(完整版)【人教版】八年級(jí)下數(shù)學(xué)《勾股定理》單元訓(xùn)練(含答案),推薦文檔

1、勾股定理 專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn) 1.巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)名師點(diǎn)金：求最短距離的問(wèn)題，第一種是通過(guò)計(jì)算比較解最短問(wèn)題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過(guò)幾何變換(平移或軸對(duì)稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)用計(jì)算法求平面中最短問(wèn)題1. 如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從 a 走到 b，為了避免拐角c 走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了步路(假設(shè) 2 步為 1 m)，卻踩傷了花草(第 1 題)2. 小明聽說(shuō)“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下

2、問(wèn)題：如圖，以往從黃石 a 坐客車到武昌客運(yùn)站 b，現(xiàn)在可以在黃石 a 坐“武黃城際列車”到武漢青ft站 c，再?gòu)那鄁t站 c 坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站 b.設(shè) ab80 km，bc20 km，abc120.請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：(1) 求 a，c 之間的距離(參考數(shù)據(jù) 214.6)(2) 若客車的平均速度是 60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為 40 km/h，“武黃城際列車”的平均速度為 180 km/h，為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請(qǐng)說(shuō)明理由(不計(jì)候車時(shí)間)(第 2 題)用平移法求平面中最短問(wèn)題3. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是

3、50cm，30 cm，10 cm，a 和 b 是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，a 點(diǎn)上有一只壁虎，它想到b 點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從 a 點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到 b 點(diǎn)，至少需爬()a13 cm b40 cm c130 cm d169 cm(第 3 題)(第 4 題)4如圖，已知bcde90，且abcd3，bc4，deef2，則 af 的長(zhǎng)是用對(duì)稱法求平面中最短問(wèn)題5. 如圖，在正方形 abcd 中，ab 邊上有一點(diǎn) e，ae3，eb1，在 ac 上有一點(diǎn) p，使 epbp 最短，求 epbp 的最短長(zhǎng)度(第 5 題)6. 高速公路的同一側(cè)有 a、b 兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所

4、在直線 mn 的距離分別為 aa2 km，bb4 km，ab8 km.要在高速公路上a、b之間建一個(gè)出口 p，使 a、b 兩城鎮(zhèn)到 p 的距離之和最小求這個(gè)最短距離(第 6 題)用展開法求立體圖形中最短問(wèn)題類型 1圓柱中的最短問(wèn)題(第 7 題)27. 如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為 2，ab，cd 分別是兩底面的直徑若一只小蟲從 a 點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到 c 點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是(結(jié)果保留根號(hào))類型 2圓錐中的最短問(wèn)題 8已知：如圖，觀察圖形回答下面的問(wèn)題： (1)此圖形的名稱為(2) 請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿 as 剪開，鋪在桌面上， 則它的側(cè)面展開圖是

5、一個(gè)(3) 如果點(diǎn) c 是 sa 的中點(diǎn)，在 a 處有一只蝸牛，在 c 處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿 ac 爬到 c 處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4) sa 的長(zhǎng)為 10，側(cè)面展開圖的圓心角為 90，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程(第 8 題)類型 3正方體中的最短問(wèn)題9. 如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角 a 處沿著木柜表面爬到柜角 c1 處(1) 請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2) 當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為 4 時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)(第 9 題)類

6、型 4長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題10. 如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是 12 cm，8 cm，30 cm，在 ab的中點(diǎn) c 處有一滴蜜糖，一只小蟲從 e 處沿盒子表面爬到 c 處去吃，求小蟲爬行的最短路程(第 10 題)名師點(diǎn)金：專訓(xùn) 2.巧用勾股定理解折疊問(wèn)題折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合， 解答折疊問(wèn)題就是巧用軸對(duì)稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律利用勾股定理解答折疊問(wèn)題的一般步驟：(1)運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角； (2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為 x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有 x 的代數(shù)式表示出來(lái)；(3)利用勾

