線性代數(shù)PPT全集ppt課件

1、課程簡介,線性代數(shù)是代數(shù)學的一個分支，主要處理線性關(guān)系,問題. 線性關(guān)系是指數(shù)學對象之間的關(guān)系是以一次形式,來表達的. 最簡單的線性問題就是解線性方程組,行列式和矩陣為處理線性問題提供了有力的工具,也推動了線性代數(shù)的發(fā)展. 向量概念的引入，形成了向,量空間的概念，而線性問題都可以用向量空間的觀點加,以討論. 因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系,的矩陣理論，構(gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容,它的特點是研究的變量數(shù)量較多，關(guān)系復雜，方法上 既有嚴謹?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁 瑣和技巧性很強的數(shù)字計算，在學習中，需要特別加 強這些方面的訓練,第一章 行列式,第二章 矩陣及其運算,第三章 矩

2、陣的初等變換 及線性方程組,第四章 向量組的線性相關(guān)性,基礎(chǔ),基本內(nèi)容,用向量的觀點討論基本問題并介紹向量空間的有關(guān)內(nèi)容,第五章 相似矩陣及二次型,矩陣理論,一、二元線性方程組與二階行列式,用消元法解二元(一次)線性方程組,第一章 行列式,1) (2,1)a22,a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,2)a12,a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,兩式相減消去x2, 得,a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12,1.1 二階與三階行列式,方程組的解為,由方程組的四個系數(shù)確定,由四個數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）的數(shù)表,定義,即,主對

3、角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計算,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,則二元線性方程組的解為,例1,解,二、三階行列式,定義,記,6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式,1)沙路法,三階行列式的計算,2)對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三 元素的乘積冠以負號,說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,若記,或,記,即,得,得,則三元線性方程組的解為,例,解,按對角線法則，有,例3,解,方程左端,例4 解線性方程組,解,由于方程組的系數(shù)行列式,同理可得,故方程組的解為,二階和三階行列式是由解二

4、元和三元線性方 程組引入的,三、小結(jié),思考題,思考題解答,解,設(shè)所求的二次多項式為,由題意得,得一個關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組,又,得,故所求多項式為,1.2 全排列及其逆序數(shù),引例: 用1, 2, 3三個數(shù)字, 可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù),這是一個大家熟知的問題, 答案是: 3! = 6,將此問題推廣: 把n個不同的元素按先后次序排成一列, 共有多少種不同的排法,定義: 把 n 個不同的元素排成一列, 叫做這 n 個元素的全排列(或排列). n 個不同的元素的所有排列的種數(shù), 通常用 Pn 表示, 稱為排列數(shù),Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n,一、全排列,二、排列的逆序

5、數(shù),定義: 在一個排列 i1 i2 is it in 中, 若數(shù) isit, 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序,例如: 排列32514 中,我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序. 以 n 個不同的自然數(shù)為例, 規(guī)定由小到大為標準次序,3 2 5 1 4,定義: 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù),前面的數(shù)比后面的數(shù)大,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為3,1,故此排列的逆序數(shù)為: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5,例如: 排列32514 中,計算排列逆序數(shù)的方法,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列; 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,方法1: 分別計算出排在1,2, , n 前面比它大的數(shù)碼的個

6、數(shù)并求和, 即先分別算出 1,2, , n 這 n 個元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù),方法2: 依次計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼的個數(shù)并求和, 即算出排列中每個元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù),方法3: 依次計算出排列中每個元素后面比它小的數(shù)碼的個數(shù)并求和, 即算出排列中每個元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù),例1: 求排列32514的逆序數(shù),解: 在排列32514中,3排在首位, 則3的逆序為0,2的前面比2大的數(shù)只有一個3, 故2的逆序為1,3 2 5 1 4,沒有比5大的數(shù), 故其逆序為0,個,

7、故其逆序為3,4的前面比4大的數(shù)有1個, 故逆序為1,5的前面,1的前面比1大的數(shù)有3,即,于是排列32514的逆序數(shù)為 t = 0+1+0+3+1 = 5,解,此排列為偶排列,例2: 計算下列排列的逆序數(shù), 并討論其奇偶性,1) 217986354,2 1 7 9 8 6 3 5 4,0,1,0,0,1,3,4,4,5,于是排列217986354的逆序數(shù)為,t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18,2) n(n1)(n2) 21,解,n (n1) (n2) 2 1,0,1,2,n1,n2,t = 0+1+2+ +(n2)+(n1,于是排列n(n1)(n2) 21的逆序數(shù)為,此排列

8、當 n=4k, 4k+1 時為偶排列; 當 n=4k+2, 4k+3 時為奇排列,3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k,2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k,解,0,1,2,1,2,3,3,k1,k1,k,t = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k,于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序數(shù)為,此排列當 k 為偶數(shù)時為偶排列, 當 k為奇數(shù)時為奇排列,1. n個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!個; 2. 排列具有奇偶性; 3. 計算排列逆序數(shù)常用的方法,三、小結(jié),1.3 n

