線性代數(shù)技巧行列式的計算方法

1、計算n階行列式的若干方法舉例n階行列式的計算方法很多，除非零元素較多時可利用定義計算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計算，特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方法，值得注意的是，同一個行列式，有時會有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明。1利用行列式定義直接計算例1 計算行列式解 Dn中不為零的項用一般形式表示為.該項列標排列的逆序數(shù)t（n1 n21n）等于，故 2利用行列式的性質(zhì)計算例2 一個n階行列式的元素滿足則稱Dn為反對稱行列式，證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零. 證明：由知，即故行列式Dn可表示為由行列式的性質(zhì) 當n為奇數(shù)時，得Dn =Dn

2、，因而得Dn = 0.3化為三角形行列式若能把一個行列式經(jīng)過適當變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。例3 計算n階行列式 解：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得4降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例4 計算n階行列式解 將Dn按第1行展開.5遞推公式法遞推公式法：對n階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn與Dn1

3、, Dn2之間的一種關(guān)系稱為遞推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出Dn的方法稱為遞推公式法。例5 證明 證明：將Dn按第1列展開得 由此得遞推公式：，利用此遞推公式可得6利用范德蒙行列式例6 計算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2 計算階行列式其中解 這個行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n即按降冪排列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中

4、增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7 計算n階行列式 解： （箭形行列式） 例3 計算n（n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面這個行列式第一列加第i（，）列的倍，得：故 8數(shù)學歸納法例8 計算n階行列式解：用數(shù)學歸納法. 當n = 2時 假設(shè)n = k時，有 則當n = k+1時，把Dk+1按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)n，有9拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以利計算。例9 計算行列式 解：例4 計算n（n2）階行列式解 將按第一列拆成兩

5、個行列式的和，即再將上式等號右端的第一個行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第一列的公因子，則可得到當n3時，當時，上面介紹了計算n階行列式的常見方法，計算行列式時，我們應當針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。學習中多練習，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計算。第1講 計算行列式的若干基本方法計算行列式并無固定的方法其實，同一個行列式可以有多種不同的方法進行計算因此，除了掌握好行列式的基本性質(zhì)外，針對行列式的結(jié)構(gòu)特點，選取恰當?shù)姆椒ǎ拍茌^快地酸楚行列式這一講，我們將介紹一些常用的方法1 化為已經(jīng)熟悉的行列式來計算我們已經(jīng)知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形

6、如，的行列式的結(jié)果如果利用行列式的性質(zhì)可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值為了敘述簡便，仍用記號表示互換行列式的第i行（列）與第j行（列）；用表示將行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示將第i行（列）乘以非零的數(shù)c例1 計算行列式解 這是一個階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計算例5 計算n階行列式解 這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此n列之和全同將第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例6 計算階行列式其中解 這個行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n即按降冪排

7、列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即2 降階法當一個行列式的某一行（列）的元素有比較多0時，利用行列式的依行（列）展開定理將它化為較低階的行列式來計算例7 計算n（n2）階行列式解 按第一行展開，得再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到3 拆項法拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素都寫成同樣多的和，然后利用性質(zhì)6將它表成一些比較容易計算的行列式的和例8 計算n（n2）階行列式解 將按第一列拆成兩個行列式的和，即再將上式等號右端的第一個行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第一列的

8、公因子，則可得到當n3時，當時，例9 計算n階行列式，（）解 將第一行的元素都表成兩項的和，使變成兩個行列式的和，即將等號右端的第一個行列式按第一行展開，得： 這里是一個與有相同結(jié)構(gòu)的階行列式；將第二個行列式的第一行加到其余各行，得：于是有 （1）另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項之和：仿上可得： （2）將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然后相減以消去，得：4 加邊法在給定的行列式中添上一行和一列，得加邊行列式，建立新的行列式與原行列式的聯(lián)系，以求得結(jié)果例10 計算n（n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面

9、這個行列式第一列加第i（，）列的倍，得：故5 遞推法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點，利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式表成若干個具有相同形狀以及一些容易計算的，但階數(shù)較低的行列式之和，然后利用這種關(guān)系式計算原行列式的值，最后再用數(shù)學歸納法證明所得到的結(jié)果正確這是一種頗常使用的方法，在計算范德蒙行列式時已建立過遞推關(guān)系式，本講的例6也利用了遞推關(guān)系式使用遞推法計算行列式，一般分三個步驟，首先找出遞推關(guān)系式，然后算出結(jié)果，最后用數(shù)學歸納法證明結(jié)果正確例11 計算n階行列式解 首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開，得：這里與有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是的行列式現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計算結(jié)果對此，只需反復進行代換，得：

10、因，故最后，用數(shù)學歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的當時，顯然成立設(shè)對階的情形結(jié)果正確，往證對n階的情形也正確由可知，對n階的行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立例12 證明n階行列式證明 按第一列展開，得其中，等號右邊的第一個行列式是與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到一個也與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作這樣，就有遞推關(guān)系式：因為已將原行列式的結(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個結(jié)果是正確的當時，結(jié)論正確當時，結(jié)論正確設(shè)對的情形結(jié)論正確，往證時結(jié)論也正確由可知，對n階行列式結(jié)果也成立 根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結(jié)

11、論成立二、行列式計算方法1. 定義法2. 化為三角形行列式的方法3. 化為范得蒙行列式的方法4. 拆行(列)法5. 降級法6. 加邊法7. 數(shù)學歸納法8. 遞推法9. 因式分解法本章主要內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系:行列式性質(zhì) n級排列 行列式的概念克拉默規(guī)則 行列式依行依列展開重點 行列式的計算難點 行列式概念,行列式的展開定理及用定義證明行列式性質(zhì)3. 化為范得蒙行列式的方法例1 計算行列式 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系數(shù)的相反數(shù),而中 的系數(shù)為 ,因此, .4. 拆行(列)法例2 計算行列式.解：.5. 降級法例3 計算行列式.解：易得 .6. 加邊法例4 計算行列式.

12、解：而當時可分只有一個因子為零或至少有兩個因子為零可得同樣的結(jié)果.9. 因式分解法如果行列式是某個變數(shù)的多項式，可對行列式施行某些變換，求出的互不相同的一次因式，設(shè)這些一次因式的乘積為，則，再比較與的某一項的系數(shù)，求出值.三、行列式的計算方法方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是

13、先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例3：浙江大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：方法2 按行（列）展開法（降階法）設(shè)為階行列式，根據(jù)

14、行列式的按行（列）展開定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應用按行（列）展開法時，應利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例4、計算20階行列式分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*201次加減法和乘法運算，

15、這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：解：方法3遞推法應用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例5、2003年福州大學研究生入學

16、考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復用低階代替高階，有：

17、同樣有：因此當時由（1）（2）式可解得：，證畢。方法4 數(shù)學歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）例6、證明：方法 5 .利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例7、 計算n階行列式解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 5.消去法求三對角線型行列式的值例6 求n階三對角線型行列式的值： （1）的構(gòu)造是：主對角線元全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其余的元全為0。解 用消去法，把中主對角線下方第一條次對角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變?yōu)槠浯螐牡谌袦p去第二行（指新的第二行，以下