有限單元法部分課后題答案

1、1.1 有限單元法中“離散”的含義是什么？有限單元法是如何將具有無限自由度的連續(xù)介質(zhì)問題轉(zhuǎn)變成有限自由度問題的？位移有限元法的標準化程式是怎樣的？ （1）離散的含義即將結(jié)構(gòu)離散化，即用假想的線或面將連續(xù)體分割成數(shù)目有限的單元，并在其上設(shè)定有限個節(jié)點；用這些單元組成的單元集合體代替原來的連續(xù)體，而場函 數(shù)的節(jié)點值將成為問題的基本未知量。（2）給每個單元選擇合適的位移函數(shù)或稱位移模式來近似地表示單元內(nèi)位移分布規(guī)律，即通過插值以單元節(jié)點位移表示單元內(nèi)任意點的位移。因節(jié)點位移個數(shù)是有限的，故 無限自由度問題被轉(zhuǎn)變成了有限自由度問題。 （3）有限元法的標準化程式：結(jié)構(gòu)或區(qū)域離散，單元分析，整體分析，數(shù)值

2、求解。 1.3 單元剛度矩陣和整體剛度矩陣各有哪些性質(zhì)？各自的物理意義是什么?兩者有何區(qū)別? 單元剛度矩陣的性質(zhì)：對稱性、奇異性（單元剛度矩陣的行列式為零）。 整體剛度矩陣的性質(zhì)：對稱性、奇異性、稀疏性。 單元 Kij 物理意義 Kij 即單元節(jié)點位移向量中第 j 個自由度發(fā)生單位位移而其他位移分量為零時，在第 j 個自由度方向引起的節(jié)點力。 整體剛度矩陣 K 中每一列元素的物理意義是：要迫使結(jié)構(gòu)的某節(jié)點位移自由度發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點位移都保持為零的變形狀態(tài)，在所有個節(jié)點上需要施加的節(jié)點荷載。2.2 什么叫應變能？什么叫外力勢能？試敘述勢能變分原理和最小勢能原理，并回答下述問題：勢能變分原

3、理代表什么控制方程和邊界條件？其中附加了哪些條件？(1)在外力作用下，物體內(nèi)部將產(chǎn)生應力和應變，外力所做的功將以變形能的形式儲存起來，這種能量稱為應變能。 (2)外力勢能就是外力功的負值。 (3)勢能變分原理可敘述如下：在所有滿足邊界條件的協(xié)調(diào)位移中，那些滿足靜力平衡條件的位移使物體勢能泛函取駐值，即勢能的變分為零p= U+V=0 此即變分方程。對于線性彈性體，勢能取最小值，即2P=2U+2V0此時的勢能變分原理就是著名的最小勢能原理。 勢能變分原理代表平衡方程、本構(gòu)方程和應力邊界條件，其中附加了幾何方程和位移邊界條件。 2.3 什么是強形式？什么是弱形式？兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是

4、什么？ 等效積分形式通過分部積分，稱式 CT(v)D(u)d+ET(v)F(u)d為微分方程的弱形式，相對而言，定解問題的微分方程稱為強形式。 區(qū)別：弱形式得不到解析解。 建立弱形式的關(guān)鍵步驟：對場函數(shù)要求較低階的連續(xù)性。2.4 為了使計算結(jié)果能夠收斂于精確解，位移函數(shù)需要滿足哪些條件？為什么？ 只要位移函數(shù)滿足兩個基本要求，即完備性和協(xié)調(diào)性，計算結(jié)果便收斂于精確解。 2.6 為什么采用變分法求解通常只能得到近似解？變分法的應用常遇到什么困難？Ritz 法收斂的條件是什么？ （1）在 Ritz 法中，N 決定了試探函數(shù)的基本形態(tài)，待定參數(shù)使得場函數(shù)具有一定的任意性。如果真實場函數(shù)包含在試探函數(shù)

5、之內(nèi)，則變分法得到的解答是精確的；如果試 探函數(shù)取自完全的函數(shù)序列，則當項數(shù)不斷增加時，近似解將趨近于精確解。然而，通常情況下試探函數(shù)不會將真實場函數(shù)完全包含在內(nèi)，實際計算時也不可能取無窮多項。 因此，試探函數(shù)只能是真實場函數(shù)的近似?？梢?，變分法就是在某個假定的范圍內(nèi)找出最佳解答，近似性就源于此。 （2）采用變分法近似求解，要求在整個求解區(qū)域內(nèi)預先給出滿足邊界條件的場函數(shù)。通常情況下這是不可能的，因而變分法的應用受到了限制。 （3）Ritz 法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，也就是說，如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性的要求，當試探函數(shù)的項數(shù)趨近于無窮時，則 Ritz 法的近似解將 趨

