遼寧省沈陽市2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）

1、遼寧省沈陽市2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以把角化成，利用誘導(dǎo)公式化成以內(nèi)的特殊角，從而得到結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可知：故選C.【點睛】誘導(dǎo)公式是三角中最基本的運算，可以把任意大小的角化成到范圍內(nèi)進(jìn)行求解.2.已知向量，且，則（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】由向量平行的性質(zhì)可以得到，從而得到.【詳解】由向量，且，可由向量平行的性質(zhì)得到.故答案選B【點睛】若向量，且，則可

2、以推出.3.已知向量，若，則角（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量點乘的公式帶入，可以得到，再由求出角的精確數(shù)值.【詳解】由，及可得，化簡得或又，則為唯一解，答案選D.【點睛】1、若向量，則向量點乘；2、解三角方程時，若，則或；3、解三角方程時尤其要注意角度的取值范圍.4.函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正切函數(shù)對稱中心可以得到，從而解出滿足條件的對稱中心.【詳解】由正切函數(shù)的對稱中心可以推出對稱中心的橫坐標(biāo)滿足，帶入四個選項中可知，當(dāng)時，.故是圖像的一個對稱中心，選A.【點睛】正切函數(shù)對稱中心為，正弦函數(shù)的對稱中心

3、為，余弦函數(shù)的對稱中心為，解關(guān)于對稱中心的題目時需要把整個三角函數(shù)看成一個整體，從整體性入手求出具體范圍.5.已知，則（ ）A. B. 2C. D. -2【答案】B【解析】由題，兩邊平方得，兩邊同時除以并化簡得，解得故本題正確答案為6.已知，則，的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以看出，直接排除A、B，再比較，從而選出正確答案.【詳解】可以看出是一個銳角，故；又，故；又，而，故；從而得到，故選C.【點睛】比較大小時常用的方法有單調(diào)性法，圖像法，中間值法；中間值一般選擇0、1、-1等常見數(shù)值.7.已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個對稱中心為點，則有（ ）A. 最

4、小值2B. 最大值2C. 最小值1D. 最大值1【答案】A【解析】【分析】將代入余弦函數(shù)對稱軸方程，可以算出關(guān)于的一個方程，再將代入余弦函數(shù)的對稱中心方程，可求出另一個關(guān)于的一個方程，綜合兩個等式可以選出最終答案.【詳解】由滿足余弦函數(shù)對稱軸方程可知，再由滿足對稱中心方程可知，綜合可知的最小值為2，故選A.【點睛】正弦函數(shù)的對稱軸方程滿足，對稱中心滿足；余弦函數(shù)的對稱軸方程滿足，對稱中心滿足；解題時一定要注意這個條件，縮小范圍.8.如圖，在中，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 =，=.故答案為：D。9.設(shè)函數(shù)的最小正周期是，將其圖象向左平移后，得到的圖象如圖所示，則函數(shù)的

5、單增區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知圖象知，的最小正周期是所以解得.由得到，單增區(qū)間是或：因為所以將的圖象向左平移后，所對應(yīng)的解析式為.由圖象知，所以.由得到，單增區(qū)間是點晴：本題考查的是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知函數(shù)的圖象求解析式;(1);(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求.確定解析式后，再根據(jù)可得單增區(qū)間是.10.在ABC中，A=120，AB=3，AC=4，若=2，=+（R），且=，則的值為（）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知，用，表示，然后結(jié)合向量數(shù)量積的運算性質(zhì)即可求解【詳解】解：2，（R），A120，AB

6、3，AC4，6，（）（），則2，故選：C【點睛】本題主要考查了向量的基本定理及向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題11.已知函數(shù)，在的大致圖象如圖所示，則可?。?）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：從圖像可以看出為偶函數(shù)，結(jié)合形式可判斷出為偶函數(shù)，故得的值，最后通過得到的值詳解：為上的偶函數(shù)，而為上的偶函數(shù)，故為上的偶函數(shù)，所以因，故，因，故，所以，因，故，所以綜上，故選B 點睛：本題為圖像題，考察我們從圖形中撲捉信息的能力，一般地，我們需要從圖形得到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值點和函數(shù)在特殊點的函數(shù)值，然后利用所得性質(zhì)求解參數(shù)的大小或取值范圍12.的外接圓的圓心為，垂心為

7、，則的取值為（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B【解析】【分析】由于是外接圓圓心，是垂心，固有，；將等式左右兩邊同時乘以，化簡可以求出.【詳解】將等式左右兩邊同時乘以向量，可以得到，繼續(xù)化簡可得，又，故選B.【點睛】若是的外心，則有：若是的垂心，則有：.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，的夾角為，則_.【答案】【解析】【分析】展開后代入及即可算出答案.【詳解】由題意可知，代入模長及角度可以算出，故答案為.【點睛】求向量四則運算后的模長可利用平方后開根號的方式得到；1、；2、.14.已知向量，其中為常數(shù)，如果向量，分別與向量所成的角相等，則_.【

