中科大量子力學(xué)課件

1、1,第七章 自旋與全同粒子 Spin and undistinguished similar particles,前言,1.未考慮粒子的自旋特征，微觀粒子都有自旋特征。 2.僅考慮了單粒子體系，實際粒子體系一般是多粒 子體系,前面的理論尚有兩方面的局限,7.1 電子自旋 Electron spin 7.2 電子自旋算符與自旋波函數(shù) Electron spin operator and spin wave function 7.3 簡單塞曼效應(yīng) Simple Zeeman effect 7.4 兩個角動量的耦合 Coupling of two angular momentum 7.5 光譜的精細(xì)

2、結(jié)構(gòu) Fine structure of the spectrum 7.6 全同粒子的性質(zhì) The characterization of similar particles 7.7 全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù) 泡利原理 The wave function of similar particle system Pauli principle 7.8 兩個電子的波函數(shù) The spin wave function of two electrons,講授內(nèi)容,學(xué)習(xí)要求,1了解斯特恩-格拉赫實驗，電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率與 軌道回轉(zhuǎn)磁比率。 2掌握自旋算符的對易關(guān)系和自旋算的矩陣形式(泡利 矩陣)，與自旋相聯(lián)系

3、的測量值、概率、平均值等的 計算以及本征值方程和本征函數(shù)的求解方法。 3了解簡單塞曼效應(yīng)的物理機制。 4了解耦合的概念及堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)的物理 解釋。 5全同粒子的基本概念，全同性質(zhì)理，波函數(shù)的交換 對稱性。 6全同粒子的分類。 7全同粒子體系的波函數(shù)，包括兩個全同粒子體系的 波函數(shù)，N個全同粒子體系的波函數(shù)。 8掌握兩個電子的自旋函數(shù),Stern-Gerlach實驗,7.1 電子自旋,基態(tài)氫原子在非均勻磁場中,Conclusion: 磁矩平行或反平行于外加磁場 M (Magnetic moment) parallel or anti-parallel to B (Magnetic fi

4、eld,Problem：Where does the M come from,烏侖貝克. 哥德斯米脫假設(shè),1）每個電子具有自旋角動量 ，它在空間任意方向的取值只能有兩個,SI,CGS,在任意方面上的投影,2）每個電子具有自旋磁矩 ，它與自旋角動量的關(guān)系是,7.1 電子自旋 （續(xù) 1,回旋磁比率,SI,CGS,軌道磁矩與軌道角動量的關(guān)系,SI,CGS,自磁矩是軌道磁矩的兩倍,玻爾磁子,SI,CGS,7.1 電子自旋 （續(xù) 2,9,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù),1自旋算符,為了描述電子的自旋特性，引入一個厄米算符 來表征電子的自旋角動量,注意：自旋角動量是電子內(nèi)部的一種固有特性，在經(jīng)典理論中沒

5、有對應(yīng)量，也不同于一般的力學(xué)量，它不能表示為坐標(biāo)和動量的函數(shù),是自旋角動量，應(yīng)滿足角動量算符的普遍對易關(guān)系,自旋角動量平方算符,平方分量間的對易關(guān)系,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 1,由于在空間任意方向上的投影只有兩個取值，所以 、 、 的本征值是,的本征值都是,即,的本征值,若將自旋角動量本征值表示為角動量本征值的一般形式,1.自旋算符的本征值,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 2,3泡利算符,s為自旋量子數(shù),為“磁”量子數(shù),為了討論問題方便，引入泡利算符,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 3,對易關(guān)系,泡利算符平方算符,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 4,的本

6、征值,本征值,的本征值都是,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 5,Prove,反對易關(guān)系,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 6,16,4自旋算符的矩陣表示,自旋算符在 、 表象中的矩陣形式，可根據(jù)算符的一般理論，算符在其自身表象中為對角矩陣，矩陣元就是其本征得到,現(xiàn)在來研究 、 的矩陣形式,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 7,由,設(shè) 的矩陣形式為,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 8,則,而,再由 得到,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 9,取,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 10,泡利矩陣,自旋算符矩陣,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 11,2

