數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)第五講高斯函數(shù)

1、數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo) 第五講 高斯函數(shù)知識、方法、技能這一講介紹重要的數(shù)論函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù). 它是數(shù)學(xué)競賽熱點之一.定義一：對任意實數(shù)是不超過的最大整數(shù)，稱為的整數(shù)部分.與它相伴隨的是小數(shù)部分函數(shù)由、的定義不難得到如下性質(zhì)：（1）的定義域為R，值域為Z；的定義域為R，值域為（2）對任意實數(shù)，都有.（3）對任意實數(shù)，都有.（4）是不減函數(shù)，即若則，其圖像如圖I 451；是以1為周期的周期函數(shù)，如圖I 452. 圖451 圖452（5）.其中.（6）；特別地，（7），其中；一般有；特別地，.（8），其中.【證明】（1）（7）略.（8）令，則，因此，.由于，則由（3）知，于是，證畢.取整函數(shù)

2、或高斯函數(shù)在初等數(shù)論中的應(yīng)用是基于下面兩個結(jié)論.定理一：，且1至x之間的整數(shù)中，有個是的倍數(shù).【證明】因，此式說明：不大于x而是n的倍數(shù)的正整數(shù)只有這個：定理二：在！中，質(zhì)數(shù)的最高方次數(shù)是【證明】由于是質(zhì)數(shù)，因此含的方次數(shù)一定是1，2，各數(shù)中所含的方次數(shù)的總和.由定理一知，1，2，n中有個的倍數(shù)，有個2的倍數(shù)，所以此定理說明：，其中M不含的因數(shù).例如，由于+=285+40+5=330，則2000！=7330M，其中7 M.定理三：（厄米特恒等式）【證法1】引入輔助函數(shù)因?qū)σ磺谐闪?，所以是一個以為周期的周期函數(shù)，而當時，直接計算知，故任意，厄米特恒等式成立.【證法2】等式等價于消去后得到與原等式

3、一樣的等式，只不過是對，則一定存在一個使得，即，故原式右端另一方面，由知，在這批不等式的右端總有一個等于1，設(shè). 這時，而，因此原式的左端是個1之和，即左端故左=右.【評述】證法2的方法既適用于證明等式，也適用于證明不等式.，這個方法是：第一步“棄整”，把對任意實數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為的問題；第二步對分段討論.高斯函數(shù)在格點（又叫整點）問題研究中有重要應(yīng)用. 下面給出一個定理.定理四：設(shè)函數(shù)上連續(xù)而且非負，那么和式內(nèi)的整數(shù)）表示平面區(qū)域內(nèi)的格點個數(shù).特別地，有（1）位于三角形：內(nèi)的格點個數(shù)等于為整數(shù)）；（2），矩形域內(nèi)的格點數(shù)等于 （3），圓域內(nèi)的格點個數(shù)等于.（4），區(qū)域：內(nèi)的格點個數(shù)等于.這些結(jié)論

4、通過畫圖即可得到.賽題精講例1：求證：其中k為某一自然數(shù).（1985年第17屆加拿大數(shù)學(xué)競賽試題）證明2為質(zhì)數(shù)，n!中含2的方次數(shù)為若故反之，若n不等于2的某個非負整數(shù)次幕，可設(shè)n=2sp，其中p1為奇數(shù)，這時總可以找出整數(shù)t，使由于n!.這與已知矛盾，故必要性得證.例2：對任意的 （第10屆IMO試題）【解】因?qū)σ磺衚=0,1,成立，因此，又因為n為固定數(shù)，當k適當大時,例3：計算和式（1986年東北三省數(shù)學(xué)競賽試題）【解】顯然有：若503是一個質(zhì)數(shù)，因此，對n=1,2,502, 都不會是整數(shù)，但+可見此式左端的兩數(shù)的小數(shù)部分之和等于1，于是，+故例4：設(shè)M為一正整數(shù)，問方程，在1，M中有多少個解？（1982年瑞典數(shù)學(xué)競賽試題）【解】顯然x=M是一個解,下面考察在1，M中有少個解.設(shè)x是方程的解.將代入原方程，化簡得所以上式成立的充要條件是2xx為一個整數(shù).例5：求方程（第36屆美國數(shù)學(xué)競賽題）【解】經(jīng)檢驗知，這四個值都是原方程的解.例6：（第10屆美國數(shù)學(xué)競賽試題）這道題的原解答要極為復(fù)雜，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下.【證明】由于例7：對自然數(shù)n及一切自然數(shù)x，求證：【證明】例8：求出的