九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 21.1 一元二次方程教學(xué) 新人教版 (2)

1、第二十一章 一元二次方程,21.1一元二次方程,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的定義 等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 名師解讀:由一元二次方程的定義可知,判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件: (1)是整式方程,即分母中不含未知數(shù); (2)只含有一個(gè)未知數(shù); (3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,例1下面關(guān)于x的方程:ax2+bx+c=0;3(x-9)2-(x+1)2=1;x2+ +5=0;x2-2+5x3-6=0;3x2=3(x-2)2;12x-1

2、0=0.其中是一元二次方程的個(gè)數(shù)是() A.1B.2C.3D.4 解析:根據(jù)一元二次方程的定義對(duì)各方程進(jìn)行逐一判斷即可:ax2+bx+c=0,當(dāng)a=0時(shí)是一元一次方程,3(x-9)2-(x+1)2=1是一元二次方程,x2+ +5=0是分式方程,x2-2+5x3-6=0.其中是一元三次方程,3x2=3(x-2)2是一元一次方程,12x-10=0是一元一次方程. 答案:A,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程,應(yīng)根據(jù)一元二次方程的定義,需要的三個(gè)條件缺一不可.當(dāng)一元二次方程比較復(fù)雜不易直接觀察時(shí),要先進(jìn)行整理,要特別注意二次項(xiàng)系數(shù)是否有為零的可能,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)

3、二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0).其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng). 名師解讀:確定一元二次方程的相關(guān)項(xiàng)和系數(shù)時(shí),一元二次方程必須先化簡整理成一般形式,才能確定其二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).否則容易造成判斷錯(cuò)誤,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,例2把下列關(guān)于x的一元二次方程化為一般形式,并寫出二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). (1)3(x-5)=x(x-5); (2)x(x-2)=0; (3)x2-2x+1=2x(x-1). 分析:根據(jù)去括號(hào)、移項(xiàng)

4、、合并同類項(xiàng),可得一元二次方程的一般形式,在一般形式中ax2叫二次項(xiàng),bx叫一次項(xiàng).其中a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng),知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,解:(1)去括號(hào),得3x-15=x2-5x, 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得x2-8x+15=0, 1是二次項(xiàng)系數(shù),-8是一次項(xiàng)系數(shù),15是常數(shù)項(xiàng); (2)去括號(hào),得x2-2x=0, 1是二次項(xiàng)系數(shù),-2是一次項(xiàng)系數(shù),0是常數(shù)項(xiàng); (3)去括號(hào),得x2-2x+1=2x2-2x, 移項(xiàng),得x2-1=0, 1是二次項(xiàng)系數(shù),0是一次項(xiàng)系數(shù),-1是常數(shù)項(xiàng),知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,解答此類問題時(shí),先把一元二次方程化成一般形式

5、,再寫出各項(xiàng)系數(shù),整理過程中注意符號(hào)的變化,去括號(hào)時(shí)不要漏乘,移項(xiàng)時(shí)要注意符號(hào)的變化,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的根 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 名師解讀:凡是只含一個(gè)未知數(shù)的方程,其解都可以叫做方程的根,但是含有多個(gè)未知數(shù)的方程的解不能叫做方程的根,只能叫做方程的解,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,例3下列哪些數(shù)是方程x2+2x-8=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 分析:方程的根即方程的解,也就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,將x的值分別代入已知方程進(jìn)行

6、驗(yàn)證即可作出正確的判斷. 解:將x=-4代入方程x2+2x-8=0,左邊=(-4)2+(-4)2-8=0,即左邊=右邊,故x=-4是方程x2+2x-8=0的根. 把x=-3,-2,-1,0,1,3,4代入方程x2+2x-8=0,左邊都不等于0,故它們都不是方程x2+2x-8=0的根,把x=2代入方程x2+2x-8=0,左邊=右邊,故x=2是方程x2+2x-8=0的根. 所以-4,2是方程x2+2x-8=0的根,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的根與檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為一元一次方程的解的方法完全相同,故可以類比進(jìn)行,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,知識(shí)點(diǎn)四