8、答案】2【解析】【分析】由向量，分別與向量所成的角相等可得，利用向量夾角的計算公式，列出等式，解出最后的結(jié)果.【詳解】向量，分別與向量所成的角相等，可得，即 ，代入，得，故答案為.【點睛】向量的夾角相等，可以利用點乘進(jìn)行求解；若向量，的夾角為，則.15.的最小值為_.【答案】8【解析】【分析】利用先把原式進(jìn)行化簡，通分后換元，通過自變量的范圍解出最后值域的范圍.【詳解】原式可化：，設(shè)則，原式可化為，故最小值為8，此時.【點睛】1、求解三角等式時，要熟練應(yīng)用三角恒等變換，尤其是“1”的代換；2、換元時要注意寫出未知數(shù)的取值范圍；3、利用基本不等式解題時要注意取等條件是否能夠取到.16.已知函數(shù)的

9、圖象上關(guān)于軸對稱的點恰有9對,則實數(shù)的取值范圍_.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)關(guān)于軸對稱的圖像，利用數(shù)形結(jié)合可得到結(jié)論.【詳解】若，則，設(shè)為關(guān)于軸對稱的圖像，畫出的圖像，要使圖像上有至少9個點關(guān)于軸對稱，即與有至少9個交點，則，且滿足，即。則，解得，故答案為：【點睛】解分段函數(shù)或兩個函數(shù)對稱性的題目時，可先將一個函數(shù)的對稱圖像求出，利用數(shù)形結(jié)合的方式得出參數(shù)的取值范圍；遇到題目中指對函數(shù)時，需要討論底數(shù)的范圍，分別畫出圖像進(jìn)行討論.三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分，寫出必要文字說明和演算步驟）17.（1）已知，求.（2）若，求的值.【答案】(1) (2)1【解析】【分析】（1）先利

10、用誘導(dǎo)公式把等式進(jìn)行化簡，代入進(jìn)行求解；（2）可以把分母看成，再利用弦化切進(jìn)行求解.【詳解】（1）用誘導(dǎo)公式化簡等式可得，代入可得.故答案為；（2）原式可化為：把代入得故答案為1.【點睛】遇到復(fù)雜的三角方程時，首先應(yīng)該考慮使用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再將數(shù)據(jù)代入，求出結(jié)果；切化弦和弦化切都是我們常用的運算方法，在計算時要靈活應(yīng)用三角函數(shù)的隱藏條件，如等.18.已知向量，滿足，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）-12；（2）12.【解析】【分析】(1)按照向量的點積公式得到，再由向量運算的分配律得到結(jié)果；（2）根據(jù)向量垂直得到，按照運算公式展開得到結(jié)果即可.【詳解】（1）由題意得

11、，（2），【點睛】這個題目考查了向量的點積運算，以及向量垂直的轉(zhuǎn)化；向量的兩個作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，求的最小值.【答案】(1),單調(diào)遞減區(qū)間為 (2) 【解析】【分析】（1）把看成一個整體，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，解出單調(diào)區(qū)間；（2）利用三角函數(shù)圖像變換的性質(zhì)，寫出變換后的三角函數(shù)解析式，再利用余弦函數(shù)的對稱軸

12、方程，得到答案.【詳解】（1）由，由余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間可知余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（2）對稱軸為又滿足對稱軸方程，的最小值為.【點睛】1、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期為，正切函數(shù)周期為；2、函數(shù)平移記住“左加右減、上加下減”，翻折變換中，軸擴大倍，系數(shù)變?yōu)椋S擴大倍，則系數(shù)變?yōu)椋?、求解函數(shù)的單調(diào)性、對稱軸及對稱中心時都要關(guān)注三角函數(shù)的整體性進(jìn)行求解.20.已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示.（1）求的解析式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）從圖像可以看出，此函數(shù)的最大和最小值分別為2和-2，則，算出周期可以解出的值，最后代入最高點，依據(jù)的取值范圍求出

13、結(jié)果.（2）通過的取值范圍，求出的取值范圍，從圖像中解出值域.【詳解】（1）由圖可知，又可得，代入最高點，可知，又，故.（2）由可得，故正弦函數(shù).【點睛】1、從圖像求解三角函數(shù)解析式時首先可以由最大值剪最小值除以2求出A的值；2、求解時一般先由圖像算出周期后得到；3、求解時要注意只能夠代入最高或最低值所在的點，否則其它點代入得到的值并不唯一.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點，.（1）求邊上的高；（2）設(shè)點是平分線所在直線上的一點，若，求點的坐標(biāo).【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）算出所在的直線，通過點到直線的距離公式，求出點到的距離，即為所求.（2）是平分線所在直線上的一點，則有，再由，算出點的坐標(biāo).【詳解】（1）由可算出，則到的距離，故邊上的高為（2）設(shè)，是平分線所在直線上的一點，則有，化簡得，又或【點睛】求解三角形的高時，可以利用點到直線的距離公式進(jìn)行化簡；當(dāng)遇到三角形角平分線的題目時，利用向量夾角相等是非常簡便與實用的.22.已知，且.（1）若，求的值；（2）設(shè)，若的最大值為，求實數(shù)的值.【答案】(1)0 (2