5第二十九章投影與視圖

1、第二十九章投影與視圖29.1投影專題一太陽光下的投影1如圖是一根電線桿在一天中不同時刻的影長圖，試按其一天中發(fā)生的先后順序排列，正確的是（）ABCD2興趣小組的同學(xué)要測量某棵樹的高度在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的直立竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.3米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.8米，則樹高為多少米？3某校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中，如圖所示，測得樹底部中心A到斜坡底C的水平距離為8.8 m在陽光下某一時刻測得1米的標(biāo)桿影長為0.8 m，樹影

2、落在斜坡上的部分CD3.2 m已知斜坡CD的坡比i1:，求樹高AB.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.7）專題二燈光下的投影4 如圖，一根直立于水平地面上的木桿AB在燈光下形成影子，當(dāng)木桿繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)直至到達(dá)地面時，影子的長度發(fā)生變化設(shè)AB垂直于地面時的影長為AC假定ACAB，影長的最大值為m，最小值為n，那么下列結(jié)論：mAC；mAC； nAB；影子的長度先增大后減小其中，正確結(jié)論的序號是 5如圖，小華、小軍、小麗同時站在路燈下，其中小軍和小麗的影子分別是AB，CD （1）請你在圖中畫出路燈燈泡所在的位置（用點P表示）； （2）畫出小華此時在路燈下的影子（用線段EF表示）.6如圖所示，點

3、P表示廣場上的一盞照明燈 （1）請你在圖中畫出小敏在照明燈P照射下的影子（用線段表示）； （2）若小麗到燈柱MO的距離為4.5米，照明燈P到燈柱的距離為1.5米，小麗目測照明燈P的仰角為55，她的目高QB為1.6米，試求照明燈P到地面的距離（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：tan551.428，sin550.819，cos550.574）專題三正投影7如圖，投影面上垂直立一線段AB，線段長為2 cm. （1）當(dāng)投影線垂直照射投影面時，線段在地面上的投影是什么圖形？請在左圖中畫出來. （2）當(dāng)投影線與投影面的傾斜角為60時，線段在投影面上的投影是什么圖形？并畫出投影示意圖. （3）上面（1）、（

4、2）問題中的投影都是正投影嗎？為什么？8在正投影中，正方形傾斜于投影面放置時，它的投影是什么圖形？若正方形的面積為10，它的正投影的面積是5，你知道正方形與投影面的傾斜角是多少度嗎？專題四規(guī)律探究題9學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子長度的變化規(guī)律.如圖，在同一時刻，身高為1.6 m的小明（AB）的影子BC的長是3 m，而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方H點，并測得HB=6 m. （1）請你在圖中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G； （2）求路燈燈泡的垂直高度GH； （3）如果小明沿線段BH向小穎（點H）走去，當(dāng)小明走到BH的中點B1處時

5、，求其影子B1C1的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的到B2處時，求其影子B2C2的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的到B3處時，,按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的到Bn處時，其影子BnCn的長為 m（用含n的代數(shù)式表示）.【知識要點】1投影：一個物體放在陽光下或燈光前,就會在地面上或墻壁上留下它的影子，這個影子稱為物體的投影.投影要有照射光線和形成影子的地方,這就是投影線和投影面.2平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影.3中心投影：由同一個點（點光源）發(fā)出的光線所形成的投影為中心投影.4正投影的概念：在平行投影中,如果投射線垂直于投影面,那么這種投影稱為正投影.幾何體在一個平面上的正投影叫做這個幾

6、何體的視圖.5(1)當(dāng)線段AB平行于投影面P時,它的正投影是線段A1B1,線段AB與它的投影的大小關(guān) 系為ABA1B1；(2)當(dāng)線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2,線段AB與它的投影的大小關(guān)系為ABA2B2；(3)當(dāng)線段AB垂直于投影面P時,它的正投影是一個點.6(1)當(dāng)紙板Q平行于投影面P時，Q的正投影與Q的形狀、大小一樣； (2)當(dāng)紙板Q傾斜于投影面P時，Q的正投影與Q的形狀、大小發(fā)生變化； (3)當(dāng)紙板Q垂直于投影面P時，Q的正投影成為一條線段. 故當(dāng)物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同.【溫馨提示】1 平行投影與中心投影的區(qū)別與聯(lián)系.區(qū)

