5-3 正定二次型與正定矩陣習(xí)題評講

1、.正定二次型與正定矩陣習(xí)題評講、如果、為同階正定矩陣，證明：為正定矩陣。證明：因為、是階實(shí)對稱矩陣，故也是階實(shí)對稱矩陣。因為、為階正定矩陣，所以實(shí)二次型（，）和（，）都是正定二次型。實(shí)二次型（，）（）（，）（，）。所以對任意不全為零的實(shí)數(shù)，因為（，），（，），從而有（，）（，）（，），所以實(shí)二次型（，）（）正定，從而是正定矩陣。證明：因為、是階實(shí)對稱矩陣，故也是階實(shí)對稱矩陣。因為、為階正定矩陣，所以對任意維非零實(shí)列向量，都有；（），所以是正定矩陣?？傋詼y題證明題（）設(shè)維列向量與任何維向量都正交，證明：。證明：設(shè)（，），取維單位向量（，），。有（，），所以。、判別下列實(shí)對稱矩陣是否為正定矩陣：（

2、）；（）；（）。解（）：是實(shí)對稱矩陣，第三個順序主子式，不是正定矩陣。解（）：是實(shí)對稱矩陣，第三個順序主子式，不是正定矩陣。解（）：實(shí)對稱矩陣所有順序主子式為：；所以是正定矩陣。、確定參數(shù)的值，使下列二次型正定：（）；（）。解（）：實(shí)二次型的矩陣為，的順序主子式為：；。正定正定。解（）：二次型的矩陣為，的各階順序主子式為：；（）；正定正定。、設(shè)有二次曲線方程（）。證明：當(dāng)時，曲線為一橢圓；當(dāng)時，曲線為一雙曲線。證明：對二次曲線方程（），對應(yīng)的實(shí)二次型為：（，）（），的矩陣為，是實(shí)對稱矩陣，且。對實(shí)二次型（，），存在正交變換（是正交矩陣）化為標(biāo)準(zhǔn)形：（，），其中，是的特征值。這個正交變換，化二次

3、曲線（）為如下形式：該二次曲線是橢圓，都是正數(shù)（，）正定的所有順序主子式都大于零，。該二次曲線是雙曲線，一個是正數(shù)，另一個是負(fù)數(shù)。因為，所以該二次曲線是雙曲線。、如果矩陣（）是正定矩陣，證明：（，）。證明：令（，），。有，。因為（）是階正定矩陣，對任意維非零實(shí)列向量，都有，特別對結(jié)論也成立，所以，。、利用定理的推論證明：實(shí)對稱矩陣正定的充要條件是存在可逆矩陣，使得。證明：必要性：如果正定，則存在可逆矩陣，使，于是，（）（）。令，則是可逆矩陣，使。充分性：如果是實(shí)對稱矩陣，且存在可逆矩陣，使，即，所以（），即（），其中是可逆矩陣，故與合同，從而正定。、如果矩陣正定，且存在可逆矩陣，使得。證明：矩

4、陣是正定矩陣。證明：因為正定，所以是實(shí)對稱矩陣。又因為存在可逆矩陣，使得，故也是實(shí)對稱矩陣。因為正定，所以存在可逆矩陣，使，于是有（）（），其中是可逆矩陣，于是是正定矩陣。證明：當(dāng)可逆時，由是實(shí)對稱矩陣知，也是實(shí)對稱矩陣。對每一個非零列向量，有是非零列向量，且是正定矩陣，所以（）（）（），所以是正交矩陣。第五章自測題、單選題（）（）二次型（為實(shí)對稱矩陣）正定的一個充要條件是（）。（）det（）；必要不充分（）存在可逆矩陣，使得成為對角矩陣；所有實(shí)對稱矩陣的共性（）可逆；必要不充分（）存在可逆矩陣，使得。，題解：選。（）已知矩陣正定，和都是正常數(shù)，則矩陣（ ）（）不是對稱矩陣；（）是正定矩陣；（

5、）必是正交矩陣；（）是奇異矩陣。解：顯然是實(shí)方陣。已知正定，順序方子式，。因為和都是正常數(shù)，的順序主子式：，是正定矩陣。選（）。、計算題（）若二次型正定，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：實(shí)二次型的矩陣為，的順序主子式為：，。正定正定。（）設(shè)矩陣，試判別二次型（）是否正定？其中（，）。解：，是可逆矩陣，而是實(shí)對稱矩陣，據(jù)頁題知，是正定矩陣，從而是正定二次型。解：，是可逆矩陣，對任意維非零實(shí)列向量，也是維非零實(shí)列向量，且有（）（）（）（）（），所以是正定二次型。、證明題（）設(shè)是正定矩陣，證明也是正定矩陣。證明：因為正定矩陣是實(shí)對稱矩陣，（）（），也是實(shí)對稱矩陣。正定矩陣是可逆矩陣，由得，與合同，故也是正定矩陣。證明：因為正定矩陣是實(shí)對稱矩陣，（）（），也是實(shí)對稱矩陣。正定矩陣是可逆矩陣，由，據(jù)題結(jié)論知也是正定矩陣。證明：因為正定矩陣是實(shí)對稱矩陣，（）（），也是實(shí)對稱矩陣。正定矩陣是可逆矩陣，且，對任意非零實(shí)列向量，也是非零實(shí)列向量，且（）（）（）（）（）（），所以（）是正定二次型，從而是正定矩陣。總自測題、填空題（）若矩陣正定，則的取值范圍是。解：實(shí)對稱矩陣的順序主子式為：，（）；正定。、單選題（）若實(shí)對稱矩陣與矩陣相似，則二次型（，）是（）（）正定的；（）負(fù)定的；（）不定的；（）半正定的。解：據(jù)題設(shè)，存在正交變換（是正交