7、1,5.自旋函數(shù),電子既然有自旋，則其波函數(shù)就應(yīng)考慮自旋量子數(shù) （構(gòu)成力學(xué)量完全集合的力學(xué)量數(shù)目為4個），波函數(shù)表示為,寫成矩陣形式，為二行一列矩陣,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 12,這兩種情況的物理意義,時刻， 處找到自旋 的電子的幾率密度,時刻， 處找到自旋 的電子的幾率密度,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 13,歸一化條件,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 14,在一般情況下，自旋和軌道運動之間有相互作用，因而電子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響，這通過 中的 和 是 的不同函數(shù)來體現(xiàn),當(dāng)電子的自旋和軌道運動相互作用小到可以忽略時， 和 對空間位置的依賴關(guān)系是一樣的，

8、這時可引入自旋函數(shù),7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 15,自旋算符的本征值方程,自旋函數(shù)的正交歸一性,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 16,對自旋求平均,對坐標(biāo)和自旋同時求平均,將 表示為二行二列矩陣,任意一個算符 的平均值,7.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù) （續(xù) 17,27,7.3 簡單塞曼效應(yīng),考慮氫原子和類氫原子在磁場中的情況,在無外磁場的情況下，體系的定態(tài)Schrdinger方程,本征函數(shù),本征能量：氫原子 （僅與 有關(guān),由2P態(tài)躍遷到1S態(tài)的躍遷頻率,在有強磁場的情況下（忽略自旋與軌道運動的相互作用能）磁場引起的附加能量,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 1,取的 方向為 軸

9、方向，則,定態(tài)Schrdinger方程,本征函數(shù),7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 2,代入以上方程，寫成,本征能量,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 3,討論,1當(dāng)原子處在 態(tài)時，,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 4,由于電子存在自旋，原子處在磁場中，原來的能級 分裂為兩條，正如斯特恩革拉赫實驗中所觀察到的,22P態(tài)1S態(tài)的躍遷情況,1S態(tài)的能級,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 5,2P態(tài)的能級,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 6,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 7,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 8,2P1S躍遷頻率,由此和選擇定則,知,即2P1S躍遷頻率可取三個值,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 9,7.3 簡單塞曼效應(yīng)（續(xù) 10,38,

10、7.6 全同粒子的特征,固有性質(zhì)相同的粒子稱為全同粒子,例：電子、質(zhì)子、中子、超子、重子、輕子、微子同類核原子、分子,固有性質(zhì)指的是：質(zhì)量、電荷、自旋同位旋、宇稱、奇異數(shù),1.全同粒子,例如：在電子雙縫衍射實驗中，考察兩個電子，無法判別哪個電子通過哪條縫，也無法判別屏上觀察到的電子，哪個是通過哪條縫來的，也無法判別哪個是第一個電子，哪個是第二個電子,2不可區(qū)分性,經(jīng)典力學(xué)中，兩物體性質(zhì)相同時，仍然可以區(qū)分，因各自有確定軌道。 微觀體系（粒子），因為運動具有波粒二象性，無確定軌道，在位置幾率重迭處就不能區(qū)分是哪個粒子,7.6 全同粒子的特征（續(xù) 1,40,3全同性原理,由于全同粒子的不可區(qū)分性，

11、在全同粒子所組成的系統(tǒng)中，任意兩個全同粒子相互交換（位置等），不會引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變,全同性原理是量子力學(xué)中的基本原理之一，也稱基本假設(shè)之一,幾率分布不變,7.6 全同粒子的特征（續(xù),41,4全同粒子體系波函數(shù)的對稱性質(zhì),設(shè)體系由N個全同粒子組成,以 表示第i個粒子的坐標(biāo)和自旋,表示第i個粒子在外場中的能量,表示第i個粒子和第i個粒子的相互作用能,則體系的哈米頓算符,兩粒子互換，哈米頓算符不變,7.6 全同粒子的特征（續(xù),薛定格方程,再交換 與,7.6 全同粒子的特征（續(xù),這表示如果 是方程的解，則 也是方程的解,根據(jù)全同性原理，它們描述的是同一狀態(tài)，則它們間只可能相差一常數(shù)因子，以 表示.即

