異面直線間的距離(高中全部8種方法詳細(xì)例題

1、異面直線間的距離求異面直線之間距離的常用策略： 求異面直線之間的距離是立體幾何重、難點之一。常有利用圖形性質(zhì)，直接找出該公垂線，然后求解；或者通過空間圖形性質(zhì)，將異面直線距離轉(zhuǎn)化為直線與其平行平面間的距離，或轉(zhuǎn)化為分別過兩異面直線的平行平面間的距離，或轉(zhuǎn)為求一元二次函數(shù)的最值問題，或用等體積變換的方法來解。常用方法有：1、 定義法2、 垂直平面法（轉(zhuǎn)化為線面距）3、 轉(zhuǎn)化為面面距4、 代數(shù)求極值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等積法1 定義法 就是先作出這兩條異面直線的公垂線，然后求出公垂線的長，即異面直線之間的距離。例1 已知：邊長a為的兩個正方形ABCD和CDEF成1200的二

2、面角，求異面直線CD與AE間的距離。思路分析：由四邊形ABCD和CDEF是正方形，得CDAD，CDDE，即CD平面ADE，過D作DHAE于H，可得DHAE，DHCD，所以DH是異面直線AE、CD的公垂線。在ADE中，ADE=1200，AD=DE=a，DH=。即異面直線CD與AE間的距離為。2 垂直平面法：轉(zhuǎn)化為線面距離，若a、b是兩條異面直線，過b上一點A作a的平行線a/，記a/與b確定的平面。從而，異面直線a、b間的距離等于線面a、間的距離。例1 如圖，BF、AE兩條異面直線分別在直二面角P-AB-Q的兩個面內(nèi)，和棱分別成、角，又它們和棱的交點間的距離為d，求兩條異面直線BF、AE間的距離。

3、思路分析：BF、AE兩條異面直線分別在直二面角P-AB-Q的兩個面內(nèi)，EAB=，F(xiàn)AB=，AB=d，在平面Q內(nèi)，過B作BHAE，將異面直線BF、AE間的距離轉(zhuǎn)化為AE與平面BCD間的距離，即為A到平面BCD間的距離，又因二面角P-AB-Q是直二面角，過A作ACAB交BF于C，即AC平面ABD，過A作ADBD交于D，連結(jié)CD。設(shè)A到平面BCD的距離為h。由體積法VA-BCD=VC-ABD， 得 h=3轉(zhuǎn)化為面面距離 若a、b是兩條異面直線，則存在兩個平行平面、，且a、b。求a、b兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為平行平面、間的距離。例3已知：三棱錐S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=A

4、B=15，求異面直線AS與BC的距離。思路分析：這是一不易直接求解的幾何題，把它補(bǔ)成一個易求解的幾何體的典型例子，常常有時還常把殘缺形體補(bǔ)成完整形體；不規(guī)則形體補(bǔ)成規(guī)則形體；不熟悉形體補(bǔ)成熟悉形體等。所以，把三棱錐的四個面聯(lián)想到長方體割去四個直三棱錐所得，因此，將三棱錐補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為長方體， 設(shè)長方形的長、寬、高分別為x、y、z， 則 解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA平面BC，平面SA、平面BC間的距離是2，所以異面直線AS與BC的距離是2。4 代數(shù)求極值法 根據(jù)異面直線間距離是分別在兩條異面直線上的兩點間距離的最小值，可用求函數(shù)最小值的方法來求異面直線間的距離。例4 已知正方體ABCD-

5、A1B1C1D1的棱長為a，求A1B與D1B1的距離。思路分析：在A1B上任取一點M，作MPA1B1，PNB1D1，則MNB1D1，只要求出MN的最小值即可。設(shè)A1M=x，則MP=x，A1P=x。所以PB1=ax，PN=（ax）sin450=（ax），MN=。當(dāng)x=時，MNmin=。5公式法 異面直線間距離公式：d=求得異面直線間的距離。例5 已知圓柱的底面半徑為3，高為4，A、B兩點分別在兩底面圓周上，并且AB=5，求異面直線AB與軸OO/之間的距離。思路分析：在圓柱底面上AOOO/，BO/OO/，又OO/是圓柱的高，AB=5，所以d=。即異面直線AB與軸OO/之間的距離為。6 射影法 將兩

6、條異面直線射影到同一平面內(nèi)，射影分別是點和直線或兩條平行線，那么點和直線或兩條平行線間的距離就是兩條異面直線射影間距離。例6 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、N分別是棱AB、CC1的中點，E是BD的中點。求異面直線D1M、EN間的距離。思路分析：兩條異面直線比較難轉(zhuǎn)化為線面、面面距離時，可采用射影到同一平面內(nèi)，把異面直線D1M、EN射影到同一平面BC1內(nèi)，轉(zhuǎn)化為BC1、QN的距離，顯然，易知BC1、QN的距離為。所以異面直線D1M、EN間的距離為。7.向量法：先求兩異面直線的公共法向量，再求兩異面直線上兩點的連結(jié)線段在ABCDD1C1A1B1公共法向量上的射影長。例7 已知

7、：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線DA1與AC的距離。思路分析：此題是求異面直線的距離問題，這個距離可看作是在異面直線的法向量方向上的投影的絕對值。此題教師引導(dǎo)，學(xué)生口述，教師在課件上演示解題過程，總結(jié)解題步驟。解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系D-xyzD(0,0,0) A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) 設(shè)異面直線DA1與AC的法向量 異面直線DA1與AC的距離為步驟小結(jié)：求異面直線間的距離:建立空間直角坐標(biāo)系； 寫出點的坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)；SADBC求出異面直線的法向量的坐標(biāo)； 代入異面直線間的距離公式。例8 已知：SA平面ABCD,DAB=ABC=90,SA=AB=BC=a,AD=2a，求A到平面SCD的距離。解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) =(0,2a,0)=(a,a,-a) =(0,2a,-a) 設(shè)面SCD的一個法向量=(x,y,1) 且 =0 且=0 =(1)點A到面SCD的距離為 點A到面SCD的距離為八 等積法 把異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為求某個特殊幾何體的的高