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文檔簡介
1、對換定義及與排列 的奇偶性的關(guān)系,一、對換的定義,定義,在排列中,將任意兩個(gè)元素對調(diào),其余元素不動,這種作出新排列的手續(xù)叫做對換,將相鄰兩個(gè)元素對調(diào),叫做相鄰對換,例如,二、對換與排列的奇偶性的關(guān)系,定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換,排列改變奇偶性,證明,設(shè)排列為,除 外,其它元素的逆序數(shù)不改變,當(dāng) 時(shí),經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變 , 的逆序數(shù)減少1,因此對換相鄰兩個(gè)元素,排列改變奇偶性,設(shè)排列為,當(dāng) 時(shí),現(xiàn)來對換 與,所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換,排列改變 奇偶性,推論,奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù),定理2 階行列式也可定義為,其中 為行標(biāo)排列
2、的逆序數(shù),證明,由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的 變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此,知推論成立,證明,按行列式定義有,記,對于d中任意一項(xiàng),總有且僅有 中的某一項(xiàng),與之對應(yīng)并相等,反之,對于 中任意一項(xiàng),也總有且僅有d中的某一項(xiàng),與之對應(yīng)并相等,于是d與,中的項(xiàng)可以一一對應(yīng)并相等,從而,定理3 階行列式也可定義為,其中 是兩個(gè) 級排列, 為行 標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和,解,下標(biāo)的逆序數(shù)為,所以 是六階行列式中的項(xiàng),下標(biāo)的逆序數(shù)為,所以 不是六階行列式中的項(xiàng),例2 在六階行列式中,下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號,解,431265的逆序數(shù)為,所以 前邊應(yīng)帶正號,行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為,列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為,所以 前邊應(yīng)帶正號,例3 用行列式的定義計(jì)算,解,1. 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換,排列改 變奇偶性,2.行列式的三種表示方法,三、小結(jié),其中 是兩個(gè) 級排列, 為行 標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和,思考題,證明 在全部 階排列中 ,奇偶排列各占一半,思考題解答,將 個(gè)
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