值。記兩式相減，得由，知，則，故從而也可用無窮等比數(shù)列各項和公式（見教科書91頁閱讀材料），推導(dǎo)如下：記相減，則還可用導(dǎo)數(shù)公式，推導(dǎo)如下：上式中令，則得（2）為簡化運(yùn)算，利用性質(zhì)來推導(dǎo)（該性質(zhì)的證明，可見本刊6頁）?？梢婈P(guān)鍵是求。對于上式括號中的式子，利用導(dǎo)數(shù)，關(guān)于q求導(dǎo)：，并用倍差法求和，有則，因此利用上述兩個結(jié)論，可以簡化幾何分布一類的計算問題。例1. 一個

3、口袋內(nèi)裝有5個白球和2個黑球，現(xiàn)從中每次摸取一個球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球。求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解：每次從袋內(nèi)取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值為1，2，3，有無窮多個。我們用表示前k1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此?？梢姺膸缀畏植肌Ｋ岳?. 某射擊運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p（0p1）。他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他擊中目標(biāo)的期望。解：射手射擊次數(shù)的可能取值為1，2，9，10。若，則表明他前次均沒擊中目標(biāo)，而第k次擊中目標(biāo)；若k10，則表明他前9次都沒擊中目標(biāo)，而第10次可能擊中也可能沒擊中目標(biāo)。因此的分布列為用倍差法，可求得所以說明：本例的試驗是有限次的，并且，不符合幾何分布的概率特征，