9、 階行列式的定義,一、概念的引入,三階行列式,說明(1) 三階行列式共有6項, 即3!項,說明(2) 每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積,說明(3) 每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的列標排列的逆序數(shù)(行標為標準排列,例如 a13a21a32, 將行下標標準排列, 列下標排列312的逆序數(shù)為,t (312)=1+1=2, 偶排列. a13a21a32 的前面取+號,例如 a11a23a32, 將行下標標準排列, 列下標排列132的逆序數(shù)為,t (132)=0+1=1, 奇排列. a11a23a32的前面取號,其中是對列下標的所有排列求和(3!項), t 是列下標排列 p1p

10、2p3 的逆序數(shù),二、n 階行列式的定義,定義: 設(shè)由 n2 個數(shù)排成一個 n 行 n 列的數(shù)表,作出表中位于不同行不同列的 n 個數(shù)的乘積, 并冠以符號(1)t, 得到形如,其中 p1p2 pn 為自然數(shù)1, 2, , n 的一個排列, t為排列p1p2 pn的逆序數(shù),的項,所有這 n! 項的代數(shù)和,稱為(由上述數(shù)表構(gòu)成的) n 階行列式,記作,簡記作 det(aij). 數(shù) aij 稱為行列式 det(aij) (第 i 行第 j 列)的元素,即,說明1. 行列式是一種特定的算式, 它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的; 說明2. n 階行列式是 n! 項的代數(shù)和

11、; 說明3. n 階行列式的每項都是位于不同行, 不同列 n 個元素的乘積,的符號為(1)t,說明4. 一階行列式的符號 | a | = a, 不要與絕對值符號相混淆, 一般不使用此符號,例1: 計算對角行列式,解: 分析,展開式中項的一般形式是,從而這個項為零,同理可得: p2=3, p3=2, p4=1,所以只能 p1=4,若p14, 則,即行列式中非零的項為,1) t (4321) a14 a23 a32 a41,即,例2: 計算上三角行列式,解: 分析,展開式中項的一般形式是,所以非零的項只可能是: a11 a22 ann,從最后一行開始討論非零項. 顯然,pn=n, pn1=n1,

12、pn2=n2, , p2=2, p1=1,即,顯然,1458,同理可得下三角行列式,對角行列式,例5: 設(shè),證明: D1=D2,中b的指數(shù)正好是 a的行標與列標的差,證: 由行列式定義有,由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n,所以,故,行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式. n 階行列式共有n!項, 每項都是位于不同行, 不同列的 n 個元素的乘積, 正負號由下標排列的逆序數(shù)決定,三、小結(jié),思考題,已知多項式,求 x3 的系數(shù),思考題解答,含 x3 的項有僅兩項, 即,對應(yīng)于,x3,(2x3,故 x3 的系數(shù)為(1,1)t(1234)a11a22a33a44,(1)t(

13、1243)a11a22a34a43,一、對換的定義,1.4 對 換,定義: 在排列中, 將任意兩個元素對調(diào), 其余元素不動, 這種作出新排列的手續(xù)叫做對換 將相鄰兩個元素對調(diào), 叫做相鄰對換,a1 a2 al a b b1 bm,a1 a2 al b a b1 bm,a1 a2 al a b1 bm b c1 cn,a1 a2 al b b1 bm a c1 cn,例如,二、對換與排列奇偶性的關(guān)系,定理1: 一個排列中的任意兩個元素對換, 排列改變奇偶性,即除 a, b 外, 其它元素的逆序數(shù)不改變,證明: 先考慮相鄰對換的情形,a1 a2 al a b b1 bm,a1 a2 al b a

14、b1 bm,例如,因此, 相鄰對換排列改變奇偶性,當 ab 時, 對換后 a 的逆序數(shù)增加1, b 的逆序數(shù)不變,當 ab 時, 對換后 a 的逆序數(shù)不變, b 的逆序數(shù)增加1,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,對一般對換的情形, 例如,經(jīng)過m次相鄰對換, 排列a1a2alab1bmbc1cn對,換為a1a2alabb1bmc1cn,再經(jīng)過m+1次相鄰對換, 對,換為a1a2albb1bmac1cn,共經(jīng)過了2m+1次相鄰對換,所以, 由相鄰對換的結(jié)果知: 一個排列中的任意兩個元素對換, 排列改變奇偶性,所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變 奇偶性,對一

15、般對換的情形, 例如,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,推論: 奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù),證明: 由定理1知, 對換的次數(shù)就是排列奇偶性的,變化次數(shù),而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0,論成立,因此, 推,下面討論行列式的另一種定義形式. 對于行列式的任一項,其中12ijn為自然排列, 其逆序數(shù)0, t 為列標排列p1p2pipjpn的逆序數(shù),對換元素,此時, 行標排列12jin的逆序為奇數(shù), 而列標排列p1p2pjpipn的逆序也改變了一次奇偶性,換后行標排列逆序與列標排列逆序之和的奇偶性不變, 即t(1jin)+

