《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第5章§5.2可分空間

1、 5.2可分空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握可分空間的定義及可分空間與第二可數(shù)性公理空間的關(guān)系，與度量空間的關(guān)系；掌握稠密子集的定義及性質(zhì)定義5.2.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，D_X.如果D的閉包等于整個(gè)拓?fù)淇臻gX,即丄=X,則稱D是X的一個(gè)稠密子集.以下定理從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了討論拓?fù)淇臻g中的稠密子集的意義.定理5.2.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，D是X中的一個(gè)稠密子集又設(shè) f,g : X-Y都 是連續(xù)映射如果，則f=g(本定理說(shuō)明兩個(gè)映射只須在稠密子集上相等，就一定在整個(gè)空間相等)證明設(shè).如果f Mg,則存在xx使得f(x) m g ( x).令： =|f(x)-g(x)|,貝U 0 .令:=(f(x)- /2,

2、f(x)+ /2):=(g(x)- /2,g(x)+ /2)則二l 根據(jù)映射f和g的連續(xù)性可知 心)孑血) 都是x的鄰域，從而U也是x的一個(gè)鄰域由于子集 D是稠密的，所以 UQ DM二對(duì)于任意一個(gè)y UQ D,我們有，f (y) =g (y) I -：1 ,矛盾.我們也希望討論有著較少“點(diǎn)數(shù)”稠密子集的拓?fù)淇臻g，例如具有有限稠密點(diǎn)集的拓?fù)淇臻g.但這類拓?fù)淇臻g比較簡(jiǎn)單，大部分我們感興趣的拓?fù)淇臻g都不是這種情形，討論起來(lái)意思不大.例如一個(gè)度量空間如果有一個(gè)有限的稠密子集的話，那么這個(gè)空間一定就是一個(gè) 離散空間.相反，后繼的討論表明，許多重要的拓?fù)淇臻g都有可數(shù)稠密子集.定義522設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如

3、果 X中有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱X是一個(gè)可分空間.定理5.2.2每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都是可分空間.證明 設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基在 B中的每一個(gè)非空元素B中任意取定一個(gè)點(diǎn)二 B.令D= T |B B Bm 二這是一個(gè)可數(shù)集.由于X中的每一個(gè)非空開集都能夠表示為B中若干個(gè)元素（其中當(dāng)然至少會(huì)有一個(gè)不是空集） 之并，因此這個(gè)非空開集一定與 D有非空的交，所以可數(shù)集D是X的一 個(gè)稠密子集.包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間一定不是可分的.這是因?yàn)樵谶@樣一個(gè)拓?fù)淇臻g中，任何一個(gè)可數(shù)子集的閉包都等于它的自身而不可能等于整個(gè)空間.可分性不是一個(gè)可遺傳的性質(zhì)， 也就是說(shuō)一個(gè)

4、可分空間可能有子空間不是可分的.例子見后面的例5.2.1 然而由于滿足第二可數(shù)性公理是一個(gè)可遺傳的性質(zhì)，因此根據(jù)定理5.2.2我們立即得到：推論5.2.3滿足第二可數(shù)性公理的空間的每一個(gè)子空間都是可分空間.特別，n維歐氏空間一中的每一個(gè)子空間（包括它自己）都是可分空間.例5.2.1設(shè)（X, T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g是任何一個(gè)不屬于X的元素（例如我們可以取g =X）.令 X*=XU s和 T*=A U a |A T UJ .容易驗(yàn)證（請(qǐng)讀者自己證明）（X*, T*） 是一個(gè)拓?fù)淇臻g.我們依次給出以下三個(gè)論斷：（1）（ X*, T*）是可分空間.這是因?yàn)閍屬于（ X*, T* ）中的每一個(gè)非空開集，所以

5、 單點(diǎn)集a是（X* , T*）中的一個(gè)稠密子集.（2） （ X*, T *）滿足第二可數(shù)性公理當(dāng)且僅當(dāng)（X, T）滿足第二可數(shù)性公理.T*L T.事實(shí)上，B是（X, T）的基當(dāng)且僅當(dāng) B*=B U a|B E是（X*, T* ）的一個(gè)基，而 B 與申有相同的基數(shù)則是顯然的.（3）（ X,門是（X* , T* ）的一個(gè)子空間.因?yàn)楦鶕?jù)這三個(gè)論斷，我們可有以下兩個(gè)結(jié)論：（A）可分空間可以不滿足第二可數(shù)性公理因?yàn)槿绻我膺x取一個(gè)不滿足第二可數(shù)性公理的空間（X，T）,我們便能得到一個(gè)不滿足第二可數(shù)性公理的可分空間（X*，T *）（B） 可分空間的子空間可以不是可分空間因?yàn)槿绻x?。╔，T）為一個(gè)不是可分的空間，我們便能得到一個(gè)可分空間（X*, T * ）以（X, T）為它的一個(gè)子空間.（對(duì)X加上一個(gè)點(diǎn)后得到的空間就是這么神奇）定理524 每一個(gè)可分的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理.證明（略）根據(jù)定理 5.2.4 及推論 5.2.3 可知：推論5.2.5 可分度量空間