7、根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程 運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題,要認(rèn)真讀題,運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)及生活經(jīng)驗(yàn)找出題目中的等量關(guān)系,并將等量關(guān)系數(shù)學(xué)符號(hào)化,從而建立一元二次方程模型. 名師解讀:建立一元二次方程模型的一般步驟可以總結(jié)為:審題,設(shè)未知數(shù),列方程,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,例4如圖所示,在一幅長80 cm,寬50 cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條同等寬度的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如果要使整個(gè)掛圖的面積是5 400 cm2,設(shè)金色紙邊的寬為x cm,求x滿足的方程. 分析:掛圖長可表示為(80+2x)cm,寬可表示為(50+2x)cm,根據(jù)其面積為5 400 cm2,即長寬=5 40

8、0,列方程進(jìn)行化簡即可,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,解:由題意,知掛圖長為(80+2x)cm,寬為(50+2x)cm, 所以(80+2x)(50+2x)=5 400, 即4x2+160 x+4 000+100 x=5 400. 所以4x2+260 x-1 400=0, 即x2+65x-350=0,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,知識(shí)點(diǎn)四,列一元二次方程時(shí),可類比列一元一次方程的方法,首先讀懂題目所給的數(shù)量關(guān)系,找出符合全部題意的等量關(guān)系,根據(jù)等量關(guān)系列出方程,并整理即可,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)一根據(jù)一元二次方程的定義求字母的值或取值范圍 例1若(m-1) -2

9、x+5=0是關(guān)于x的一元二次方程,則m的值是() A.1B.1C.-1D.不能確定 解析:由于題目給出的方程是關(guān)于x的一元二次方程,因此應(yīng)該滿足一元二次方程的定義所需要的條件,因?yàn)?2x和5都不是二次項(xiàng),所以(m-1) 是二次項(xiàng),因此,未知數(shù)x的指數(shù)為2,系數(shù)不能為0,即 解得m=-1. 答案:C,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解答這類問題,根據(jù)所給條件和一元二次方程的定義列出方程或方程組,通過解方程或方程組求得字母的值或取值范圍,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)二根據(jù)一元二次方程的一般形式求字母的值 例2一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式后為

10、2x2-3x-1=0,試求a,b,c的值. 分析:欲求a,b,c的值,可以先把方程的左端進(jìn)行整理化簡,變成一元二次方程的一般形式,然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得關(guān)于a,b,c的方程組,通過解方程組可得答案,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解:一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式為ax2-(2a-b)x-(b-a-c)=0, 由一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式后為2x2-3x-1=0,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解答這類與一元二次方程的一般形式相關(guān)的問題,首先要把方程整理成一般形式,然后根據(jù)“兩個(gè)多項(xiàng)式相等,其對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等

11、”列方程組進(jìn)行求解,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)三利用一元二次方程的解求字母的值 例3已知關(guān)于x的方程x2-kx+1=0的一個(gè)根是x=3,則實(shí)數(shù)k的值是(,解析:把x=3代入方程x2-kx+1=0,得9-3k+1=0,解得k= . 答案:D,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解答此類問題的關(guān)鍵是把已知的根代入原方程,得到一個(gè)關(guān)于未知字母的方程,通過解方程求得未知字母的值,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)四與一元二次方程的定義有關(guān)的綜合題 例4方程(m+1) +(m-3)x-1=0, (1)m取何值時(shí)是關(guān)于x的一元二次方程? (2)m取何值時(shí)是關(guān)于x的一元一

12、次方程? 分析:(1)要使關(guān)于x的方程是一元二次方程,由于(m-3)x和-1不是關(guān)于x的方程的二次項(xiàng),故(m+1) 必須是二次項(xiàng),則有m2+1=2且系數(shù)(m+1)0,求出m的值即可; (2)如果所給方程是關(guān)于x的一元一次方程,則方程中不能含有二次項(xiàng),可以考慮有兩種情況:一是(m+1) 中x的指數(shù)為“2”,而系數(shù)為0,不含有這一項(xiàng),此時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)(m-3)不為零即可;二是(m+1) 中x的指數(shù)為“1”,此時(shí)與(m-3)x合并同類項(xiàng)后系數(shù)不為0即可,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解:(1)若方程是一元二次方程,則m2+1=2, 解得m=1. 顯然m=-1時(shí)m+1=0,故m=1符合題意. 所以m=1時(shí)