16、t(p1pjpipn)與t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性,因此, 對,故,一般地, 經(jīng)過若干次對換行列式的任一項乘積元素的位置后得到的符號仍為(1)t,因此, 總可以經(jīng)過,若干次對換行列式的任一項, 得,其中 s 為行下標排列 q1q2 qn 的逆序數(shù),定理2: n 階行列式也可定義為,其中s為行標排列q1q2qn的逆序數(shù), 并按行標排列求和,定理3: n 階行列式也可定義為,其中 t 為行標排列 p1p2pn與列標排列 q1q2qn的逆序數(shù)之和. 并按行標排列(或列標排列)求和,因此, 我們可以得到行列式的另一種定義形式,根據(jù)以上討論, 還可以如下定義,例1: 試判斷 a14a23a3

17、1a42a56a65 和a32a43a14a51a25a66是否六階行列式中的項,解: a14a23a31a42a56a65的行標為順序排列, 列標排列的逆序數(shù)為,t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù),所以 a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項,將a32a43a14a51a25a66的行標按標準次序排列, 則其列標排列的逆序數(shù)為: t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶數(shù)) 所以 a32a43a14a51a25a66 不是六階行列式中的項,解: 將a23a31a42a56a14a65的行標按標準次序排列, 則其列標排列的逆序數(shù)為: t

18、(431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶數(shù)) 所以 a23a31a42a56a14a65 的前邊應(yīng)帶正號,例2: 在六階行列式中, 下列兩項各應(yīng)帶什么符號. (1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25,項a32a43a14a51a66a25的行下標與列下標的逆序數(shù)之和為 t (341562)+t (234165,(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶數(shù)) 所以 a32a43a14a51a66a25的前邊應(yīng)帶正號,例3: 用行列式的定義計算,解: 由于行列式Dn每行每列中僅有一個非零元素

19、, 所以 Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an n,Dn = (1)t 12(n1)n = (1)t n,即,而,t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2,所以,三、小結(jié),1. 對換排列中的任意兩個元素, 排列改變奇偶性. 2. 行列式的三種定義方法,其中 r 為行標排列 p1p2pn與列標排列 q1q2qn的逆序數(shù)之和. 并按行標排列(或列標排列)求和,思考題,證明在全部 n 階排列中(n2), 奇偶排列各占一半,思考題解答,證: 設(shè)在全部 n階排列中有s個奇排列, t 個偶排列,則 s + t =

20、 n！現(xiàn)來證 s = t,若將所有 s個奇排列的前兩個數(shù)作對換, 則這 s 個奇排列全變成偶排列,故必有s = t,若將所有 t 個偶排列的前兩個數(shù)作對換, 則這 t 個偶排列全變成奇排列,如此產(chǎn)生的 s 個偶排列不會超,過所有的 s 個奇排列, 所以 t s,過所有的 t 個偶排列, 所以 s t,如此產(chǎn)生的 t 個奇排列不會超,1.5 行列式的性質(zhì),一、行列式的性質(zhì),行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式,記,將D的行列互換就得到,證明: 記行列式 D=det(aij) 的轉(zhuǎn)置行列式為,性質(zhì)1: 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, 即DT = D,按定義,即 bij=aji ( i, j=1, 2,

21、 , n,又由行列式的另一種表示得,所以, DT = D, 結(jié)論成立,說明: 性質(zhì)1行列式中行與列具有同等的地位, 因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的結(jié)論, 對列也同樣成立,性質(zhì)2: 互換行列式的兩行(列), 行列式變號,證明: 設(shè)行列式,是由行列式,互換 i, j (i j)兩列得到,即, 當 k i, j 時, bpk= apk; 當 k = i, j 時, bpi= apj, bpj= api,于是,其中 t 為排列 p1 pi pj pn的逆序數(shù), 設(shè) s 為排列p1 pj pi pn的逆序數(shù),顯然 t 與 s 的奇偶性不同, 即(1)t = (1)s, 所以,例如,推論: 如果行列式有兩

22、行(列)完全相同, 則此行列式為零,證明: 互換相同的兩行, 則有D = D,所以D = 0,性質(zhì)3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k, 等于用數(shù)k乘此行列式,即,推論: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面,性質(zhì)4: 行列式中如果有兩行(列)元素成比例, 則此行列式為零,證明,性質(zhì)5: 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和, 例如,則D等于下列兩個行列式之和,證明,故結(jié)論成立,性質(zhì)6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去, 行列式不變,例如,引入記號: 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在