6、近于數(shù)學微分方程的精確解。 3.1 構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？形函數(shù)是定義于單元內(nèi)坐標的連續(xù)函數(shù)。單元位移函數(shù)通常采用多項式，其中的待定常數(shù)應該與單元節(jié)點自由度數(shù)相等。為滿足完備性 要求，位移函數(shù)中必須包括常函數(shù)和一次式，即完全一次多項式。多項式的選取應由低階到高階，盡量選擇完全多項式以提高單元的精度。若由于項數(shù)限制而不能選取完全多 項式時，也應使完全多項式具有坐標的對稱性，并且一個坐標方向的次數(shù)不應超過完全多項式的次數(shù)。有時為了使位移函數(shù)保持一定階次的完全多項式，可在單元內(nèi)部配置節(jié) 點。然而，這種節(jié)點的存在將增加有限元格式和計算上的復雜性，除非不得已才加以采用。形函數(shù)應保證用它定義的位移

7、函數(shù)滿足收斂要求，即滿足完備性要求和協(xié)調(diào)性條件。 3.1 構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？試采用構(gòu)造單元的幾何方法，構(gòu)造 T10 單元的形函數(shù)，并對其收斂性進行討論。 通常單元位移函數(shù)采用多項式，其中的待定常數(shù)由節(jié)點位移參數(shù)確定，因此其個數(shù)應與單元節(jié)點自由度數(shù)相等。根據(jù)實體結(jié)構(gòu)的幾何方程，單元的應變是位移的一次導數(shù)。為 了反映單元剛體位移和常應變即滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包含常數(shù)項和一次項，即完全一次多項式。 3.3 何謂面積坐標？其特點是什么？為什么稱其為自然坐標或局部坐標？ （1）三角形單元中，任一點 P(x,y)與其 3 個角點相連形成 3 個子三角形,其位置可以用下述稱為面積坐標的

8、三個比值來確定： L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A其中 A1,A2,A3 分別為 P23,P31,P12 的面積。 （2） 面積坐標的特點： a T3 單元的形函數(shù) Ni 就是面積坐標 Li b 面積坐標與三角形在整體坐標系中的位置無關(guān)。 c 三個節(jié)點的面積坐標分別為節(jié)點 1（1, 0, 0） 、節(jié)點 2（0, 1, 0） 、節(jié)點 3（0, 0, 1），形心的面積坐標為（1/3, 1/3, 1/3）。 d 單元邊界方程為 Li=0(i=1,2,3) e 在平行于 23 邊的一條直線上，所有點都有相同的面積坐標 L1（L1 對應的三角形具有相同的高和底邊），而且 L1 就等于此直線

9、至 23 邊的距離與節(jié)點 1 至 23 邊的距離 之比值。 f 面積坐標與直角坐標互為線性關(guān)系。 （3）面積坐標與三角形在整體坐標系中的位置無關(guān)，故稱為局部坐標或自然坐標。 4.1 與平面問題相比，軸對稱問題有何特點？在有限元表達格式上有何區(qū)別？ 軸對稱問題是空間問題的一種特殊情況，結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束條件及荷載分布都對稱于某個軸，其位移、應變、應力等也對稱于此軸，而與環(huán)向坐標無關(guān)。 4.2 試用體積坐標構(gòu)造 10 節(jié)點四面體單元的形函數(shù)并討論收斂性。 5.1 何謂等參單元？等參單元具有哪些優(yōu)越性？在等參單元計算中，數(shù)值積分的階次是否越高越好？為什么？ 等參單元（簡稱等參元）就是坐標變換和單元

10、內(nèi)的等變量（通常是位移函數(shù)）采用相同的節(jié)點參數(shù)和相同的插值函數(shù)進行變換而設(shè)計出的一種單元。 優(yōu)越性：一，有些工程結(jié)構(gòu)的形狀比較復雜，如果用直邊單元離散這些結(jié)構(gòu)將需要大量的單元才能得到較好的近似，而曲邊的等參單元可非常方便的離散復雜結(jié)構(gòu)。二，如果 在單元內(nèi)多取些節(jié)點，單元便具有較多的位移自由度，從而就能夠插值表示較復雜的單元內(nèi)部位移場，這樣也就提高了單元本身的精度。三，等參單元剛度矩陣、荷載矩陣的 計算是在規(guī)則單元域內(nèi)進行的，因此不管被積函數(shù)多么復雜都可方便的采用標準化數(shù)值分析。 在等參單元計算中，數(shù)值積分的階次并不是越高越好，5.6 何謂位移的零能模式？在什么條件下會發(fā)生零能模式？ 對應于某種

