奧數(shù)：4-1-4奇妙的一筆畫(huà)題庫(kù)doc

1、（2）G)-奇妙的一筆畫(huà)例題精講所謂圖的一筆畫(huà)，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫(huà)一次, 不準(zhǔn)重復(fù)從圖中容易看出：能一筆畫(huà)出的圖首先必須是連通圖但是否所有的連通圖都可以一筆畫(huà)出呢？ 下面，我們就來(lái)探求解決這個(gè)問(wèn)題的方法.什么樣的圖形能一筆畫(huà)成呢？這就是一筆畫(huà)問(wèn)題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲.我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線(xiàn)相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn).相應(yīng)的把與奇數(shù)條線(xiàn)相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn).一筆畫(huà)問(wèn)題：(1) 能一筆畫(huà)出的圖形必須是連通的圖形；(2) 凡是只由偶點(diǎn)組成的連通圖形.一定可以一筆畫(huà)出.畫(huà)時(shí)可以由任一偶點(diǎn)作為起點(diǎn).最后仍回到這點(diǎn)；(3) 凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形一定可

2、以一筆畫(huà)出.畫(huà)時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn);(4) 奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的圖形，一定不能一筆畫(huà).多筆畫(huà)問(wèn)題：我們把不能一筆畫(huà)成的圖，歸納為多筆畫(huà).多筆畫(huà)圖形的筆畫(huà)數(shù)恰等于奇點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半.事實(shí)上，對(duì)于任意 的連通圖來(lái)說(shuō)，如果有 2n個(gè)奇點(diǎn)(n為自然數(shù))，那么這個(gè)圖一定可以用 n筆畫(huà)成.【例1】我們把一個(gè)圖形上與偶數(shù)條線(xiàn)相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，與奇數(shù)條線(xiàn)相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn).下圖中，哪些點(diǎn) 是偶點(diǎn)？哪些點(diǎn)是奇點(diǎn)？偶點(diǎn)：A E B C G I【例2】判斷下列圖a、圖b、圖c能否一筆畫(huà).A匚【解析】圖a能，因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn)，圖b不能，因?yàn)閳D形不是連通的, 圖c能，因?yàn)橐驗(yàn)閳D中全是奇點(diǎn)【例3】下面圖形能

3、不能一筆畫(huà)成？若果能，應(yīng)該怎樣畫(huà)?【解析】圖1能因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn), 圖2能因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn), 圖3不能因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn).【例4】下面的圖形，哪些能一筆畫(huà)出?【例5】【解析】【解析】第1個(gè)能，2、3不能下圖中不能一筆畫(huà)成，請(qǐng)你在下圖中添加最少的線(xiàn)段，將其改成一筆畫(huà)的圖形，并畫(huà)出路線(xiàn)圖.F不能一筆畫(huà)出，因?yàn)閳D中有 E H G F四個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié) EH就可以使圖形一筆畫(huà)出.【例6】下圖中的線(xiàn)段表示小路， 請(qǐng)你仔細(xì)觀(guān)察，認(rèn)真思考，能夠不重復(fù)的爬遍小路的是甲螞蟻還是乙螞蟻?該怎樣爬?【解析】要想不重復(fù)爬出，需要圖形能一筆畫(huà)出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以應(yīng)該從奇點(diǎn)出發(fā)才能一筆畫(huà)出 圖形，所以甲螞蟻能夠.【例7】

4、能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形?【解析】【例8】下圖是兒童樂(lè)園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復(fù)，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里? 【解析】不走重復(fù)路，一筆能畫(huà)出路線(xiàn)圖，圖中有4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-32個(gè)奇點(diǎn)，應(yīng)該從奇點(diǎn)處出發(fā)，下面有一種參考路線(xiàn):【例10】觀(guān)察下面的圖，看各至少用幾筆畫(huà)成?(1)/ / SBCDE【解析】要想不重復(fù)，需要路線(xiàn)能一筆畫(huà)出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個(gè)奇點(diǎn) 出，即F和1點(diǎn).【解析】圖（1）有8個(gè)奇點(diǎn)，所以要 4筆畫(huà)出, 圖（2）有12個(gè)奇點(diǎn)，所以要一筆畫(huà)出， 圖（3）能一筆畫(huà)出.【例11】判斷

5、下列圖形能否一筆畫(huà)若能，請(qǐng)給出一種畫(huà)法；若不能，請(qǐng)加一條線(xiàn)或去一條線(xiàn)，將其改成可一筆畫(huà)的圖形.FED【解析】圖（1）不能一筆畫(huà)出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)BD，或者去掉BF都可以使圖形能一筆畫(huà)出.圖（2）不能一筆畫(huà)出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉KL,或者BK都可以使圖形能一筆畫(huà)出.圖（3）不能一筆畫(huà)出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉AB可以使圖形能一筆畫(huà)出.一個(gè)K（K 1）筆畫(huà)最少要添加幾條連線(xiàn)才能變成一筆畫(huà)呢？我們知道K筆畫(huà)有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線(xiàn)，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)如左下圖中的B, C兩個(gè)奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn). 所以只要在K筆畫(huà)的2K個(gè)奇點(diǎn)間添加（K-1）筆