12、有,再交換 與,7.6 全同粒子的特征（續(xù),描述全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的，或者反對稱的,當(dāng) 時,即波函數(shù)為反對稱函數(shù),當(dāng) 時,即波函數(shù)為對稱函數(shù),7.6 全同粒子的特征（續(xù),5波函數(shù)的對稱性質(zhì)不隨時間而變化,設(shè) 時刻波函數(shù)對稱,它滿足薛定格方程,由于 對稱, 使 也對稱,在 時刻，波函數(shù)為 它 是兩個對稱函數(shù)之和，故也是對稱的,同樣可證明反對稱函數(shù)在以后任何時刻都是反對稱的,7.6 全同粒子的特征（續(xù),費米子和玻色子,費米子：自旋為 奇數(shù)倍的粒子稱為費米子。如電子、質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為 ，它們均為費米子,玻色子：自旋為 的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、 光子的自旋分別為O或

13、 ，它們均為玻色子,玻色子服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計，其波函數(shù)是對稱的。 費米子系統(tǒng)服從費米狄拉克統(tǒng)計，其波函數(shù)是反對稱的,結(jié)論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間變化,7.6 全同粒子的特征（續(xù),47,7.7 全同粒子體系的波函數(shù) 泡利原理,一、兩粒子體系,在不考慮粒子間相互作用時，體系的哈米頓算符,以 和 表示 的第i個本征值和本征函數(shù)，則單粒子的本征值方程為,體系的哈米頓算符的本征值方程為,本征能量,能量值仍為 是簡并的，這種簡并稱為交換簡并,如果兩粒子處于同一狀態(tài),則（7.7-4）和（7.7-6）給出同一個對稱波函數(shù),如果兩粒子處于不同狀態(tài),則（7.7-

14、4）和（7.7-6）式的函數(shù)既不對稱，也不反對稱，故不符合全同粒子體系波函數(shù)的要求,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),這表明（7.7-4）和（7.7-6）兩式所表示的函數(shù)，只能部分滿足全同粒子體系對波函數(shù)的要求，不能完全滿足，故不能作為全同粒子體系的波函數(shù),但由（7.7-4）和（7.7-6）兩式的和、差可以構(gòu)成對稱函數(shù)和反對稱函數(shù),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),玻色系統(tǒng),費米系統(tǒng),50,泡利原理,對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)兩個玻色子處于同一個狀態(tài)時 ，這時 ，故幾率密度，所以允許,對于費米系統(tǒng)，波函數(shù)取 形式，當(dāng)兩費米子處于同一個狀態(tài)時，故使幾率密度 ，所以不允許,泡利

15、不相容原理：費米系統(tǒng)中，兩個費米子不能處 于同一個狀態(tài),正是這個原理，使核和原子等的結(jié)構(gòu)有序,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),51,二、N粒子體系,將兩粒子體系推廣到N粒子體系,單粒子的本征值方程,體系的薛定格方程,本征能量,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),52,三、費米子體系波函數(shù),可見，在不考慮粒子間相互作用時，全同粒子體系的能量等于各單粒子能量之和，哈米頓算符的本征函數(shù)是各單粒子的本征函數(shù)的積。因此，解多粒子體系的問題，歸結(jié)為解單粒子的薛定格方程,下面分別討論費米系統(tǒng)和玻色系統(tǒng)的波函數(shù)形式,由N個費米子組成的體系的本征函數(shù)是反對稱的，依照（7.7-13）式,7.7 全

