數(shù)形結(jié)合思想例題選講

1、數(shù)形結(jié)合思想例題選講數(shù)形結(jié)合思想是“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合。 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 （1）集合的運算及韋恩圖（2）函數(shù)及其圖象（3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線以形助數(shù)常用的有 借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法； 以數(shù)助形常用的有 借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。 例題選講 類型一：集合的運算及韋恩圖利用數(shù)形結(jié)合的思想解決集合問題，常用的方法有

2、數(shù)軸法、韋恩圖法等。當所給問題的數(shù)量關(guān)系比較復雜，且沒有學容斥原理前，不好找線索時，用韋恩圖法能達到事半功倍的效果。例1如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ） B。 解：陰影部分是M與P的公共部分（轉(zhuǎn)化為集合語言就是），且在S的外部（轉(zhuǎn)化為集合語言就是CIS），故選C。通過上述例子，我們知道：當應(yīng)用題中牽涉到集合的交集、并集、補集時，用韋恩圖比用數(shù)軸法簡便。類型二：圖表信息題此類題目都有圖形（或圖表）作為已知條件，須聯(lián)系函數(shù)的性質(zhì)分析求解，解決問題的關(guān)鍵是從已知圖形（圖表）中挖掘信息.yx1449O圖（2）ABCDP圖（1）例2直角梯形ABCD如圖（1），動點

3、P從B點出發(fā)，由沿邊運動，設(shè)點P運動的路程為x，的面積為如果函數(shù)的圖象如圖（2），則的面積為（ ）A10B16C18D32解：由圖象可知,當,說明由及時不變,說明P點在DC上,即CD=5.所以AD=14-9=5,過D作DG則DG=BC=4,由此可求出AB=3+5=8. 選B例3在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01Ay=2x-2 B.y=(x-1) C.y=logx D.y=logx解：解法一:把表中的數(shù)值取整數(shù)代入下列函數(shù)中逐一計算,近似估

4、算,最接近值的一個函數(shù)為.故選B.解法二:把表中近似描點連線,對照可得最接近的函數(shù)為的圖象.故選B.類型三：解析幾何中直線與曲線例4曲線y=1+ (2x2)與直線y=r(x2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍 解析 方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x2)+4為過（2，4）的直線 答案 （類型四：方程（多指二元方程）及方程的曲線交點問題例5已知最小正周期為2的函數(shù)y=f(x)，當x-1,1時，f(x)=x，則函數(shù)y=f(x)（xR）的圖象與y=|logx|的圖象交點個數(shù)為（ ）A.2 B.3 C.4 D.5解：本題考查周期函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及含有絕對的函數(shù)的圖象的畫法，本

5、題考查數(shù)形結(jié)合思想.xyy=o135由圖象可知，有5個交點,故選D.類型五：二次函數(shù)類型例6設(shè)f(x)=x22ax+2,當x1,+)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍 解法一 由f(x)a，在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立 考查函數(shù)g(x)=x22ax+2a的圖象在1,+時位于x軸上方 如圖兩種情況 不等式的成立條件是 (1)=4a24(2a)0a(2,1)(2)a(3,2，綜上所述a(3,1) 解法二 由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象 如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對應(yīng)

6、的a值（即直線的斜率）分別為1，3，故直線l對應(yīng)的a(3,1) 類型六：函數(shù)知識解應(yīng)用題 函數(shù)知解應(yīng)用題的題型比較豐富,一般為中檔題,其中對于建立的各種數(shù)學模型，要能夠模型識別，充分利用數(shù)學方法加以解決，并能積累一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型，這是順利解決實際問題的重要資本y(毫克)t (小時)O12341例7某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥.如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)檢測，服藥后每毫升血液中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系近似滿足如圖所示曲線.據(jù)進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時，治療疾病有效.則服藥一次治療該疾病有效的時間為（ ）A. 4小時 B. 4小時 C. 4小

7、時 D. 5小時解：由已知圖象可得將點(1,4)代入可得,.令可得或, 從而得服藥一次治療該疾病有效的時間為,故應(yīng)選C. 類型七：創(chuàng)新題例8如圖,三臺機器人和檢測臺（與均不能重合）位于一條直線上,三臺機器人需把各自生產(chǎn)的零件送交M處進行檢測,送檢程序設(shè)定：當把零件送達處時，即刻自動出發(fā)送檢，當把零件送達處時，即刻自動出發(fā)送檢，設(shè)的送檢的速度為，且送檢速度是的倍、的倍-2 -1 0 1 2 3（）求三臺機器人把各自生產(chǎn)的零件送達檢測臺處的時間總和；（）現(xiàn)要求三臺機器人送檢時間總和必須最短，請你設(shè)計出檢測臺在該直線上的位置解：（）由已知得檢測臺的位置坐標為0，則機器人與檢測臺的距離分別為又的送檢的速度為，則的送檢的速度為，的送檢的速度為.故三臺機器人按程序把各自的生產(chǎn)零件送達檢測臺處的時間總和為.（）設(shè)為檢測臺的位置坐標，則三臺機器人與檢測臺的距離分別為 于是三臺機器