6、就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個(gè)，從而變成一筆畫(huà).【例12】18世紀(jì)的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島A和一座半島D，人們?cè)谶@里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個(gè)小島連接起來(lái)（如圖a） 如果游人要一次走過(guò)這七座橋，而且對(duì)每座橋只許走一次，問(wèn)如何走才能成功？I柏【解析】歐拉解決這個(gè)問(wèn)題的方法非常巧妙他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不 關(guān)心橋的長(zhǎng)短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條 線(xiàn).這樣，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形（如下圖）能否一筆畫(huà)出的問(wèn)題了

7、.而圖 B中有4個(gè)奇點(diǎn)顯然不能一筆畫(huà)出.（Q（b）【鞏固】如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個(gè)島，有七座橋連接這兩個(gè)島及河岸.問(wèn)：一個(gè)散步者能否一 次不重復(fù)地走遍這七座橋？【解析】能【例13】右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個(gè)展室組成，任兩展室之間都有門(mén)相通，整個(gè)展覽廳還有個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，問(wèn)游人能否一次不重復(fù)地穿過(guò)所有的門(mén)，并且從入口進(jìn)，從出口出？【解析】將圖形中的6個(gè)區(qū)域看成6個(gè)點(diǎn)，每個(gè)門(mén)看成連結(jié)他們的線(xiàn)段，顯然6個(gè)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，所以有人能一次不重復(fù)的走過(guò)所有的門(mén).【鞏固】右圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀(guān)者能否不重復(fù)地穿過(guò)每一扇門(mén)？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由如果 能，應(yīng)從哪開(kāi)始走？【解析】【例14】一

8、條小蟲(chóng)沿長(zhǎng)6分米，寬4分米，高5分米的長(zhǎng)方體的棱爬行.如果它只能進(jìn)不能退，并且同【解析】8個(gè)定點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以至少需要 4筆.多畫(huà)長(zhǎng)和高能保證總路程最長(zhǎng)，為A B G H A D C F E D總長(zhǎng)為6 X 4+ 5 X 4 + 4 X 1 = 48分米.【鞏固】一只木箱的長(zhǎng)、寬、高分別為5, 4, 3厘米（見(jiàn)右圖），有一只甲蟲(chóng)從 A點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，每條棱不允許重復(fù)，則甲蟲(chóng)回到 A點(diǎn)時(shí)，最多能爬行多少厘米？【解析】最多34厘米【例15】如圖是某餐廳的平面圖，共有五個(gè)小廳，相鄰兩廳之間有門(mén)相通，并且設(shè)有入口.請(qǐng)問(wèn)你能否從入口進(jìn)入一次不重復(fù)地穿過(guò)所有的門(mén).如果可以，請(qǐng)指明穿行路線(xiàn)，如果不能，應(yīng)關(guān)

9、閉哪個(gè)門(mén)就可以辦到？入口【解析】 可以將圖中的五個(gè)小廳以及廳外的部分都抽象成點(diǎn)，為方便解題，給它們分別編號(hào).這時(shí)，連通廳 與廳之間的門(mén)就相當(dāng)于各點(diǎn)之間的連線(xiàn).于是題目中餐廳的平面圖就抽象成為一個(gè)連通的圖形，求 穿形路線(xiàn)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成一筆畫(huà)的問(wèn)題.在抽象出的圖形中，我們可以找到四個(gè)奇點(diǎn)，即、 和廳外，所以圖形不能一筆畫(huà)出也就是說(shuō)，從入口進(jìn)入不可能一次不重復(fù)的穿過(guò)所有的門(mén).但根 據(jù)一筆畫(huà)問(wèn)題的知識(shí)，只要關(guān)閉門(mén)，把、變?yōu)榕键c(diǎn)，就可以辦到，可行路線(xiàn)如下圖：B【例16】在3X3的方陣中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100米.小明沿線(xiàn)段從 A點(diǎn)到B點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？【解析】 這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫(huà)的方法，實(shí)際上可以用一筆畫(huà)原理求解首先，圖中有8個(gè)奇點(diǎn)，在8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉 4條線(xiàn)段，才能使這8個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)；其次，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，A，B兩 點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在 A， B都是偶點(diǎn)，必須在與 A，B連接的線(xiàn)段中各去掉1條線(xiàn)段，使A，B成為 奇點(diǎn)所以至少要去掉 6條線(xiàn)段，也就是最多能走 1800米，走法如圖【例17】一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局怎樣走才能使所走的行