16、同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),交換任意兩個粒子，在斯萊特行列式中就表現(xiàn)出兩列相互交換，這就使行列式改變符號。所以 是反對稱的,如果N個粒子中有兩個處于同一個狀態(tài)，則斯萊特行列式中有兩行完全相同，這使行列式等于零，從而使 ，幾率 。要使 ，不能有兩費米子處在同一單粒子態(tài)。這就是泡利的不相容原理,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),是歸一化的， 是 的歸一化因子。將斯萊特行列式展開，共有 項如（7.7-13）式的形式，因而, 是體系薛定格方程 的本征函數(shù)解,例,一個體系由三個費米子組成，粒子間無相互作用，它們分別可能處于單粒態(tài) 、 、 ，求系統(tǒng)波函數(shù),Solve,7.7 全同粒子體系的波函

17、數(shù)泡利原理（續(xù),55,四、玻色子體系的波函數(shù),N個玻色子所組成的體系的波函數(shù)應(yīng)是對稱的。它也由（7.7-13）式進行構(gòu)成。所不同的是單粒子態(tài) 中，能容納的玻色子數(shù)不受限制，可大于1。波函數(shù)形式可表示為,式中P表示N個粒子在波函數(shù)中的某一種排列， 表示對所有可能的排列求和，而C則為歸一化常數(shù),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),設(shè)N個玻色子中，有 個處于 態(tài)，有 個處于 態(tài)，有 個處于 態(tài)，而 ，則體系的 波函數(shù)為,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),所以歸一化因子為,Ex.1,在N個全同玻色子所組成的體系中，如果有 個粒子處在單粒子態(tài) 中, ，求此體系的歸一化波函數(shù),Solve：

18、當(dāng)N個全同玻色子處于N個不同的單粒子狀態(tài)時，體系的玻函數(shù)為,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),由于單粒子態(tài)是正交歸一的，則上式變?yōu)?這里 表示 個粒子在 個單粒子態(tài)上各占一態(tài)的某一種排列，而 表示對各種可能排列方式的種數(shù)求和，應(yīng)有 種,根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件,歸一化常數(shù),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),當(dāng) 個粒子處于某一個態(tài) 時, 有 種交換，即 種排列不形成新的狀態(tài)，這時求和的項數(shù)不是 ，而應(yīng)是,歸一化常數(shù),歸一化波函數(shù),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的玻

19、函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構(gòu)成,Solve,狀態(tài)數(shù),設(shè)兩單粒子態(tài)為 和,Ex.2,有兩種情況,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),第一種情況,三粒子同處于 態(tài),三粒子同處于 態(tài),1) 三個玻色子處在同一個狀態(tài)。 (2) 兩個玻色子處在同一個狀態(tài)，另一個玻色子處于另一狀態(tài),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),第二種情況,兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于 態(tài),兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于 態(tài),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三個 ，問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成,Solve,1）三個玻色子分別處于三個單態(tài)

20、上,狀態(tài)數(shù),Ex.3,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),2）三個粒子處于同一個單態(tài)上,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),三種十個態(tài),7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),五、 全同粒子體系的自旋函數(shù),在不考慮粒子自旋和軌道相互作用的情況下，體系的波函數(shù)可寫成坐標(biāo)函數(shù)和自旋函數(shù)的乘積,若粒子是玻色子，則 為對稱波函數(shù)，這時 和 均為對稱或均為反對稱的,若粒子為費米子，則 為反對稱波函數(shù)，這時如果 為對稱的，那么 為反對稱的。如果 為反對稱的，那么 為對稱的,7.7 全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理（續(xù),7.8 兩個電子的自旋函數(shù),中性氦原子、氫分子都是兩電子體系，研究氦原子或氫分子的狀態(tài)，就涉及到兩個電子的全同粒子體系,電子體系的自旋角動量,在不考慮兩電子自旋相互作用時，兩電子體系的自旋函數(shù)可寫成單電子自旋函數(shù)的乘積,由此可以構(gòu)造兩電子體系的四個自旋函數(shù) （三個對稱函數(shù) 和一個反對稱,7.8 兩個電子的自旋函數(shù)（續(xù),單電子的自旋狀態(tài),7.8