奧數(shù)：4-1-4奇妙的一筆畫題庫(kù)doc

1、（2）G)-奇妙的一筆畫例題精講所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次, 不準(zhǔn)重復(fù)從圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？ 下面，我們就來(lái)探求解決這個(gè)問(wèn)題的方法.什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問(wèn)題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲.我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn).相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn).一筆畫問(wèn)題：(1) 能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形；(2) 凡是只由偶點(diǎn)組成的連通圖形.一定可以一筆畫出.畫時(shí)可以由任一偶點(diǎn)作為起點(diǎn).最后仍回到這點(diǎn)；(3) 凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形一定可

2、以一筆畫出.畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn);(4) 奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的圖形，一定不能一筆畫.多筆畫問(wèn)題：我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫.多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半.事實(shí)上，對(duì)于任意 的連通圖來(lái)說(shuō)，如果有 2n個(gè)奇點(diǎn)(n為自然數(shù))，那么這個(gè)圖一定可以用 n筆畫成.【例1】我們把一個(gè)圖形上與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn).下圖中，哪些點(diǎn) 是偶點(diǎn)？哪些點(diǎn)是奇點(diǎn)？偶點(diǎn)：A E B C G I【例2】判斷下列圖a、圖b、圖c能否一筆畫.A匚【解析】圖a能，因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn)，圖b不能，因?yàn)閳D形不是連通的, 圖c能，因?yàn)橐驗(yàn)閳D中全是奇點(diǎn)【例3】下面圖形能

3、不能一筆畫成？若果能，應(yīng)該怎樣畫?【解析】圖1能因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn), 圖2能因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn), 圖3不能因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn).【例4】下面的圖形，哪些能一筆畫出?【例5】【解析】【解析】第1個(gè)能，2、3不能下圖中不能一筆畫成，請(qǐng)你在下圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫的圖形，并畫出路線圖.F不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有 E H G F四個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié) EH就可以使圖形一筆畫出.【例6】下圖中的線段表示小路， 請(qǐng)你仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，能夠不重復(fù)的爬遍小路的是甲螞蟻還是乙螞蟻?該怎樣爬?【解析】要想不重復(fù)爬出，需要圖形能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以應(yīng)該從奇點(diǎn)出發(fā)才能一筆畫出 圖形，所以甲螞蟻能夠.【例7】

4、能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形?【解析】【例8】下圖是兒童樂(lè)園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復(fù)，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里? 【解析】不走重復(fù)路，一筆能畫出路線圖，圖中有4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-32個(gè)奇點(diǎn)，應(yīng)該從奇點(diǎn)處出發(fā)，下面有一種參考路線:【例10】觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫成?(1)/ / SBCDE【解析】要想不重復(fù)，需要路線能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個(gè)奇點(diǎn) 出，即F和1點(diǎn).【解析】圖（1）有8個(gè)奇點(diǎn)，所以要 4筆畫出, 圖（2）有12個(gè)奇點(diǎn)，所以要一筆畫出， 圖（3）能一筆畫出.【例11】判斷

5、下列圖形能否一筆畫若能，請(qǐng)給出一種畫法；若不能，請(qǐng)加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形.FED【解析】圖（1）不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)BD，或者去掉BF都可以使圖形能一筆畫出.圖（2）不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉KL,或者BK都可以使圖形能一筆畫出.圖（3）不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉AB可以使圖形能一筆畫出.一個(gè)K（K 1）筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)如左下圖中的B, C兩個(gè)奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn). 所以只要在K筆畫的2K個(gè)奇點(diǎn)間添加（K-1）筆

6、就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個(gè)，從而變成一筆畫.【例12】18世紀(jì)的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島A和一座半島D，人們?cè)谶@里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個(gè)小島連接起來(lái)（如圖a） 如果游人要一次走過(guò)這七座橋，而且對(duì)每座橋只許走一次，問(wèn)如何走才能成功？I柏【解析】歐拉解決這個(gè)問(wèn)題的方法非常巧妙他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不 關(guān)心橋的長(zhǎng)短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條 線.這樣，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問(wèn)題了

7、.而圖 B中有4個(gè)奇點(diǎn)顯然不能一筆畫出.（Q（b）【鞏固】如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個(gè)島，有七座橋連接這兩個(gè)島及河岸.問(wèn)：一個(gè)散步者能否一 次不重復(fù)地走遍這七座橋？【解析】能【例13】右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個(gè)展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個(gè)展覽廳還有個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，問(wèn)游人能否一次不重復(fù)地穿過(guò)所有的門，并且從入口進(jìn)，從出口出？【解析】將圖形中的6個(gè)區(qū)域看成6個(gè)點(diǎn)，每個(gè)門看成連結(jié)他們的線段，顯然6個(gè)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，所以有人能一次不重復(fù)的走過(guò)所有的門.【鞏固】右圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過(guò)每一扇門？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由如果 能，應(yīng)從哪開始走？【解析】【例14】一

8、條小蟲沿長(zhǎng)6分米，寬4分米，高5分米的長(zhǎng)方體的棱爬行.如果它只能進(jìn)不能退，并且同【解析】8個(gè)定點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以至少需要 4筆.多畫長(zhǎng)和高能保證總路程最長(zhǎng)，為A B G H A D C F E D總長(zhǎng)為6 X 4+ 5 X 4 + 4 X 1 = 48分米.【鞏固】一只木箱的長(zhǎng)、寬、高分別為5, 4, 3厘米（見(jiàn)右圖），有一只甲蟲從 A點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，每條棱不允許重復(fù)，則甲蟲回到 A點(diǎn)時(shí)，最多能爬行多少厘米？【解析】最多34厘米【例15】如圖是某餐廳的平面圖，共有五個(gè)小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設(shè)有入口.請(qǐng)問(wèn)你能否從入口進(jìn)入一次不重復(fù)地穿過(guò)所有的門.如果可以，請(qǐng)指明穿行路線，如果不能，應(yīng)關(guān)

9、閉哪個(gè)門就可以辦到？入口【解析】 可以將圖中的五個(gè)小廳以及廳外的部分都抽象成點(diǎn)，為方便解題，給它們分別編號(hào).這時(shí)，連通廳 與廳之間的門就相當(dāng)于各點(diǎn)之間的連線.于是題目中餐廳的平面圖就抽象成為一個(gè)連通的圖形，求 穿形路線的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成一筆畫的問(wèn)題.在抽象出的圖形中，我們可以找到四個(gè)奇點(diǎn)，即、 和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說(shuō)，從入口進(jìn)入不可能一次不重復(fù)的穿過(guò)所有的門.但根 據(jù)一筆畫問(wèn)題的知識(shí)，只要關(guān)閉門，把、變?yōu)榕键c(diǎn)，就可以辦到，可行路線如下圖：B【例16】在3X3的方陣中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100米.小明沿線段從 A點(diǎn)到B點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？【解析】 這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實(shí)際上可以用一筆畫原理求解首先，圖中有8個(gè)奇點(diǎn)，在8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉 4條線段，才能使這8個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)；其次，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，A，B兩 點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在 A， B都是偶點(diǎn)，必須在與 A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為 奇點(diǎn)所以至少要去掉 6條線段，也就是最多能走 1800米，走法如圖【例17】一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局怎樣走才能使所走的行