23、計算行列式時, 我們經(jīng)常利用性質(zhì)2,3,6對行列式進行變換. 利用性質(zhì)2交換行列式的第 i, j 兩行(列), 記作 ri rj ( ci cj,利用性質(zhì)6把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一數(shù) k 然后加到第 i 行(列)對應(yīng)的元素上去, 記作 ri + rj k ( ci + cj k,利用性質(zhì)3行列式的第 i 行(列)乘以數(shù)k, 記作 ri k ( ci k,二、行列式計算,計算行列式常用方法: 利用性質(zhì)2,3,6, 特別是性質(zhì)6把行列式化為上(下)三角形行列式, 從而, 得到行列式的值,結(jié)論：上（下）三角行列式、主對角線行列式的值 等于其主對角元的乘積,例1: 計算5階行列式,解

24、,例2 計算,解,解: 將第2, 3, , n 列都加到第一列得,例3: 計算 n 階行列式,第2, 3, , n 行都減去第一行得,例4: 設(shè),證明: D = D1D2,證明: 對D1作行運算 ri + t rj , 把D1化為下三角形行列式,對D2作列運算 ci+kcj , 把D2化為下三角形行列式,先對D的前k行作行運算 ri+trj , 然后對D的后n列作列運算 ci+kcj , 把D化為下三角形行列式,故, D = p11 pkk q11 qnn,D1D2,例5 計算2n階行列式,其中未寫出的元素為0,解,將D2n中的第2n行依次與前面的行對換,換至,第二行,再將D2n中的第2n列依

25、次與前面的列對換,換至第二列，共做2(2n-2)次對換，得,若,則稱D為對稱行列式,若,則稱D為反對稱行列式,證明：奇數(shù)階反對稱行列式的值為0,反對稱行列式的主對角元全為0,證明：設(shè) n 階反對稱行列式為,由行列式的性質(zhì)1可知,每行提?。?,n為奇數(shù),所以D0,行列式的6個性質(zhì). 行列式中行與列具有同等的地位, 行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立. 計算行列式常用方法: (1) 利用定義; (2) 利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式, 從而算得行列式的值,三、小結(jié),思考題,其中已知 abcd=1,計算行列式,思考題解答,1.6 行列式按行(列)展開,一、余子式與代數(shù)余子式,引例,

26、考察三階行列式,在 n 階行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素劃去后, 留下來的 n1 階行列式叫做(行列式D的關(guān)于)元素aij 的余子式, 記作 Mij . 即,記 Aij = (1)i+j Mij, 稱 Aij 為元素 aij 的代數(shù)余子式,例如,行列式的每一個元素都分別對應(yīng)著唯一的一個余子式和唯一的一個代數(shù)余子式,引理: 如果一個 n 階行列式D的第 i 行元素除 aij 外都為零, 那么, 行列式 D 等于 aij 與它的代數(shù)余子式 Aij的乘積, 即 D = aij Aij,aij Aij,證: 當 aij 位于第一行第一列時,又由于 A11=(1)1+1M

27、11=M11,由上節(jié)例4, 即教材中的例10得: D = a11M11,從而 D = a11A11, 即結(jié)論成立,再證一般情形,此時,把D的第 i 行依次與第 i 1行,第 i 2行, , 第1行交換, 得,再 把D的第 j 列依次與第 j 1列, 第 j 2列, , 第1列交換, 得,(1)i+j aij M11,顯然, M11恰好是aij在D中的余子式Mij, 即M11=Mij,因此, D = (1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理結(jié)論成立,定理3: 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + a

28、inAin ( i =1, 2, , n); D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n,二、行列式按行(列)展開法則,證,D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n,由引理得,引理的結(jié)論常用如下表達式,i =1, 2, , n,推論: 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ; a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j,證: 把行列式D = det(aij

29、) 按第 j 行展開, 得,把 ajk 換成 aik (k=1, 2, , n ), 當 i j 時, 可得,第 j 行,第 i 行,同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j,所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),其中,說明：由證明過程可知,例1: 計算行列式,解,解: 按第一行展開, 得,例1: 計算行列式,如果按第二行展開, 得,例2: 計算行列式,解: D,例3: 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,說明：（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式的特點是,每列（行）元素

30、都是分別是同一個數(shù)的不同,方冪，方冪的次數(shù)從上到下（自左至右）按,遞升次序排列, 從0到 n1次,2）范德蒙德(Vandermonde)行列式的結(jié)果是,滿足條件,的所有因子,的連乘積，共有,個因子,證: 用數(shù)學歸納法,所以, 當 n=2 時, (1)式成立,假設(shè)對 n-1 階范德蒙德行列式, (1)式成立,對 n 階范德蒙德行列式, 作如下變換, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得,按第一列展開, 并把每列的公因子( xi x1 )提出, 就,有,n1階范德蒙德行列式,則根據(jù)歸納假設(shè)得證,例4: 計算,解: Dn中各行元素分別是同一個數(shù)的不同方冪, 方冪的次數(shù)

