矩陣及其運算好書

1、第3章 矩陣及其運算3.1 基本要求、重點難點基本要求：1 1掌握矩陣的定義.2 2掌握矩陣的運算法則.3 3掌握伴隨矩陣的概念及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法.4 4掌握矩陣秩的概念及求矩陣秩的方法.5 5 掌握初等變換和初等矩陣的概念，能夠利用初等變換計算矩陣的秩，求可逆矩陣的逆矩陣.6 6掌握線形方程組有解得判定定理及其初等變換解線形方程組的方法. 重點難點：重點是矩陣定義，矩陣乘法運算，逆矩陣的求法，矩陣的秩，初等變換及線性方程組的解. 難點是矩陣乘法，求逆矩陣的伴隨矩陣方法.3.2 基本內容3.2.1 3.2.1 重要定義 定義3.1 由個數組成的行列的數表成為一個行列矩陣，記為簡記為，

2、或, 注意行列式與矩陣的區(qū)別：（1） （1） 行列式是一個數，而矩陣是一個數表.（2） （2） 行列式的行數、列數一定相同，但矩陣的行數、列數不一定相同.（3） （3） 一個數乘以行列式，等于這個數乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一個數乘以矩陣等于這個數乘以矩陣的所有元素.（4） （4） 兩個行列式相等只要它們表示的數值相等即可，而兩個矩陣相等則要求兩個矩陣對應元素相等.（5） （5） 當時，有意義，而無意義.的矩陣叫做階方陣或階方陣.一階方陣在書寫時不寫括號，它在運算中可看做一個數.對角線以下（上）元素都是0的矩陣叫上（下）三角矩陣，既是上三角陣，又是下三角的矩陣，也就是除對角線以外的

3、元素全是0的矩陣叫對角矩陣.在對角矩陣中，對角線上元素全一樣的矩陣叫數量矩陣；數量矩陣中，對角線元素全是1的階矩陣叫階單位矩陣，常記為（或），簡記為（或），元素都是0的矩陣叫零矩陣，記為，或簡記為.行和列分別相等的兩個矩陣叫做同型矩陣，兩個同型矩陣的且對應位置上的元素分別相等的矩陣叫做相等矩陣.設有矩陣=，則稱為的負矩陣.若是方陣，則保持相對元素不變而得到的行列式稱為方針的行列式，記為或.將矩陣的行列式互換所得到的矩陣為的轉置矩陣，記為或.若方陣滿足，則稱為對稱矩陣，若方陣滿足，則稱為反對稱矩陣.若矩陣的元素都是實數，則矩陣稱為實矩陣.若矩陣的元素含有復數，則稱矩陣為復矩陣，若=是復矩陣，則稱

4、矩陣（其中為的共軛矩陣，記為.定義3.2 對于階矩陣，如果存在階矩陣，使得，則稱方陣可逆，稱為的逆矩陣，記做.對于方陣，設的代數余子式為，則矩陣稱為的伴隨矩陣，要注意伴隨矩陣中元素的位置.定義3.3 設有矩陣，如果：（1） （1） 在中有一個階子式不為零.（2） （2） 中任意階子式（如果有的話）全為零，則稱是矩陣的一個最高階非零子式，數稱為矩陣的秩，記為.定義3.4 初等變換與初等方陣：（1） （1） 初等變換：變換矩陣的某兩行（記為）；把非零數乘以矩陣的某行的所有元素（記為）；把矩陣的第行的倍加到第行上（記為）.以上為矩陣的三種類型的初等行變換，同樣可以定義矩陣的初等列變換.矩陣的初等行變

5、換、初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.矩陣的初等行（列）變換皆可逆，且為同種類型的初等變換.例如：變換的逆是其自身，變換的逆變換為變換的逆變換為.初等變換的性質：若矩陣經有限次初等行（列）變換為，則的行（列）向量組與的行（列）向量組等價.若矩陣經有限次初等行（列）變換為，則的任意個列（行）向量與中對應的個列（行）向量有相同的線形相關性.（2） （2） 初等方陣：由單位矩陣經過一次初等變換而得的矩陣叫做初等矩陣，初等矩陣也叫初等方陣.初等方陣共分三種，它們是：，.它們與單位矩陣的關系是： ，或， ，或 ，或容易搞錯的是第三組關系式，讀者仔細些.初等矩陣皆可逆，且=，=，=初等方陣的性質：若為可逆方

6、陣，則存在有限個初等方陣，使.矩陣等價的充要條件是存在階可逆方陣和階可逆方陣，使.3.2.2 3.2.2 重要定理定理3.1 對矩陣施行一次初等行（列）變換相對于左（右）乘一個同類型的初等矩陣.例如：若，則；若，則=；若，則=；等等.定理3.2 方陣可逆的充分必要條件是：（1），且.（2）可以表示成一些初等矩陣的乘積.若方陣可逆，則的逆陣唯一，可逆陣也叫做非奇異矩陣或稱為滿秩矩陣，否則稱為奇異矩陣或降秩矩陣，非奇異矩陣經過初等變換后仍是非奇異的，奇異矩陣經過初等變換后仍是奇異的.階方陣的秩的充要條件是：，即可逆.任一可逆矩陣只用初等行（列）變換可化為單位矩陣.定理3.3 對矩陣施以初等變換，不

