第六講-機器人運動學逆解ppt課件

1、前置模式： i-1坐標系i 。 僅涉及i桿件的參數,1、桿長:沿xi軸從zi-1到zi的距離。 2、扭角：繞xi從zi-1轉到zi的角度。 3、平移量：沿zi-1軸從xi-1軸量至xi軸的距離。 4、轉角：繞zi-1軸從xi-1軸到xi的轉角,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,第3章 機器人運動學,3.1 機器人的位姿描述 3.2 齊次變換及運算 3.3 機器人運動學方程 3.4 機器人微分運動,3.3.2小節(jié) 運 動 學 方 程 的 逆解,3.3 機器人運動學方程,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/

2、02,3.3 機器人運動學方程,機器人運動學方程的逆解，也稱機器人的逆運動學問題，或間接位置求解。 逆運動學問題：對某個機器人，當給出機器人手部在基座標系中所處的位置和姿態(tài)時（即M0h中各元素給定），求出其對應的關節(jié)變量值qi,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,2、運動學方程的逆解,逆運動學問題的可解性： 下面以六自由度機器人PUMA為例，研究其可解性,其中,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,2、運動學方程的逆解,其中,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,2、運動學方程的逆解,可見，我們有12個方程及6個未知數。 上述12個方程關

3、系如何？ 我們先看看轉動部分，它是3X3子矩陣，共有9個元素；我們知道，轉動矩陣的每列都是單位矢量，并且每列之間都兩兩正交；因此，9個元素中僅三個是獨立的，或則說，12個方程中僅有6個是獨立，對應6個未知數。 因此，一般情況下，單從數學的角度看，方程組應該是有解的,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,2、運動學方程的逆解,上述方程組是由一些非線性的、超越、難解的方程組成。為了降低求解難度，機器人的桿件參數應僅可能地取為0，如常見的PUMA機器人那樣。對于任何非線性方程組，必須關心其解的存在性、多解性和求解方法,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,2、運動

4、學方程的逆解,解得存在性： 解是否存在與機器人的工作空間密切相關，工作空間又取決于機器人的結構、桿件參數，或手部（工具）的位姿。 一般情況下，如果手部坐標系的位置和姿態(tài)都位于工作空間內，則至少存在一個解；相反，若手部坐標系的位置和姿態(tài)都位于工作空間外，則無解,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,2、運動學方程的逆解,多解性問題： 解得數量不僅與機器人的關節(jié)數有關，還與它的桿件參數、關節(jié)活動范圍等相關。一般說，連桿的非零參數越多，解的數量就越多，即到達某個位置的路經就越多。多個解的存在使我們面臨選擇。 如何選擇？如：路徑最短、最近原則。 多解的應用： 躲避障礙物等,山東大學機

5、械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,運動學逆解的求解方法 不像線性方程，不存在求解非線性方程組的通用算法。 非線性方程組的算法應能求出它的所有解；因此，某些數值遞推方法不適用。 逆解的形式： 1)閉式解(Close-form solution):用解析函數式表示解。 特點：求解速度快。 存在閉式解是機器人設計的目標，僅僅在一些特殊情況下，機器人存在解析的閉式解，如：相鄰的多個關節(jié)軸交與一點，桿件扭角等于0或90度等,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,2)數值解(Numerical solution): 特點：遞

6、推求解。 求解方法分類： 代數法、幾何法以及數值法，前兩種用于求閉式解，后一種用于數值解。 下面我們結合幾個實例，介紹機器人閉式解析解的求解方法,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,例1：已知四軸平面關節(jié)SCARA機器 人如圖所示，試計算： （1）機器人的運動學方程； （2）當關節(jié)變量取 qi=30，-60，120，90T 時，機器人手部的位置和姿態(tài)； （3）機器人運動學逆解的數學 表達式,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解： 1）運動學方程 a、建立坐標系（前置模式） 機座坐標系0 桿件坐標系i

7、手部坐標系h,1,0,2,3,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（1）運動學方程 b、確定參數,0,1,2,3,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（1）運動學方程 c、相鄰桿件位姿矩陣,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（1）運動學方程 c、相鄰桿件位姿矩陣,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（1）運動學方程 c、相鄰桿件位姿矩陣,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3