31、自左至右按遞升次序排列, 但不是從0到 n1, 而是從1遞升至 n. 若提出各行的公因子, 則方冪的次數(shù)便是從0升到 n1, 于是得,上面等式右端行列式為 n 階范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置, 由范德蒙行列式知,評注: 本題所給行列式各行(列)都是某元素的不同方冪, 而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同, 需要利用行列式的性質(zhì)(如提取公因子, 調(diào)換各行(列)的次序等)將此行列式化成范德蒙行列式,例5: 計算,解：考慮行列式,一方面,這是一個關(guān)于 y 的 n 次多項式，其中,的系數(shù)是,另一方面，將,按最后一列展開,其中,是,的系數(shù),比較可得,這種方法稱為：加邊法（升階法,例6. 計算行列式,解,例

32、4. 已知,求,解,1. 行列式按行(列)展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具,三、小結(jié),2,思考題,求第一行各元素的代數(shù)余子式之和: A11+A12+ +A1n,設(shè) n 階行列式,思考題解答,解: 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成,A11+A12+ +A1n,1.7 克拉默(Cramer)法則,設(shè)線性方程組,若常數(shù)項b1, b2, , bn不全為零, 則稱此方程組為非齊次線性方程組; 若常數(shù)項b1, b2, , bn全為零, 則稱此方程組為齊次線性方程組,1,齊次線性方程組,易知,一定是(2)的解， 稱為零解,若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解,定理1:

33、(克拉默(Cramer)法則)如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零, 即,那么, 線性方程組(1)有解, 且解是唯一的, 解可以表為,其中Dj 是把系數(shù)行列式D中第 j 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 n 階行列式, 即,證明: 用系數(shù)行列式D的第 j 列元素的代數(shù)余子式A1j, A2j, Anj依次乘方程組(1)的n個方程, 得,再把 n 個方程相加, 得,D,由行列式代數(shù)余子式的性質(zhì)可知, 上式中xj 的系數(shù)等于D, 而 xi (i j) 的系數(shù)均等于0, 等式右端為Dj,于是,因此, 當 D0 時, 方程組(2)有唯一解,Dxj=Dj ( j=1, 2, , n,2,由于

34、方程組(2)與方程組(1)等價,故,也是方程組(1)的唯一解,定理2: 如果線性方程組(1)無解或有解但不唯一, 則它的系數(shù)行列式必為零,定理3: 如果齊次線性方程組(3,的系數(shù)行列式 D0, 則齊次線性方程組(3)沒有非零解,3,定理4: 如果齊次線性方程組(3)有非零解, 則它的系數(shù)行列式 D 必為零,在后面我們將證明: 齊次線性方程組(3)有非零解的充分必要條件為(3)的系數(shù)行列式 D 必為零,例1: 用克拉默法則解方程組,解,所以,解,例2: 用克拉默法則解方程組,所以,例2: 問 取何值時, 齊次方程組,有非零解,由于齊次方程組有非零解的充分必要條件為D=0,解,則 =0, =2或=

35、3時, 齊次方程組有非零解,解,假設(shè)這3點位于直線,上，其中,a, b, c 不同時為 0, 即有,3點共線等價于上述關(guān)于a, b, c 的齊次線性方程組有非零,解，其充要條件是,例4. 證明 n 次多項式至多有 n 個互異的根,證明：用反證法,假設(shè) n 次多項式,有 n 個互異的根,即有,上述關(guān)于,的齊次線性方程組的系數(shù),行列式為,因為,互不相等,所以,從而齊次方程組只有零解,這與,矛盾,故結(jié)論成立,用克拉默法則解方程組的兩個條件: (1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù); (2)系數(shù)行列式不等于零,2. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系. 它主要適用于理論推導, 并不適用

36、于實際計算,小結(jié),思考題,當線性方程組的系數(shù)行列式為零時, 能否用克拉默法則解方程組? 此時方程組的解為何,思考題解答,不能. 此時方程組可能為無解, 或有無窮多解,2.1 矩 陣,一、矩陣概念的引入,1. 線性方程組,的解取決于系數(shù)aij和常數(shù)項bj ( i =1, 2, , n, j =1, 2, , m,對線性方程組的 研究可轉(zhuǎn)化為對 這張數(shù)表的研究,線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為,2. 某航空公司在A, B, C, D四城市之間開辟了若干航線, 如圖所示表示了四城市間的航班圖, 如果從A到B有航班, 則用帶箭頭的線連接A與B,四城市間的航班圖情況常用表格來表示,這個數(shù)表反映了四

37、城市間交通聯(lián)接情況,二、矩陣的定義,定義: 由mn個數(shù) aij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n )排成的 m 行 n 列的數(shù)表,稱為m行n列的矩陣. 簡稱 mn 矩陣. 記作,簡記為: A = Amn = ( aij )mn = ( aij ). 這mn個數(shù)aij稱為矩陣A的(第 i 行第 j 列)元素,矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別, 行列式是一個算式, 其行數(shù)和列數(shù)相同，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算 可求得其值, 而矩陣僅僅是一個數(shù)表, 它的行數(shù)和 列數(shù)可以不同,元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣, 元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣,例如,是一個24實矩陣,是一個33復矩陣,是一個14(實

