大學物理：第2章 剛體習題課

1、剛體習題課,基本思路,兩大類,1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學問題,剛體的運動 = 平動 + 轉(zhuǎn)動,已知(t), 求, 用導數(shù),已知 或 , 求 (t) 用積分,2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學問題,關鍵是分析受力(力矩), 兩套方法,方法一: 用轉(zhuǎn)動定律解題,1)平動物體,用隔離體法,寫出牛頓方程,2)轉(zhuǎn)動物體,用隔離體法, 分析力矩, 寫出轉(zhuǎn)動方程,特別注意剛體質(zhì)心的動力學方程,3)由角量和線量關系,將平動和轉(zhuǎn)動聯(lián)系起來,方法二: 用運動定理或守恒定律解題,1)剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能問題(包括機械能守恒,2)角動量守恒問題,3.習題的基本類型,1)剛體的純轉(zhuǎn)動問題,2)剛體平動與轉(zhuǎn)動的綜合問題,3)質(zhì)點與剛體

2、的碰撞問題,解題步驟,1. 認剛體; 2. 定轉(zhuǎn)軸,找運動; 3. 分析力和力矩; 4. 定轉(zhuǎn)向,列方程。（質(zhì)心動力學方程和定軸轉(zhuǎn)動方程,注意,1. 明確轉(zhuǎn)動軸位置,2. 選定轉(zhuǎn)動的正方向, 注意力矩、角速度、角加速 度的正負,3. 同一方程式中所有量都必須相對同一轉(zhuǎn)軸,質(zhì)點力學與剛體力學物理量和物理規(guī)律對比,11. 僅保守內(nèi)力做功,例: 一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。 (1)求角加速度和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N； (2)求制動開始后t=25 s時飛輪的角速度； (3)設飛輪的半徑r=1m，求在t=25 s時邊緣上一點的速度和加速度,解:

3、(1)設初角速度為0,方向如圖 量值為0=21500/60=50 rad/s 在t= 50s時刻, = 0 , 代入方程 = 0 + t 得,從開始制動到靜止,飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為,2) t=25 s 時飛輪的角速度,的方向與 0相同,3) t=25 s 時飛輪邊緣上一點P的速度 可由,求得。所以,方向如圖,相應的切向和法向加速度分別為,的方向幾乎和 相同,例:圓盤(m,R)繞oo 軸的轉(zhuǎn)動慣量,解,問:1)圓盤繞y軸的轉(zhuǎn)動慣量,2)圓盤邊緣有一質(zhì)量為m1的小塊(很小)脫落了, 求對過中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量,例:球體(m,R)繞直徑軸的轉(zhuǎn)動慣量,解:沿垂直z軸方向?qū)⑶蝮w分割為許多薄圓盤，在

4、z處厚度為dz的一片薄圓盤對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為,幾何關系,球體繞直徑軸的轉(zhuǎn)動慣量為,解:1,解得: a1=0.82m/s2, a2=1.63m/s2,例: 組合輪由二個勻質(zhì)圓盤固結而成, 己知mA=6kg rA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m, 二盤邊緣繞有細繩,繩子 下端掛二個物體m1=m2=2kg, 二個物體離地面高度均為 h=2m, 求1)二物體的加速度a1,a2 ; 2)下降物體著地 時間, 3)繩中張力,2)h=a2t2/2 t=1.56s,3)T1=m1(g+a1)=21.2N, T2=m2(g-a2)=16.3N,A,B,例: 如圖: 二個勻質(zhì)圓盤(m1,R1,m2,R2

5、), 圓盤1上施一力 矩M使之由靜止開始轉(zhuǎn)動, 設輕質(zhì)皮帶不伸長不打滑, 求: 二盤的角加速度各為多少,解:圓盤1,圓盤2,皮帶不打滑,解得,J1=m1 R12/2 J2=m2 R22/2,例: 勻質(zhì)細桿(m1,L)一端掛在墻上,一端固定有一物體(m2) 求1)轉(zhuǎn)動慣量, 2)從圖中水平位置無初速落下時的 , 3) 落到鉛直位置時的角加速度, 角速度,解: 1,解得,以m1,m2,地球為系統(tǒng), E守恒,取 方向為正,2)由,3)豎直位置時,棒受重力矩M=0, 故此時=0,例: 轉(zhuǎn)臺繞過質(zhì)心的鉛直軸轉(zhuǎn)動,初角速度為0 ,轉(zhuǎn)臺對此軸的轉(zhuǎn)動慣量 J=510-5kgm2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在

6、轉(zhuǎn)臺上,砂粒落點距軸 r =0.1m,求:砂粒落在轉(zhuǎn)臺上使轉(zhuǎn)臺角速度減為0/2 所需時間,解: 取轉(zhuǎn)臺和落下的砂粒為系統(tǒng),守恒,t 時刻落下的砂粒質(zhì)量: m=0.001t,習題:長為l ,質(zhì)量m的豎直桿可繞水平軸o轉(zhuǎn)動,質(zhì)量為m0的小球垂直擊中桿的中部,并且碰撞后自由下落, 而桿在碰后的最大偏角為 求:1)小球擊中桿前的速率v0; 2)其他條件相同使軸上的橫向力為零時 打擊的位置,解: 1)小球和桿為系統(tǒng),角動量守恒,碰后桿和地球為系統(tǒng), 機械能守恒(取桿 在豎直位置質(zhì)心處為勢能零點,h=l(1-cos)/2,2)小球和桿為系統(tǒng)(動量不守恒),系統(tǒng)所受外力如圖 設小球擊中的位置為x,碰撞過程系

7、統(tǒng)對軸o的角動量守恒,將系統(tǒng)動量定理用于水平方向,由題意N橫0,習題: 水平圓盤(m1,R),以 0轉(zhuǎn)動;玩具汽車(m2,質(zhì)點)以勻速 v相對于盤沿一條半徑由中心向邊緣行駛; 求: 玩具汽車行至圓盤邊緣時, 圓盤轉(zhuǎn)了多少圈,解: 圓盤轉(zhuǎn)動慣量: J1=m1R2/2,車在r 處轉(zhuǎn)動慣量: J2=m2r2=m2(vt)2,系統(tǒng)角動量守恒,解,角動量守恒,地 + m1 + m2,1) 碰撞,2) 上升過程,系統(tǒng)機械能守恒,地 + m1 + m2,2) 上升過程,機械能守恒,1)(2)聯(lián)立得,例 質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤,半徑為R,盤底面與水平接觸面之間 摩擦系數(shù) . 一質(zhì)量為m的子彈以速度v射入盤 邊緣并嵌在盤邊,求 1)子彈嵌入盤邊后盤的角速度? 2) 經(jīng)多少時間停下來? 3)盤共轉(zhuǎn)個多少角度,解:1)子彈與圓盤相撞 守恒,dr,2)子彈與盤從 到停止轉(zhuǎn)動,運用角動量定理,3)運用功能原理,例 已知：完全相同的兩個半徑為R的均勻薄圓盤A、B，水平放置，質(zhì)量=m，其中心在同一根光滑豎直軸上，B盤與軸固定，A盤不固定。A 先轉(zhuǎn)動，后落到靜止的B上并粘在一起轉(zhuǎn)動，若 A將要落到B上時的角速度為w0，空氣對盤表面任一點附近單位面積上的阻力與該點的線速度成正比(-Kv)，比例系數(shù)為K，(K= 恒定)，軸處摩擦不計,w0,A,B,w,A,B,求：