8、.3 機器人運動學方程,解：（1）運動學方程 c、相鄰桿件位姿矩陣,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（1）運動學方程 d、建立方程,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（2）已知qi=30，-60，120，90T，則,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（3）逆解數學表達式 已知運動學方程，用通式表示為,分析：上述矩陣方程有4個未知量，由于第一行第一列元素與第二行第二列元素相等，第一行第二列元素與第二行第一列元素大小相等、符號相反；因此，僅4

9、個元素相互獨立，與變量數相同,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（3）逆解數學表達式 聯立方程,其中，nx、ny、px、py和pz是已知的手的位姿，1、2、4及d3是待求的未知量,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（3）逆解數學表達式 由上面（a）、（b）兩式可得,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,由上面（c）、（d）兩式,兩邊平方可得,將兩式相加得,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,這時 已經求出,3.3 機器人運動學方

10、程,解：（3）逆解數學表達式 為了求1，由上面（c）、（d）兩式展開可得,化簡，得,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（3）逆解數學表達式 由上面兩式可得,可得,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（3）逆解數學表達式 已知1，2后，由,可得,最后由（e)式可得,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：（3）逆解數學表達式 逆解數學表達式為,可見，四軸平面關節(jié)SCARA機器存在封閉式逆解表達式,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02

11、,3.3 機器人運動學方程,結合實例介紹另一種求逆解的代數法。 例2：已知PUMA機器人，如圖所示，試用遞推逆變換法計算其運動學逆解（后置模式,與教材有些不同 D2=0,d3不等0,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解：結構參數和關節(jié)變量表,31,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,接下來寫出一些桿件間齊次變換陣，并注意其中的一些元素,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,其中,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,手部相對基座坐標系的位姿

12、矩陣,2、運動學方程的逆解,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,由,注意到，T16的（2,4）元素為d3。讓上式中等號兩邊的（2,4）元素相等，得,1,2,已知,一個未知量1,越靠近基座越簡單,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,令： 代入（2）式有： 根據和差公式，得： 最后,求出了1,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,求出1后，(1)式的左邊矩陣就已知，如果我們再令(1)式等號兩邊(1,4)和(3,4)元素相等，可得,3,將以上兩式平方后相加，可得,其

13、中,4,兩個未知量2， ,3,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,4）式與（2）式有相同的形式，可得,我們注意到，T36中的（1,4）和（2,4）元素為常數，由,5,令(5)式等號兩邊(1,4)和(2,4)元素相等，可得,6,1、2已求出,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,6）式中，僅c23和s23兩個未知數，聯立可解得,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,這樣，式（5）左邊矩陣中的所有元素都已知了。 、為了求4和5，令(5)式等號兩邊(1,3)和(3,3

14、)元素相等，可得,設s5不等于零，得,5等于零對應4軸與6軸共線的奇異結構，這時 的轉動效果相同，可任取,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,為了求5和6，我們應用T46,其中,令(7)式等號兩邊(1,3)和(3,3)元素相等，可得,7,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,解得,同樣，令(7)式等號兩邊(3,1)和(1,1)元素相等，可得,其中,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,總結,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運

15、動學方程,從所得的各關節(jié)變量表達式可看出：只有1-3的式中有 ,故他們確定了末桿坐標系原點的位置。而4-6 三式中有 ，它們確定了末桿坐標系的姿態(tài)。這是后三個關節(jié)交與一點這種結構的重要特點之一,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,遞推逆變換法小結： 1、原則：等號兩端的矩陣中對應元素相等，列出相關方程進行求解。 2、步驟： 1）、從含變量少的左邊開始，如T01，向右遞推，直到求出所有變量或無法繼續(xù)。 2）、選擇等號左邊或右邊矩陣中等于常數或僅含有一個變量的元素，列出相應元素對應的方程或方程組,山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02,3.3 機器人運動學方程,3、技巧：求角時，盡量采用反正切，并依據x和y的符號，判定它所在的象限。 4