38、)矩陣,是一個31(實)矩陣,是一個11(實)矩陣,幾種特殊矩陣,1) 行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A, 稱為n階方陣. 也可記作An,對于方陣，可以計算其行列式，但要注意,方陣和方陣的行列式是不同的含義,記作,稱為對角 矩陣(或?qū)顷?3) 如果En= diag(1, 2, , n) = diag(1, 1, , 1), 則稱En為(n階)單位矩陣, 或簡稱單位陣. 簡記為E,4) 只有一行(列)的矩陣稱為行(列)矩陣(或行(列)向量,5) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣, mn 階零矩陣記作Omn或O,AO,A| = 0,A| = 0,AO,若 |A| = 0, 稱 A 為奇異矩陣,對于 n 階方

39、陣A,6) 設(shè)A = ( aij )為 n 階方陣, 對任意 i, j, 如果aij = aji都成立, 則稱A為對稱矩陣; 如果aij = aji 都成立, 則稱A為反對稱矩陣,例如,A為對稱矩陣, B為反對稱矩陣,例1: 設(shè),解: 由于矩陣A =B, 則由矩陣相等的定義,已知A =B, 求x, y, z,x=2, y=3, z=2,得,2. 兩個矩陣A = ( aij )與B = ( bij )為同型矩陣, 并且對應(yīng)元素相等, 即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n ) 則稱矩陣A與B相等, 記作A=B,同型矩陣與矩陣相等的概念,1. 兩個行列數(shù)對

40、應(yīng)相等的矩陣稱為同型矩陣,三、矩陣的應(yīng)用,線性變換,系數(shù)矩陣,線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系,若線性變換為,稱之為恒等變換,單位陣,線性變換,這是一個以原點為中心 旋轉(zhuǎn) 角的旋轉(zhuǎn)變換,1) 矩陣的概念: m行n列的數(shù)表,三、小結(jié),2) 特殊矩陣,方陣,行矩陣與列矩陣,單位矩陣,對角矩陣,零矩陣,一、矩陣的加法,定義: 設(shè)兩個同型的 mn 矩陣A = ( aij )與B = ( bij ), 那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij), 記作A+B, 即,對應(yīng)元素相加,2.2 矩陣的運算,例如,說明: 只有當兩個矩陣是同型矩陣時, 才能進行加法運算,矩陣加法的運算規(guī)律,交換律: A+B =

41、 B+A. (2) 結(jié)合律: (A+B)+C = A+(B+C,4,稱為矩陣A的負矩陣,5) A+(A) = O, AB = A+(B,3) A+O=A,二、數(shù)與矩陣相乘,定義: 數(shù)與矩陣A=(aij)的乘積定義為(aij), 記作 A 或A, 簡稱為數(shù)乘. 即,注意： 與 不同,設(shè)A, B為同型的mn 矩陣, , 為數(shù): 1 A=A. (2) ()A = (A). (3) (+)A = A+A. (4) (A+B) = A+B,矩陣的數(shù)乘的運算規(guī)律,矩陣的加法與數(shù)乘運算, 統(tǒng)稱為矩陣的線性運算,三、矩陣與矩陣相乘,引例：設(shè)有兩個線性變換,將（2）代入（1,這個線性變換稱為線性變換（1）和（2

42、）的乘積,線性變換（1）對應(yīng)的矩陣為,線性變換（2）對應(yīng)的矩陣為,1）和（2）的乘積對應(yīng)的矩陣為,由此引出矩陣乘法的定義,定義: 設(shè)A = ( aij )是一個 ms 矩陣, B = ( bij )是一個 sn 矩陣, 定義矩陣A與矩陣B的乘積 C = ( cij )是一個 mn 矩陣, 其中,i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘積記作C=AB,是 A 中的第 i 行元素與 B 中第 j 列的對應(yīng)元素 相乘再相加,例1,例2,當運算可行或作為運算結(jié)果時，一階矩陣可以與數(shù) 等同看待,例3: 求AB, 其中,注意: 只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣 的行數(shù)時, 兩個矩陣才能相乘

43、,利用矩陣的乘法：若記,則線性變換可記作,對于線性方程組,則方程組可以表示為,線性方程組的矩陣表示形式,若記,則上述方程組可以表示為,線性方程組的向量表示形式,矩陣乘法的運算規(guī)律,結(jié)合律: (AB)C = A(BC); 分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA; (3) (AB) = (A)B = A(B), 其中為數(shù),當 AB 有意義時，BA 可能無意義,例如,不存在,有意義，但是,注意: （1）矩陣乘法一般不滿足交換律, 即: AB BA,因此要注意矩陣相乘的次序,一般，AB稱為A左乘B，或者B右乘A,AB 和 BA都有意義時，它們可能不是同型矩陣,例如,是一階

