圓錐曲線知識點歸納與解題方法技巧

1、圓錐曲線解題方法技巧第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關的重要內容傾斜角與斜率 點到直線的距離 夾角公式：直線 夾角為， 則（3）弦長公式直線上兩點間的距離 （4）兩條直線的位置關系（） =-1 （） 或者（）兩平行線距離公式 距離 距離2、圓錐曲線方程及性質1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數，且此常數一定要小于|FF|，

2、定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標準方程： 距離式方程： 參數方程： 若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要

3、條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。如設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由,項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。提醒：在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點

4、；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準線：兩條準線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；準線：兩條準線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。雙曲線的方程的形

5、式有兩種 標準方程：距離式方程：（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。如設，則拋物線的焦點坐標為_（答：）；5、點和橢圓（）的關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內6.記住焦半徑公式：（1），可簡記為“左加右減，上加下減”。 （2） （3）7.橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ 第二、方法儲備1、點差法（中點弦問題）設、，為橢圓的弦中點則有，；兩式相減得=2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？經典套路是什么？如

6、果有兩個參數怎么辦？ 設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數，得到一個二次方程，使用判別式，以及根與系數的關系，代入弦長公式，設曲線上的兩點，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元，若有兩個字母未知數，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關系，則尋找坐標之間的關系，根與系數的關系結合消元處理。一旦設直線為，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點

7、D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程；解：（1）設B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得 （2）設直線BC方程為，得， 代入（2）式得，解得或直線過定點（0，設D（x,y），則，即所以所求點D的軌跡方程是。4、設而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當

8、時，求雙曲線離心率的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。建立直角坐標系，如圖，若設C，代入，求得，進而求得再代入，建立目標函數，整理，此運算量可見是難上加難.我們對可采取設而不求的解題策略,建立目標函數，整理,化繁為簡. 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，則CD軸因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于軸對稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點坐標公式得 ， 設雙曲線的方程為，則離心率由點C、E在雙曲線上，將點C

9、、E的坐標和代入雙曲線方程得 ， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標表示，回避的計算, 達到設而不求的解題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 5、判別式法例3已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲

10、線C相切. 而相切的代數表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據此設計出如下解題思路：轉化為一元二次方程根的問題求解問題關于x的方程有唯一解簡解：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉化為如上關于的方程.由于，所以，從而有于是關于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，

11、就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解. 因此，首先是選定參數，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉化.由A、B、P、Q四點共線

12、，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經做到心中有數. 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數k點Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設，則由可得：，解之得： （1）設直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，

13、消去得：在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數同學不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數的函數關系式（或方程），這只需

14、利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系.分析1:從第一條想法入手，=已經是一個關系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉化為如何將轉化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關于k的函數關系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解1：當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設，

15、直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于的對稱關系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于的對稱關系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB

16、 = g（k）構造所求量與k的關系式關于所求量的不等式韋達定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結合得. 綜上，.點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數的性質法，數形結合法等等. 本題也可從數形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.第三

17、、推理訓練：數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，（）求橢圓的標準方程；（）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由，（） 由F為的重心（）兩

18、根之和，兩根之積得出關于m的方程解出m 消元 解題過程： （）如圖建系，設橢圓方程為,則又即 ， 故橢圓方程為 （）假設存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則設，故，于是設直線為 ，由得， 又得 即 由韋達定理得 解得或（舍） 經檢驗符合條件點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉化為兩向量乘積為零例7、已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過、三點（）求橢圓的方程：（）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，當內切圓的面積最大時，求內心的坐標；由橢圓經過A、B、C三點設方程為得到的方程組解出思維流程：（） 由內切圓面積最大轉化為面積最大轉化為點的縱坐標的絕對值最大最大為橢圓短

19、軸端點面積最大值為（） 得出點坐標為解題過程： （）設橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.橢圓的方程 （），設邊上的高為 當點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為 設的內切圓的半徑為，因為的周長為定值6所以， 所以的最大值為所以內切圓圓心的坐標為.點石成金：例8、已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.（）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.思維流程：（）解：依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，將代入， 消去整理得 設 則 由線段中點的橫坐標是， 得，解得，符合題意。所以直線的方程為 ，或 . （）

20、解：假設在軸上存在點，使為常數. 當直線與軸不垂直時，由（）知 所以 將代入，整理得 注意到是與無關的常數， 從而有， 此時 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，當時， 亦有 綜上，在軸上存在定點，使為常數.點石成金： 例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m0），交橢圓于A、B兩個不同點。 （）求橢圓的方程； （）求m的取值范圍； （）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解：（1）設橢圓方程為則 橢圓方程為（）直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM= 由直線l與橢圓交于A、B兩個不同點， （）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設 則由而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形例10、已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線