7、股定理列方程求出x；(4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)1(中考泰安)如圖是一直角三角形紙片，a30，bc4 cm，將其折疊，使點(diǎn) c 落在斜邊上的點(diǎn) c處，折痕為 bd，如圖，再將圖沿 de 折疊，使點(diǎn) a 落在 dc的延長(zhǎng)線上的點(diǎn) a處，如圖，則折痕 de 的長(zhǎng)為()38a.3 cmb2cm(第 1 題)c2 2 cmd3 cm巧用對(duì)稱法求折疊中圖形的面積2. 如圖所示，將長(zhǎng)方形 abcd 沿直線 bd 折疊，使點(diǎn) c 落在點(diǎn) c處，bc 交 ad 于e，ad8，ab4，求bed 的面積(第 2 題)巧用方程思想求折疊中線段的長(zhǎng)3. 如圖，在邊長(zhǎng)為 6 的正方形 abcd

8、中，e 是邊 cd 的中點(diǎn)，將ade 沿 ae對(duì)折至afe，延長(zhǎng) ef 交 bc 于點(diǎn) g，連接 ag. (1)求證：abgafg；(2)求 bg 的長(zhǎng)(第 3 題)巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4. 如圖，將長(zhǎng)方形 abcd 沿直線 ef 折疊，使點(diǎn) c 與點(diǎn) a 重合，折痕交 ad于點(diǎn) e，交 bc 于點(diǎn) f，連接 ce. (1)求證：aeafcecf；(2)設(shè) aea，edb，dcc，請(qǐng)寫出一個(gè) a，b，c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式(第 4 題)名師點(diǎn)金：專訓(xùn) 3.利用勾股定理解題的 7 種常見題型勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應(yīng)用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，證明含

9、有平方關(guān)系的幾何問(wèn)題，作長(zhǎng)為 n(n 為正整數(shù))的線段，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題及專訓(xùn)一、專訓(xùn)二中的最短問(wèn)題、折疊問(wèn)題等， 在解決過(guò)程中往往利用勾股定理列方程(組)，有時(shí)需要通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形，化斜為直來(lái)解決問(wèn)題利用勾股定理求線段長(zhǎng)1. 如圖所示，在等腰直角三角形 abc 中，abc90，點(diǎn) d 為 ac 邊的中點(diǎn)，過(guò) d 點(diǎn)作 dedf，交 ab 于e，交 bc 于f，若 ae4，fc3，求 ef 的長(zhǎng)利用勾股定理作長(zhǎng)為 n的線段 (第 1 題)2. 已知線段 a，作長(zhǎng)為 13a 的線段時(shí)，只要分別以長(zhǎng)為和的線段為直角邊作直角三角形，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)就為利用勾股定理證明線段相等13

10、a.3. 如圖，在四邊形 abfc 中，abc90，cdad，ad22ab2cd2.求證：abbc.(第 3 題)利用勾股定理證明線段之間的平方關(guān)系 4如圖，c90，amcm，mpab 于點(diǎn) p. 求證：bp2bc2ap2.(第 4 題)利用勾股定理解非直角三角形問(wèn)題5如圖，在abc 中，c60，ab14，ac10.求 bc 的長(zhǎng)(第 5 題)利用勾股定理解實(shí)際生活中的應(yīng)用6. 在某段限速公路 bc 上(公路視為直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過(guò) 60 km/h(即 35m0/s)，并在離該公路 100 m 處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn) a.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) a 位于 y 軸

11、上，測(cè)速路段 bc 在x 軸上， 點(diǎn)b 在點(diǎn) a 的北偏西 60方向上，點(diǎn) c 在點(diǎn) a 的北偏東 45方向上另外一條公路在 y 軸上，ao 為其中的一段(1) 求點(diǎn) b 和點(diǎn) c 的坐標(biāo)；(2) 一輛汽車從點(diǎn) b 勻速行駛到點(diǎn) c 所用的時(shí)間是 15s，通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速(參考數(shù)據(jù)： 31.7)(第 6 題)利用勾股定理探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題7. 如圖，在 rtabc 中，acb90，ab5 cm，ac3 cm，動(dòng)點(diǎn) p 從點(diǎn) b 出發(fā)沿射線 bc 以 1 cm/s 的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒(1) 求 bc 邊的長(zhǎng)；(2) 當(dāng)abp 為直角三角形時(shí)，借助圖求 t 的值