7、別聯(lián)系光線物體與投影面平行時的投影平行投影平行的投影線全等都是物體在光線的照射下，在某個平面內(nèi)形成的影子（即都是投影）中心投影從一點出發(fā)的投影線放大（位似變換）2在平行投影下,一個圖形上的點被投影后，對應(yīng)點的連線互相平行.同一時刻，平行投影的影子方向和大小不隨物體位置的變化而變化.3中心投影的投射光線相交于一點,同一時刻，中心投影的影子方向隨物體位置的變化而發(fā)生變化.4正投影是平行投影的一種特例，正投影的特征是每條投影線都垂直于投影面.【方法技巧】1因為一天之中，太陽東升西落，所以早晨物體的影子朝西，傍晚物體的影子朝東，但因為地處北半球，即使是夏天的正午，也由于太陽直射點的關(guān)系，物體的影子略微

8、向北偏移，故一天之中影子方向的變化順序為：正西北偏西正北北偏東正東；一天之中影子的長度的變化規(guī)律為：長短長2確定點光源的位置的方法：兩個物體影子的頂端與物體的頂端的連線的交點為點光源的位置3分別自兩個物體的頂端及其影子的頂端作一條直線，若兩直線平行，則為平行投影；若兩直線相交，則為中心投影，其交點是光源的位置.參考答案1 C【解析】太陽由東升起的過程中，物體的影子投向西側(cè)，且由長到短，太陽偏西，物體的影子也轉(zhuǎn)投向東側(cè)，且由短到長故選.2 解：畫出示意圖如圖所示. 從圖中我們看到小樹在一組平行光的照射下，影子分成了三部分AC、CD、DG.因為小樹和豎直臺階是水平的，所以四邊形CDEF是平行四邊形

9、，EFCD，因為同一時刻，不同物體的物高與影長之比相等，所以. 即. 解得BE0.5，AF8. 所以小樹的高ABAFEFBE80.30.58.8(米).3解：如圖所示，延長BD與AC的延長線交于點E，過點D作DHAE于點H. itanDCH， DCH30. DHCD1.6 m，CHDH2.7 m. 由題意可知， HE0.8DH1.28 m. AEACCHHE8.81.2812.78(m). ，所以(m).4 【解析】當(dāng)木桿繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，如圖所示，mAC，成立；成立，那么不成立；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到達(dá)地面時，有最短影長，等于AB，成立；由上可知，影子的長度先增大后減小，成立 5 解：如圖所示.

10、（1）點P就是所求的點； （2）EF就是小華此時在路燈下的影子6解：（1）如圖，線段AC是小敏的影子. （2）過點Q作QEMO于E，過點P作PFAB于F，交EQ于點D，則PFEQ. 在RtPDQ中，PQD55，DQEQED4.51.53（米）. tan55， PD3tan554.3（米）. DFQB1.6米， PFPDDF4.31.65.9（米）. 答：照明燈P到地面的距離為5.9米7解：（1）點.（2）線段，這條線段BC的長度為.（3）（1）問中的投影是正投影，（2）問中的投影不是正投影，是平行投影.只有投影線和投影面垂直的投影才是正投影.8是一個長方形，當(dāng)正方形傾斜于投影面放置時，它與投影

11、面平行的一邊長等于原來的長度，而與投影面不平行的邊長縮小.因為正方形的面積為10，它的正投影的面積是5，所以不平行的一邊長的投影等于這邊的一半，所以正方形與投影面的傾斜角是60度.9解：（1）如圖，點G即為所求. （2）由題意得， ， ， m. （3）， ， 設(shè)的長為x m，則， 解得（m），即 m 同理， 解得（m）， 29.2三視圖專題一由立體圖形到其三視圖1如圖所示的機器零件的左視圖是（）2如圖是一個正方體被截去一角后得到的幾何體，它的俯視圖是ABDC 3如下左圖表示一個由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個數(shù)，那么該幾何體的主視圖為（） A BC

12、D4畫出如圖所示幾何體的三視圖.專題二由三視圖確定物體的形狀以及進行相關(guān)計算5如下圖是某物體的三視圖，則這個物體的形狀是（）A四面體B直三棱柱C直四棱柱D直五棱柱6 如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），則該幾何體的側(cè)面積為cm2.7如圖是一個上下底密封紙盒的三視圖，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算這個密封紙盒的表面積為_ _cm2(結(jié)果可保留根號) 專題三立體圖形的展開圖與最短路徑8如圖，長方體的底面邊長分別為1 cm和3 cm，高為6 cm如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要cm；如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需 cm9如

13、圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）當(dāng)AB4，BC4，CC15時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；（3）求點B1到最短路徑的距離專題四開放與探究題10如圖所示是由若干個相同的小立方體搭成的幾何體的俯視圖和左視圖，則小立方體的個數(shù)不可能是（）A6個B7個C8個D9個11 如圖，觀察由棱長為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：如圖中，共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖中，共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖中，共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看

