計(jì)算機(jī)專業(yè)英語第三章

1、第六章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法,6.1 歐拉方法 6.2 計(jì)算公式的誤差分析 6.3 龍格庫塔方法 6.4 向一階方程組與高階方程的推廣,一、歐拉法：,只要f(x,y)滿足一定條件，則此問題的解是存在的，且是唯一的。,在求解的過程中，我們已掌握了一些典型方程的解法。但是仍有不少方程是無法求出其解析解的，因此我們要討論其數(shù)值解。即在微分方程解存在的前提下，構(gòu)造一種算法，計(jì)算出微分方程的解y(x)在存在 區(qū)間上點(diǎn) 上的值的近似值，即不求其準(zhǔn)確解y=y(x)的解析表達(dá)式，而求出一個(gè)函數(shù)表格,1.問題的提出：,2.數(shù)值求解方法：,6.1 歐拉方法,6.1.1 歐拉公式與改進(jìn)歐拉公式,1)算法：,

2、這稱為歐拉公式,例6.1 以 h=0.1為步長，用歐拉法求常微分方程初值問題,后退歐拉公式是一個(gè)隱式公式，通常采用迭代法求解。,這稱為后退歐拉公式,6.1.2 梯形公式與改進(jìn)歐拉公式,歐拉公式與后退歐拉公式也可采用積分近似的方法推出,梯形公式也是隱式單步法公式,用梯形公式計(jì)算時(shí)，通常取歐拉公式的解作為迭代初值進(jìn)行迭代計(jì)算，即采用下式,這稱為改進(jìn)歐拉公式,例6.2 仍取步長h = 0.1，采用改進(jìn)歐拉法重新計(jì)算例 6.1 的 常微分方程初值問題。,這時(shí)改進(jìn)歐拉公式為,計(jì)算結(jié)果見表6-2（書125頁）,解,6.2 計(jì)算公式的誤差分析,定義6.1 若 yi+1 是 yi=y(xi) 從計(jì)算得到的近似

3、解，則稱 y(xi+1) yi+1為所用公式的局部截?cái)嗾`差，簡稱為截?cái)嗾`差。,截?cái)嗾`差的估計(jì)(基本假設(shè)： yi = y( xi ) ),設(shè) y(x)C 3 x0 , b , 則,（3）對梯形公式，注意到其公式可改寫為,故由式（6-9）和（6-9）得,因此，梯形公式的局部截?cái)嗾`差為 O ( h3 ),（4）對改進(jìn)歐拉公式，有,而由 ，故有,與式（6-7）比較得 y(xi+1) yi+1 = O ( h3 ) 因此，改進(jìn)歐拉公式的局部截?cái)嗾`差為 O ( h3 ),定義6.2 若一種求解常微分方程初值問題的數(shù)值計(jì)算方法的局部截?cái)嗾`差為 O ( hp+1 ) ，則稱該方法為 p階精度，或稱該方法為 p

4、階方法。,由此定義知，歐拉方法與后退歐拉方法為一階精度，梯形法與改進(jìn)歐拉方法為二階精度。,6.3 龍格-庫塔方法,由中值定理，有,因此，以上介紹的各種單步法本質(zhì)上都是對平均斜率 f( , y( ) 進(jìn)行近似，龍格-庫塔據(jù)之提出了適當(dāng)選取若干點(diǎn)上的斜率值作近似以構(gòu)造高精度計(jì)算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系數(shù)法。,6.3.1 二階R-K公式,問題：建立二階精度的計(jì)算格式形為,在 y(xi) = yi 的假設(shè)下，有,故,解,而,根據(jù)格式為二階精度，即 y(xi+1) yi+1 = O(h3) 比較兩式系數(shù)得,系數(shù)滿足(6-13)的形為(6-12)計(jì)算格式統(tǒng)稱為二階R-K公式。當(dāng)令1=1

5、/2時(shí)，解得 2=1/2 ，a=b=1，即為改進(jìn)歐拉公式。若令 1=0，解得 2=1，a=b=1/2，則得另一計(jì)算公式,6.3.2 四階 R-K 公式,1965年，Butcher研究發(fā)現(xiàn)顯式R-K公式的精度與需要組合的斜率值的個(gè)數(shù)具有如下關(guān)系,可見，超過四階精度的R-K公式效率并不高，實(shí)際計(jì)算通常選用如下四階格式,這時(shí)經(jīng)典R-K公式為,例6.3 取步長h = 0.2，采用經(jīng)典R-K法計(jì)算例 6.1 的常微分方程初值問題。,取 h=0.2 計(jì)算得到表6-4(書133頁）。 與例6.1和例6.2比較可見，用經(jīng)典R-K法計(jì)算得到的解比用歐拉法和改進(jìn)歐拉法所得到的解精確得多。,解,6.3.3 步長的自動(dòng)選擇,對于 p 階精度的計(jì)算格式，當(dāng)取步長為 h 時(shí)，記 為從 y(xi) 計(jì)算得到的 y (xi+1) (xi+1= xi+h) 的近似解，則有,為便于進(jìn)行事后誤差估計(jì)，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常采用步長減半算法。,記 ，則對給定的精度要求 ，可根據(jù) 按如下方式調(diào)整步長：,（1）若 ，則把步長逐