12、；(3) 當(dāng)abp 為等腰三角形時(shí)，借助圖求 t 的值(第 7 題)答案專訓(xùn) 1 14(第 2 題)2解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn) c 作 ab 的垂線，交 ab 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) e.abc120，bce30. 在 rtcbe 中，bc20 km，be10 km.3由勾股定理可得 ce10km.在 rtace 中，ac2ae2ce2(abbe)2ce28 1003008 400，ac20 21204.692(km)801(2) 選擇乘“武黃城際列車”理由如下：乘客車需時(shí)間 t16013(h)，92 201乘“武黃城際列車”需時(shí)間 t218040190(h) 1 113190，選擇乘“武黃城際列車”(第

13、3 題)3c 點(diǎn)撥：將臺(tái)階面展開，連接 ab，如圖，線段 ab 即為壁虎所爬的最短路線因?yàn)?bc303103120(cm)，ac50 cm，在 rtabc 中，根據(jù)勾股定理，得 ab2ac2bc216 900，所以 ab130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.4105. 解：如圖，連接 bd 交 ac 于o，連接 ed 與 ac 交于點(diǎn) p，連接 bp.(第 5 題)易知 bdac，且 bood，bppd，則 bpeped，此時(shí)最短ae3，ad134，由勾股定理得ed2ae2ad232422552，edbpep5.6. 解：如圖，作點(diǎn) b 關(guān)于 mn 的對(duì)稱點(diǎn) c，連接 ac 交 mn 于

14、點(diǎn) p，則點(diǎn) p 即為所建的出口此時(shí) a、b 兩城鎮(zhèn)到出口 p 的距離之和最小，最短距離為 ac 的長(zhǎng)作 adbb于點(diǎn) d，在 rtadc 中，adab8 km，dc6 km.ac ad2dc210 km，這個(gè)最短距離為 10 km.72 2(第 6 題)點(diǎn)撥：將圓柱體的側(cè)面沿 ad 剪開并鋪平得長(zhǎng)方形 aadd，連接 ac，如圖線段 ac 就是小蟲爬行的最短路線根據(jù)題意得21ab222.在 rtabc 中，由勾股定理，得ac2ab2bc222228，ac8解：(1)圓錐 (2)扇形82 2.(第 7 題)(3) 把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，ac 為蝸牛爬行的最短路線(4)在 rtasc

15、 中，由勾股定理，得 ac210252125，ac 1255 5.故蝸牛爬行的最短路程為 5 5. (第 8 題) (第 9 題)9. 解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的 ac1 和 ac1. (2)如圖，ac1 42（44）24 5.ac1 （44）2424 5. 所以螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)是 4 5.10. 解：分為三種情況：(1) 如圖，連接 ec，1在 rtebc 中，eb12820(cm)，bc23015(cm)673由勾股定理，得 ec (2)如圖，連接 ec.20215225(cm)根據(jù)勾股定理同理可求 cecm25 cm. (3)如圖，連接 ec.根據(jù)勾股定理同

16、理可求 ce 122（30815）2 2 953(cm)25 cm.綜上可知，小蟲爬行的最短路程是 25 cm.(第 10 題)專訓(xùn) 2 1a2解：由題意易知 adbc，23.bcd 與bcd 關(guān)于直線 bd 對(duì)稱，12.13.ebed.設(shè) ebx，則 edx，aeaded8x.在 rtabe 中，ab2ae2be2，42(8x)2x2.x5.11de5.sbed2deab25410.解題策略：解決此題的關(guān)鍵是證得 edeb，然后在 rtabe 中，由be2ab2ae2，利用勾股定理列出方程即可求解3(1)證明：在正方形 abcd 中，adab，db90.將ade 沿 ae 對(duì)折至afe，ad

