用矩陣的初等變換求逆矩陣

1、精品文檔 . 2007年11月16日至18日，有幸參加了由李尚志教授主講的國(guó)家精品課程線性代數(shù)（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)）培訓(xùn)班，使我受益匪淺，在培訓(xùn)中，我見(jiàn)識(shí)了一種全新的教學(xué)理念。李老師的“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”“化抽象為自然”“餓了再吃”等教學(xué)理念很值得我學(xué)習(xí)。作為剛參加工作的年輕教師，我應(yīng)該在以后的教學(xué)中，慢慢向這種教學(xué)理念靠攏，使學(xué)生在不知不覺(jué)中掌握較為抽象的知識(shí)。下面這個(gè)教案是根據(jù)李老師的教學(xué)理念為“三本”學(xué)生寫(xiě)的，不知是否能達(dá)要求，請(qǐng)李老師指教。 用矩陣的初等變換求逆矩陣 一、問(wèn)題提出 在前面我們以學(xué)習(xí)了用公式 求逆矩陣，但當(dāng)矩陣A的階數(shù)較大時(shí)，求A*很繁瑣，此方法不實(shí)用，因此必須找一種更簡(jiǎn)單

2、的方法求逆矩陣，那么如何找到一種簡(jiǎn)單的方法呢？ （餓了再吃） 二、求逆矩陣方法的推導(dǎo) （“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”“化抽象為自然”） 我們已學(xué)習(xí)了矩陣初等變換的性質(zhì)，如 1.定理2.4 對(duì)mxn矩陣A，施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。 2.初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣還是初等矩陣。 3.定理2.5的推論 A可逆的充要條件為A可表為若干初等矩陣之積。即 4.推論 A可逆，則A 可由初等行變換化為單位矩陣。 （1） 由矩陣初等變換的這些性質(zhì)可知，若A可逆，構(gòu)造分塊矩陣(AE)，其中E為與A同階的單位矩陣，那么 （2）

3、由（1）式 代入（2）式左邊， 上式說(shuō)明分塊矩陣(AE)經(jīng)過(guò)初等行變換，原來(lái)A的位置變換為單位陣E，原來(lái)E的位置變換為我們所要求的1A?,即 21121111111112112112stssttmPPPAQQQEAPPPPEQQQQRRR?LLLLL11121mRRRAE?L111121mRRRA?L?122nnnnAEEA? 1*1AAA?1111AAEAAAEEA?111121mARRR?L?111121mRRRAEEA?L精品文檔 . 三，講解例題 1. 求逆矩陣方法的應(yīng)用之一 例 解： 四，知識(shí)拓展 2求逆矩陣方法的應(yīng)用之二 利用矩陣的初等行變換也可以判斷一個(gè)矩陣是否可逆，即分塊矩陣(

4、AE)經(jīng)過(guò)初等行變換，原來(lái)A的位置不能變換為單位陣E，那么A不可逆。 例 解： 而上面分塊矩陣的第一塊第二行全為零，它不可能變換為單位矩陣，所以A不可逆。 3求逆矩陣方法的應(yīng)用之三 利用矩陣初等行變換解矩陣方程 （“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”） 1112120,113AA?設(shè)求 。112100120010113001AE?（）2131rrrr?112100032110001101?110302030312001101?132322rrrr? ?30211012010133001101?313 r1423310012010133001101?12rr ?11423312133101A?112122145,41

5、211111AA?設(shè)求。12121000214501004121001011110001AE?（）12121000036921000969401001231001?12121000000011030969401001231001?精品文檔 . 對(duì)一般的矩陣方程 求解，我們可以先求1A? ，然后求X1A?B。 現(xiàn)在我們介紹另外一種方法求矩陣方程。 其實(shí)在推導(dǎo)求逆矩陣方法的過(guò)程就是求解矩陣方程的過(guò)程，因?yàn)榍?A?就是求解矩陣方程 的解，而對(duì)一般的矩陣方程 只要將 中的E換成B，然后利用初等行變換，即 其中的1A?B即為所求矩陣方程 的X。 例 解： 五、小結(jié) 1.矩陣初等行變換：求逆、判斷矩陣是否可逆、 解矩陣方程 2.思考：若XA=B，如何用初等變換法求X? 賀建輝 2007-11-21 AXE?AXB?AXB?AE?122nnnnABEAB? AXB?123252213134343ABAXBX?設(shè)，若，求。12325221313