44、方陣，但是,是三階方陣,即使 AB 和 BA都有意義，也是同型矩陣，它們,也可能不相等,例如: 設(shè),AB BA,當 AB BA 時，稱 A 與 B 不可交換,當 AB=BA 時，稱 A 與 B 可交換,2) 矩陣的乘法一般不滿足消去律，即,或,從上述例子還可以看到,此時 A 與 B 必為同階方陣,若,但AB=O,則稱 B 是 A 的右零因子， A 是 B 的左零因子,特殊矩陣與矩陣相乘的有關(guān)結(jié)論,單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當于數(shù) 1 在數(shù)的,乘法中的作用,若 A 為方陣，則有,左乘 A 等于用,乘以A中第 i 行的元素,右乘 A 等于用,乘以A中第 i 列的元素,若,則,例4: 計算下列矩陣

45、乘積,解,a11x1+a21x2+a31x3,a12x1+a22x2+a32x3,a13x1+a23x2+a33x3,(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3,當矩陣為對稱矩陣時, 結(jié)果為,n 階方陣,若當 i j 時,則稱 A 為上三角矩陣,若當 ij 時,則稱 A 為下三角矩陣,結(jié)論：兩個上（下）三角矩陣的積仍然是上（下） 三角矩陣,證明：設(shè) A,B 是兩個上三角矩陣，且C=AB,當 ij 時,即 C為上三角矩陣,方陣的冪和方陣的多項式,定義,設(shè) A 是 n 階方陣，k 個 A 的連乘積稱為 A 的,

46、k 次冪，記作,即,當 m，k 為正整數(shù)時，有,只有方陣能定義冪,當AB不可交換時，一般,當AB可交換時,定義 設(shè),是 x 的 k 次多項式，A 是 n 階方陣，則稱,為方陣 A 的 n 次多項式,若 f(x)，g(x) 為多項式，A、B為 n 階方陣，則,f(A) g(A) = g(A) f(A,當 AB 不可交換時，一般,特別當矩陣為對角陣=diag(1, 2, n ) 時,則,f()=a0E + a1 +akk,方陣A的多項式可以類似一般多項式一樣相乘或分解因式,例如,E + A)(2 E A) = 2 E + A A2, (E A)3 = E 3A + 3A2 A3,因為單位矩陣 E

47、與任意同階方陣可交換，所以有,解,例4,由此歸納出,用數(shù)學歸納法證明. 當k=2時, 顯然成立,假設(shè), 當k=n時結(jié)論成立, 對 k=n+1時,所以對于任意的 k 都有,也可利用二項式 定理展開計算,記,于是,注意到,即當,時,所以,四、矩陣的轉(zhuǎn)置,定義: 把矩陣A 的行列互換, 所得到的新矩陣, 叫做矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作AT,例如,1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT,轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì),一般地,證明（4,設(shè),首先容易看到,與,為同型矩陣,因為,所以,的第 i 行第 j 列,的元素為,又因

48、為,中第 i 行的元素為 B 中第 i 列的元素,中第 j 列的元素為 A 中第 j 行的元素,于是,的第 i 行第 j 列元素為,故,解法1: 因為,所以,解法2,AB)T=BTAT,例6：設(shè),1,的第 i 行第 j 列的元素為,2,的第 i 行第 j 列的元素為,3,的第 i 行第 j 列的元素為,設(shè)A = ( aij )為 n 階方陣, 對任意 i, j, 如果aij = aji 都成立, 則稱A為對稱矩陣; 如果aij = aji 都成立, 則稱 A為反對稱矩陣,顯然，若 A 是反對稱矩陣，那么對任意 i，有,由矩陣轉(zhuǎn)置和對稱矩陣、反對稱矩陣的定義可得,方陣A 為對稱矩陣的充分必要條件

49、是: A=AT. 方陣A 為反對稱矩陣的充分必要條件是: A=AT,證明: 因為,例7: 設(shè)列矩陣X = (x1 x2 xn)T, 滿足XTX = 1, E為n 階單位矩陣, H = E 2XXT, 證明: H為對稱矩陣, 且HHT = E,HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2XXT = H,所以, H為對稱矩陣,E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2XXT) = E 4XXT + 4(XXT)(XXT) = E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E,HHT = H2 = (E 2XXT)2,例8: 證明任一

50、n 階方陣A 都可表示成對稱陣與反對稱陣之和,證明: 設(shè) C = A + AT,所以, C為對稱矩陣,從而, 命題得證,則 CT = ( A + AT)T = AT + A = C,設(shè) B = A AT,則 BT = ( A AT)T = AT A = B,所以, B為反對稱矩陣,五、方陣的行列式,定義: 由n 階方陣A 的元素所構(gòu)成的行列式叫做 方陣A 的行列式, 記作 | A | 或 detA,例如,則,方陣行列式的運算性質(zhì), AT | = | A |; | kA | = kn| A |; (3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA ,定理：

