函數(shù)極限的判定

1、3.3 函數(shù)極限存在的條件,本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件. 仍以極限,為例,一 heine 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,二 單調(diào)有界定理,三 cauchy準則,1.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,定義,定理,一 heine歸結(jié)原則 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,證,例如,2 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等,heine定理，又稱歸并原則,一 heine歸結(jié)原則 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,th 3.8 設(shè)函數(shù),在點,的某空心鄰域,內(nèi)有定義,則極限,存在,對任何,且,都存在且相等,注,是數(shù)列,是數(shù)列的極限。所以,的極限歸結(jié)為數(shù)列,的極限問題來

2、討論，所以稱之為“歸結(jié)原則”。由此,這個定理把函數(shù),可由數(shù)列極限的性質(zhì)來推斷函數(shù)極限性質(zhì),注從heine定理可以得到一個說明,不存在的方法,即“若可找到一個數(shù)列,使得,不存在；,或“找到兩個都以,為極限的數(shù)列,使,都存在但不相等，則,不存在,例1,證,二者不相等,注對于,這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可 表示為更強的形式。如當,時有,定理3.9設(shè)函數(shù),在,的某空心鄰域,內(nèi)有定義,對任何以,為極限的遞減數(shù)列,有,二、單調(diào)有界定理,相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以,這種類型為例敘述如下,th3.10,設(shè),為定義在,上的單調(diào),存在,有界函數(shù)，則右極限,注：

3、th.10可更具體地敘述如下,為定義在,上的函數(shù)，若,在,上遞增（減）有下（上）界，則,存在，且,下面給出關(guān)于左極限的相應(yīng)定理的表述和證明,定理 設(shè),在,上定義，且,單調(diào)上升，則,存在且等于,無上界, 規(guī)定,無下界, 規(guī)定,注,極限存在性,證 令a,當集合,有上界時,當它無上界時,1,由上確界定義,使得,取,則當,時，由函數(shù)單調(diào)上升得,再由上確界定義,或,即,2,因集合無上界，對,使得,取,則當,時, 有,即,類似地我們有,在,定義，且,單調(diào)下降,則,關(guān)于右極限的相應(yīng)結(jié)果，同學(xué)們自行給出定理的表述和證明,三 cauchy準則,th 3.11 ( cauchy準則 ) 設(shè)函數(shù),在點,的某空心鄰域,內(nèi)有定義. 則,存在,證,利用heine歸并原則,利用極限的定義,注：按照cauchy準則，可以寫出,不存在的充要條件：存在,對任意,存在,使得,例：用cauchy準則說明,綜上所述：heine定理和cauchy準則是說明極限不存在的很方便的工具,不