14、不見；，則第個圖中，看得見的小立方體有 個12問題探究：（1）如圖所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點，求螞蟻爬行的最短路程；（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖中的矩形ABBA，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB的長）（2）如圖所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；（3）如圖所示，在的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程【知識要點】

15、1三視圖的概念（1）要想清楚地刻畫一個幾何體的形狀和大小，通常需要畫出它在三個互相垂直的投影面上的正投影.（2）從一個幾何體的三視圖可以看出，三個視圖分別從不同方向反映一個幾何體的形狀和大小，主視圖反映幾何體的長和高，俯視圖反映幾何體的長和寬，左視圖反映幾何體的高和寬.（3）主視圖與俯視圖的長對正,主視圖與左視圖的高平齊,左視圖與俯視圖的寬相等.2畫三視圖時規(guī)定：看得見部分的輪廓線畫成實線，因被其他部分遮擋而看不見部分的輪廓線畫成虛線.【溫馨提示】1主視圖不反映物體的寬度；俯視圖不反映物體的高度；左視圖反不反映物體的長度.2三視圖位置規(guī)定:先確定主視圖的位置，它的正下方應(yīng)是俯視圖,正右方應(yīng)是左

16、視圖.3畫三視圖時規(guī)定;看得見部分的輪廓線畫成實線,因被其他部分遮擋而看不見部分的輪廓線畫成虛線.4圓柱、圓錐、圓臺、球體的三視圖中一定有圓，棱錐的三視圖中一定有三角形.5畫組合體的視圖時，需要先分別得到單個立方體的視圖，然后看看它們彼此間有無遮擋，如果有，再用虛線畫出來.【方法技巧】1 常見幾何體的展開圖，列表如下：名稱立體圖形平面展開圖棱柱長方體五棱柱三棱錐圓錐圓柱2 常見立體圖形的三視圖，列表如下：立體圖形主視圖俯視圖左視圖3常見的正方體的展開圖有以下11種形狀：（一）“一四一”型：（二）“二三一”型：（三）“三三”型和“二二二”型：4與序號有關(guān)的規(guī)律探索題解決的兩種思路：（1）首先從簡

17、單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論；（2）將序號看作自變量，另一個變量看作常數(shù)，如果增長速度一樣，則是一次函數(shù)，求出一次函數(shù)解析式；如果增長速度成冪指數(shù)增加，則是冪函數(shù)；兩個都不遵守的話，考慮用二次函數(shù)解決.5由幾何體的兩個視圖獲得組成幾何體的小正方體個數(shù)時，通常根據(jù)“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”的步驟進行參考答案1 D【解析】選項A是主視圖，選項B是俯視圖，選項C中間多了一條實線，只有選項D才是正確的左視圖.故選D.2 A【解析】由于正方體被截去一角，而俯視圖是從

18、上面往下看，應(yīng)是右下方有一條斜線，所以畫出的視圖仍是正方形，不過右下方多一條斜線.故選擇A.3 C【解析】俯視圖中的每個數(shù)字是該位置小立方塊的個數(shù)，分析其中的數(shù)字，得主視圖有3列，從左到右正方形的個數(shù)分別是2，2，1故選C.4解：如圖所示： 5B【解析】從主視圖看，它是一個三角形，而直四棱柱與直五棱柱的三視圖不可能會出現(xiàn)三角形，故排除C，D,而A選項的四面體包括三棱錐，三棱錐的三視圖中不可能出現(xiàn)長方形.62【解析】根據(jù)三視圖可知此幾何體是一個圓錐，其側(cè)面展開圖是一個扇形，故其側(cè)面積為222.故答案為2.7（75360）【解析】由所給三視圖不難想象出它表示一 10cm12cm個六棱柱，這個六棱柱

19、的平面展開圖如圖所示易知正六邊形的邊長為5 cm，于是一個正六邊形的面積65，S表2651275360810 （2或）【解析】將長方體展開，連接A，B，根據(jù)兩點之間線段最短，AB10（cm）；如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是8n和6，根據(jù)勾股定理可知所用細(xì)線最短需要2（cm）9解：（1）如圖，木柜的部分表面展開圖是兩個矩形ABC1D1和ACC1A1故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖所示的A1C1和AC1（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1，爬過的路徑的長是l1 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1，爬過的路徑的長是l2 l1l2，故最短路徑的長是l2 （3）過B1作B1