51、設(shè)A、B是兩個 n 階方陣，則,思路：利用分塊行列式的結(jié)論，行列式的性質(zhì)6及矩陣乘法的定義,對于同階方陣A和B，一般AB BA ，但是|AB|=|BA,繼續(xù)做,重要例子,例9,設(shè),矩陣A的伴隨矩陣 注意其元素的下標,證：設(shè),其中,于是,兩邊取行列式得,因為,所以,類似可證,六、共軛矩陣,定義: 當 A = (aij) 為復矩陣時, 用 表示aij 的共軛復數(shù), 記 , 稱 為A 的共軛矩陣,運算性質(zhì),設(shè)A, B為復矩陣, 為復數(shù), 且運算都是可行的, 則,矩陣運算,加法,數(shù)與矩陣相乘,矩陣與矩陣相乘,轉(zhuǎn)置矩陣,對稱陣與伴隨矩陣,方陣的行列式,共軛矩陣,五、小結(jié),1) 只有當兩個矩陣是同型矩陣時

52、, 才能進行加法運算. (2) 只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時, 兩矩陣才能相乘, 且矩陣相乘不滿足交換律. (3) 矩陣的數(shù)乘運算與行列式的性質(zhì)3不同,注意,思考題,思考題解答,設(shè)A與B為 n 階方陣, 等式A2B2 = (A+B)(AB)成立的充要條件是什么,答: 因為 (A + B) (A B) = A2 + BA AB B2,故等式A2 B2 = (A + B)(A B)成立的充要條件是,AB = BA,作業(yè)：P5354 3，4，7，9，10,在數(shù)的運算中, 當數(shù) a 0 時, 有 aa-1 = a-1a = 1,在矩陣的運算中, 單位陣 E 相當于數(shù)的乘法運算中 的1,

53、 那么, 對于矩陣A, 如果存在一個矩陣A-1, 使得,AA-1 = A-1A = E,則矩陣A稱為可逆矩陣, 稱A-1為A逆陣,一、逆矩陣的概念和性質(zhì),2.3 逆 矩 陣,或者從線性變換的觀點來看,給定線性變換,若記其 系數(shù)矩陣,則線性變換可記為,若,記,則上式可以寫作,這是一個從 Y 到 X 的線性變換,它是線性變換,的逆變換,為恒等變換,則有,定義: 對于n 階方陣A, 如果存在一個n 階方陣B, 使得 AB = BA = E 則稱矩陣A是可逆的, 并稱矩陣B為A的逆矩陣. A的逆 矩陣記作A-1, 即,1）A與,為同階方陣,2）若 B 是 A 的逆矩陣，那么 A 也是 B 的逆矩陣,3

54、,例如: 設(shè),由于 AB = BA =E,所以 B 為 A 的逆矩陣,說明: 若A是可逆矩陣, 則A的逆矩陣是唯一的,事實上: 若設(shè)B和C是A的逆矩陣, 則有,所以, A的逆矩陣是唯一的, 即,AB = BA = E, AC = CA = E,可得,B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C,B = C = A-1,解: 利用待定系數(shù)法,即,則,又因為,則,解得,所以,即,AB = BA = E,如上求逆矩陣的方法對于方陣的階較高時顯然是不可行的, 必須尋求可行而有效的方法,證明: 若A可逆, 則有A-1, 使得AA-1 = E,定理1: 矩陣A可逆的充要條件是| A | 0

55、, 且,其中A*為矩陣A的伴隨矩陣,故 | A | A-1 | = | E | = 1,所以, | A | 0,由伴隨矩陣的性質(zhì): AA*= A*A = | A | E, 知,當| A | 0時,按逆矩陣的定義得,說明,1）該定理揭示了矩陣可逆的充要條件,并給出了逆矩陣的一種求法公式法,2) 上（下）三角矩陣可逆當且僅當,主對角元全不為0，且當,時,這里逆矩陣由定義得到,若,當 12n 0時，A 可逆，且,例2、當a，b滿足什么條件時，矩陣 A 不可逆，其中,解,由矩陣可逆的充要條件可知,當a=1或b=2時，A不可逆,當| A | = 0 時, 稱A為奇異矩陣, 否則稱A為非奇異矩陣,由此可得, A是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異矩陣,若A可逆，那么由,AB = O,B = O,由AB = AC,B = C,證明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1,推論: 若 AB=E (或 BA=E), 則 B=A-1,故| A | 0,因而, A-1存在,于是,B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1,故結(jié)論成立,推論說明：若 ABE，則一定有 BAE,當| A | 0 時, 定義,A0 = E, A-k = (A-1)k (k為正整數(shù),且此時對任意整數(shù), , 有,AA = A+,