11、非剛體位移模式，減縮積分時高斯點上的應變正好等于零，此時的應變能當然也為零，這種非剛體位移模式稱為零能模式。 采用減縮積分時會發(fā)生零能模式。 6.1 對于桿系結(jié)構(gòu)單元，為什么要在局部坐標系內(nèi)建立單元剛度矩陣？為什么還要坐標變換？ （1）在局部坐標系內(nèi)可以更方便的建立單元剛度矩陣。 （2）在整體分析中，對所有單元都應采用同一個坐標系即整體坐標系 X Y，否則圍繞同一節(jié)點的不同單元對節(jié)點施加的節(jié)點力不能直接相加。因此，在進行整體分析之前， 還需要進行坐標轉(zhuǎn)換工作，把局部坐標系中得出的單元剛度方程轉(zhuǎn)換成整體坐標系中的單元剛度方程，從而得出整體坐標系中的單元剛度矩陣。 6.2 有哪幾種梁彎曲理論？如何

12、用中性軸位移確定梁內(nèi)任一點的位移？ 工程梁理論、剪切梁理論、通用梁理論、空間梁理論。 梁彎曲理論（包括工程梁理論和剪切梁理論）在彈性力學基本假定的基礎(chǔ)上引入了某些附加假定，將問題歸結(jié)為求解中性軸位移，而梁內(nèi)任一點的位移都可以通過中性軸位移 來表示。 7.1 在薄板彎曲理論中做了哪些假設(shè)？如何用中面位移確定板內(nèi)任一點的位移？ 假設(shè)：（1）板厚度方向的擠壓變形可忽略不計，即 Z=0。 （2）在板彎曲變形中，中面法線保持為直線，且仍為彈性曲面（撓度曲面）的法線，即直法線假設(shè)。 （3）薄板中面只發(fā)生彎曲變形，沒有面內(nèi)的伸縮變形，即中面水平位移。 (u)z=0 =(v)z=0 =0 薄板的全部位移、應力

13、和應變分量都可以用板的撓度 來表示，而薄板小撓度彎曲被簡化為中面的彎曲問題，只要中面撓度確定，任何點的位移都可確定。薄板內(nèi)不等 于零的應變分量有如下三個： x=u/x=-z 2/x2 y=v/y=-2 見P116,式(7.3a)rxy=u/y+v/x=-2z 2/xy 7.2 薄板單元和厚板單元的基本假設(shè)有什么不同？各自是怎樣選擇節(jié)點位移參數(shù)的？ 不同點：薄板單元假設(shè)橫向纖維無擠壓，板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面，但是厚板單元的假設(shè)考慮橫向變形的影響，板的中面法線變形后仍 基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面，法線繞坐標軸的轉(zhuǎn)角不再是撓度的導數(shù)，而是獨立的變

14、量。 7.3 在薄板單元中，節(jié)點力矩與薄板內(nèi)力有何區(qū)別？ 節(jié)點力矩 Mxi， Myi 是集中力矩，而板內(nèi)力矩 Mx， My 是分布力矩，此外，兩者的正負號規(guī)定也不相同，因為 Mx， My 與應力正負號的規(guī)定相應。 8.1 薄殼理論有哪些假設(shè)？與薄板理論的假設(shè)有何異同？厚殼分析中引入了何種假設(shè)？與厚板理論的假定有何異同？ 薄殼理論的假設(shè)：薄殼發(fā)生微笑變形時，忽略沿殼體厚度方向的擠壓變形；且認為直法線假設(shè)成立，即變形后中面法線保持為直線且仍為中面的法線；殼體變形時中面不但發(fā) 生彎曲，而且面內(nèi)也將產(chǎn)生面內(nèi)伸縮變形；折板假設(shè)；非耦合假設(shè)。 與薄板理論的假設(shè)的相同點：直法線假設(shè)和法向（板厚度方向）的纖維

15、無擠壓假設(shè)均成立。 不同點：薄板中面只發(fā)生彎曲變形，沒有面內(nèi)的伸縮變形，即中面水平位移為零，而殼體變形時中面不但發(fā)生彎曲，而且也將產(chǎn)生面內(nèi)伸縮變形。 厚殼分析的假設(shè)：變形前后的中曲面法線變形后仍基本保持為直線，但因橫向剪切變形的緣故，該直線不再垂直于變形后的中曲面，此外，殼體厚度方向的擠壓變形可以忽略。 與厚板理論的假設(shè)的相同點：中面法線變形后仍基本保持為直線，但因橫向剪切變形的緣故，該直線不在垂直于變形后的中面。厚度方向的擠壓變形忽略不計。 不同點：厚板理論的假設(shè)中，中面內(nèi)的線位移可以忽略，而厚殼理論的假設(shè)中，中面內(nèi)的位移不可忽略，并且厚殼的位移場可用中面位移表示。 8.2 何謂平板型殼單元