7、改變矩陣的秩.若矩陣經有限次初等變換為，則稱與等價，記為.若，則=對任何矩陣，可通過初等變換成階梯形矩陣，進一步可化成行最簡形矩陣，再通過初等列變換可化成一個即是行最簡形又是列最簡形的矩陣，即所謂的標準形，設矩陣的秩，由于初等變換不改變矩陣的秩，所以，其中是階單位矩陣.定理3.4 （線性方程組有解的判定定理）（1） （1） 非奇次線形方程組有解的充要條件是=，當=時，方程組有無窮多解；當是=時，方程組有惟一解；當時，方程組無解.（為系數矩陣，為增廣矩陣.）（2） （2） 齊次線形方程組一定有零解；如果，則只有零解，它有非零解的充分必要條件是.3.2.3 3.2.3 主要運算1 1矩陣的運算法則

8、：（1） （1） 加法法則：（加法滿足交換律）；（加法滿足結合律）；若，則（移項法則）.以上運算法則說明了矩陣相加、減的運算有類似于初等代數中相加、減的運算法則，矩陣相加、減是不難掌握的，只有注意矩陣間是否可以相加、減就可以了.（2） （2） 數乘矩陣的運算法則：，其中表示數，、表示同型矩陣.注意：，則或；或且，換句話說：若是零矩陣，則數是0，矩陣是零矩陣至少有一個成立.（3） （3） 矩陣相乘的運算法則：（矩陣乘法對加法滿足分配律）；（矩陣乘法滿足結合律）；，（乘法滿足數因子的結合律）.說明：1） 1） 左邊矩陣的列數必須與右邊矩陣的行數相等才能相乘.矩陣乘法不滿足交換律，也就是說不一定成立

9、，若成立的話，則稱，可交換.2） 2） 顯然有，當是方陣時，有.這就是說單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當于數1在數的乘法中的作用.要注意：是錯誤的，正確的寫法應是，同樣可知.3） 3） 按矩陣乘法的定義，只有方陣才能自乘，故若是階方陣，定義：是整數）當為整數時有由于矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對于兩個階矩陣與，一般來說.4） 4） 伴隨矩陣的運算法則： 5） 5） 方陣行列式的運算法則： 其中、市同階矩陣，是任一數，是的階數.6） 6） 轉置矩陣的運算法則： 是任一數），.7） 7） 逆矩陣的運算法則： ；若可逆，則.8） 8） 共軛矩陣的運算法則： 是任一數），.2 2分塊矩陣的運算:(1)

10、 (1) 將一個矩陣用橫線和縱線分成若干小塊，以這些小塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.(2) (2) 分塊矩陣有類似于普通矩陣的運算法則，只是進行運算的矩陣的分塊要恰當.(3) (3) 分塊對角方陣.若方陣的分塊矩陣只有在主對角線上有非零方陣子快，而其他子快都是零，即則稱為分塊對角方陣，分塊對角方陣的行列式.3.2.4 3.2.4 重要方法本章研討的是矩陣運算，因此凡矩陣定義、矩陣運算的定義、矩陣運算法則等等，都是重要的，應很好地掌握，只是有些較容易掌握，可少花時間和精力；有些較困難，應認真對待，多做練習，多思考，仔細鉆研范例，注意每一個特殊點.1 1 矩陣的運算方法：（1） （1） 以矩陣乘法為

11、綱.矩陣運算有些是較簡單的，如矩陣的線性運算、轉置等，而矩陣相乘就較困難了，可以這樣說，有關矩陣乘法的運算掌握好了，其他的矩陣運算也就不在話下.因此對初學者來說，遇到矩陣乘法，就應該多留心.（2） （2） 邊學習，邊積累，逐步提高.這一章有很多定義（要重視定義?。⒑芏噙\算，每種運算又有若干條運算法則，一開始掌握不了那么多，應該學一點積累一點，直到全部掌握.例如：已知，計算行列式.如果先算出，再算出及，算出矩陣乘積，最后計算行列式；這樣比較麻煩，而且易錯，如果利用方陣則行列式的性質就簡單多了.因，所以.2 2 化矩陣為行階梯矩陣、行最簡矩陣以及標準行的方法： 一定要能熟練地用初等行變換化一個矩

12、陣成為階梯矩陣（或行最簡行）矩陣，因為求逆矩陣、矩陣的秩、解線性方程組等都要用到這樣的方法.3 3 求逆矩陣的方法：（1） （1） 用定義求. 用存在方陣，使，則.此法要求對矩陣乘法比較熟練，對于元素比較特殊的矩陣，可直觀看出滿足條件的（只要驗證或一個即可）.（2） （2） 用，其中是的伴隨矩陣.要注意2階矩陣求伴隨矩陣的口訣：“主換位，副變號.”例如，設，則.（3） （3） 初等變換法. 因為,所以把同時做初等行變換，當處變?yōu)闀r，處得，即，同理.（4） （4） 分塊矩陣求逆.對于分塊對角陣，若的逆都存在，則也存在，且有.若方陣 且的逆都存在，則的逆也存在，且有4 4 求矩陣秩的方法：（1）

13、（1） 初等變換法： 因矩陣經初等變換后，其秩不變，故可用初等變換求其秩.用初等變換求矩陣的秩，即可以用初等行變換，也可以用初等列變換，也可以交替進行，把化成一個容易求秩甚至一看就知道其秩的矩陣，一般化為行階矩陣.若階梯矩陣行矩陣有個非零行，用這種方法求矩陣的秩，不需要計算行列式.（2） （2） 計算子式法：根據矩陣的秩的定義，要求的秩，只需求出的不等于零的子式的最高階數即可.常由低階到高階計算不為零的子式的最高階數.（3） （3） 關于矩陣秩的幾個公式;1) 1) 設為矩陣為矩陣，則 +-2) 2) 設均為矩陣，則 .3) 3) 設、，且，且.5 5 關于解矩陣方程的方法：形如 （3.1） （