17、af，deef，dafe90.abaf，bafg90.又agag，rtabgrtafg(hl)(2) 解：abgafg，bgfg.設(shè) bgfgx，則 gc6x，e 為 cd 的中點(diǎn)，cedeef3，eg3x.在 rtceg 中，32(6x)2(3x)2，解得 x2.bg2.4(1)證明：由題意知，afcf，aece，afecfe，又四邊形 abcd是長(zhǎng)方形，故 adbc，aefcfe.afeaef.aeafeccf.(2)解：由題意知，aeeca，edb，dcc，由d90知， ed2dc2ce2，即 b2c2a2.專訓(xùn) 31解：如圖，連接 bd.(第 1 題)等腰直角三角形 abc 中，點(diǎn) d

18、 為 ac 邊的中點(diǎn)，bdac，bd 平分abc(等腰三角形三線合一)，abdcbd45， 又易知c45，abdcbdc.bdcd.dedf，bdac，fdcbdfedbbdf.fdcedb.在edb 與fdc 中，)ebdc，bdcd，edbfdc，edbfdc(asa)，befc3.ab7，則 bc7.bf4.在 rtebf 中，ef2be2bf2324225，ef5.22a；3a3. 證明：cdad，adc90，即adc 是直角三角形 由勾股定理，得 ad2cd2ac2.又ad22ab2cd2，ad2cd22ab2.ac22ab2.abc90，abc 是直角三角形 由勾股定理，得 ab2

19、bc2ac2，ab2bc22ab2，故 bc2ab2，即 abbc.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)選擇用勾股定理證明， 應(yīng)用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：找出圖中證明結(jié)論所要用到的直角三角形；根據(jù)勾股定理寫出三邊長(zhǎng)的平方關(guān)系；聯(lián)系已知，等量代換， 求之即可(第 4 題)4. 證明：如圖，連接 bm.pmab，bmp 和amp 均為直角三角形bp2pm2bm2，ap2pm2am2.同理可得 bc2cm2bm2.bp2pm2bc2cm2.又cmam，cm2am2ap2pm2.bp2pm2bc2ap2pm2.bp2bc2ap2.(第 5 題)5. 思路導(dǎo)引：過(guò)點(diǎn) a 作 adbc

20、 于 d，圖中出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形rt acd 和 rtabd，這兩個(gè)直角三角形有一條公共邊 ad，借助這條公共邊可建立起兩個(gè)直角三角形之間的聯(lián)系解：如圖，過(guò)點(diǎn) a 作 adbc 于點(diǎn) d.adc90.又c60，1cad90c30，cd2ac5.在 rtacd 中，ad ac2cd2 102525 3.在 rtabd 中，bd ab2ad211.bcbdcd11516.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用推理或列方程的方法解決問(wèn)題6. 思路導(dǎo)引：(1)要求點(diǎn) b 和點(diǎn) c 的坐標(biāo)，只要分別求出 ob

21、和 oc 的長(zhǎng)即可(2)由(1)可知 bc 的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用速度公式求得汽車在這段限速路上的速50度，并與 3 比較即可解：(1)在 rtaob 中，bao60，1abo30，oa2ab.oa100 m，ab200 m.由勾股定理，得 ob ab2oa2 20021002100 3(m) 在 rtaoc 中，cao45，ocaoac45.ocoa100 mb(100 3，0)，c(100，0)(2)bcboco(100這輛汽車超速了50100 31003100)m，1518 3 ，7解：(1)在 rtabc 中，bc2ab2ac2523216，bc4 cm.(2) 由題意知 bpt cm，如圖

22、，當(dāng)apb 為直角時(shí)，點(diǎn) p 與點(diǎn) c 重合，bpbc4cm，即t4；如圖，當(dāng)bap 為直角時(shí)，bpt cm，cp(t4)cm，ac3 cm， 在 rtacp 中，ap232(t4)2，在 rtbap 中 ， ab2ap2bp2， 即5232(t4)2t2，25解得 t 4 .25故當(dāng)abp 為直角三角形時(shí)，t4 或t 4 .(第 7 題(2)(3) 如圖，當(dāng) bpab 時(shí)，t5；如圖，當(dāng) abap 時(shí)，bp2bc8 cm，t8；(第 7 題(3)如圖，當(dāng) bpap 時(shí)，apbpt cm，cp|t4|cm，ac3 cm，25在 rtacp 中，ap2ac2cp2，所以 t232(t4)2，解得 t 8 .25綜上所述