16、？在分析這種單元時都做了哪些假設(shè)？應用平板型殼單元可能會出現(xiàn)什么問題，如何解決？簡述形成平板型殼單元剛度矩陣的基本思路。 將殼體劃分為有限個單元，它們都是曲面單元。但是，當網(wǎng)格足夠小時，殼塊將足夠扁平，可近似地視為平板單元，它們拼成的折板體系可近似代替原來的光滑殼體結(jié)構(gòu)，每 一個足夠小的網(wǎng)格就稱為平板型殼單元。 假設(shè)：（1）理論假設(shè)：薄殼發(fā)生微笑變形時，忽略沿殼體厚度方向的擠壓變形，且認為直法線假設(shè)成立，即變形后中面法線保持為直線且仍為中面的法線。 （2）折板假設(shè)（3） 非耦合假設(shè)。 出現(xiàn)的問題：1.單元共面問題 整體剛度矩陣k=0. （交于某節(jié)點的所有單元都位于同一平面內(nèi)）的平衡方程，并刪去

17、 Qz 方向的平衡 2.虛擬旋轉(zhuǎn)剛度 為排除k=0.而無法求解的困難，可在局部坐標系內(nèi)建立上述特殊節(jié)點， 方程 0=0，另采用在這些特殊節(jié)點上給以任意的虛擬剛度系數(shù) KQ2Qz=0。經(jīng)坐標變換，整體坐標于該節(jié)點平衡方程條件有唯一解。 3新型平面膜單元 采用虛擬旋轉(zhuǎn)剛度零判斷是否單元共面，故增加編程復雜性，在平面膜元角上增加旋轉(zhuǎn)自由度 Qz 使其有對應的剛度。 8.3 面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假設(shè)是針對什么提出的？試說明單元組裝時，面內(nèi)效應與彎曲效應兩者的耦合將會出現(xiàn)。 面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假設(shè)是針對局部坐標系下的單元提出的。 9.1 減少問題自由度的措施有哪些？各自的基本概念如

18、何？ 恰當?shù)睦媒Y(jié)構(gòu)的對稱性、采用子結(jié)構(gòu)技術(shù)等，可以使求解方程組上的自由度數(shù)大為降低。 結(jié)構(gòu)的對稱性：假想地將結(jié)構(gòu)沿其中的某平面對折，若兩部分的形狀、材料性質(zhì)和約束條件完全重合，則稱該平面為對稱面，稱該結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。若荷載隨結(jié)構(gòu)對折后相互 重合，則稱為對稱荷載；若須將對稱面某一邊的荷載改變正負號后才與另一邊的荷載重合，則稱為反對稱荷載。 子結(jié)構(gòu)技術(shù)：在大型復雜結(jié)構(gòu)的有限元分析中，可將原結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域，每個區(qū)域作為一個子結(jié)構(gòu)，這些子結(jié)構(gòu)在其公共邊界上互相連接起來。結(jié)構(gòu)計算可分幾步進行：首 先逐個分析各子結(jié)構(gòu)，并凝聚掉各自的內(nèi)部自由度；然后把全部子結(jié)構(gòu)組合起來進行整體分析，從而得到總體求解方程

19、。采用子結(jié)構(gòu)法的關(guān)鍵之處在于，內(nèi)部節(jié)點的自由度在 子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣形成以后可以凝聚掉，因此子結(jié)構(gòu)實質(zhì)上是具有內(nèi)部自由度的超單元。 9.3 為什么說位移法中應力解的精度低于位移解？如何改善等參單元的應力結(jié)果？如何改善常應變?nèi)切螁卧膽Y(jié)果？ 在位移有限單元法中，位移沿單元邊界是連續(xù)的，而位移的導數(shù)通常是不連續(xù)的，因此在單元邊界上應力是不連續(xù)的；基本未知量是位移，而單元應變和應力是由位移求導得 到的，因此應力的精度要比位移的精度低。 對于等參單元的應力，采用單元內(nèi)應力修勻或分片應力修勻。 對于三角形常應變單元，通常采用應力平均的方法處理計算結(jié)果。 9.4 在無法獲得精確解的條件下，如何進行誤差估計？試說明這樣做的合理性？ 由于無法獲得精確解，故一般是以修勻后的改進值 作為“精確解”來進行誤差估計。通過與精確值誤差范數(shù)對比，發(fā)現(xiàn)這樣做是非常有效的。 9.6 什么是階譜單元？ 階