正弦定理優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)(范俊杰

1、2016年全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課教學(xué)設(shè)計(jì)弦定理”單位:河南大學(xué)附屬中授課人:范俊杰2016年10月正弦定理第一課時(shí)、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課正弦定理第一課時(shí)，出自新人教 A 版必修 5 第一章第一節(jié)正弦定理和余弦定理 。課程安排在“三角、向量”知識(shí)之后，是三角函數(shù)知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，更是初中“三角形 邊角關(guān)系”和“解直角三角形”內(nèi)容的直接延續(xù)和拓展，同時(shí)也是處理可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算的其他 數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具。本節(jié)課的內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一，從實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入，在解直角三角形的邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上， 觸碰解斜三角形的思維困惑點(diǎn)，自然生成疑問(wèn)，激發(fā)學(xué)生探究欲望，從熟悉的解直角三角形順

2、利過(guò) 渡到即將要面對(duì)的解任意三角形，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的螺旋式上升，符合學(xué)生的認(rèn)知思維；第二，帶著疑問(wèn)， 在探究得到直角三角形邊角量化關(guān)系的基礎(chǔ)上，以此作為啟發(fā)點(diǎn)，首先對(duì)特殊的斜三角形邊角量化 關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。其次是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明，得到正弦定理，以解直角三角形為知識(shí)基礎(chǔ)，驗(yàn)證和證 明，教學(xué)過(guò)程中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想；第三，解決引例，首尾呼應(yīng)，并學(xué)以致用。正弦定理其實(shí)是把“大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角”這一幾何關(guān)系的解析化。從三角學(xué)的歷史發(fā)展 來(lái)看，三角函數(shù)其實(shí)就是有關(guān)三角形、圓的性質(zhì)的解析表達(dá)。這樣在悄無(wú)聲息中，滲透了學(xué)科發(fā)展 中研究觀點(diǎn)和研究方法的嬗變。這其實(shí)是一個(gè)推陳出新的過(guò)程。通過(guò)這三個(gè)層次：探

3、索發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)證明實(shí)際應(yīng)用。從實(shí)際中來(lái)，到實(shí)際中去。課堂上， 引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)、直觀感知、大膽猜想、實(shí)驗(yàn)探究、理論驗(yàn)證以及實(shí)際應(yīng)用。、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于本節(jié)課的 課程目標(biāo)要求是： “在本章中，學(xué)生將在已有知識(shí)的基礎(chǔ) 上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)和角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認(rèn) 識(shí)運(yùn)用它們可以解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。根據(jù)課程目標(biāo)，依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生情況，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：1、通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、猜想、證明，從特殊到一般得到正弦定理；正弦定理第一課時(shí)2、證明正弦定理，了解正弦定理的一些推導(dǎo)方法；3、初步熟知正弦定理的兩個(gè)重要應(yīng)用。另外，學(xué)生

4、通過(guò)親身經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、證明，體會(huì)“陌生的知識(shí)借助熟悉的知識(shí)處理” 轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；通過(guò)自主探究、合作交流，親身體驗(yàn)正弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱難的思維品質(zhì)和個(gè)人素養(yǎng)；培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法。三、學(xué)生學(xué)情分析1 、學(xué)生具有的基礎(chǔ)本節(jié)課內(nèi)容安排在高二上學(xué)期講授，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)平面幾何的相關(guān)知識(shí)，并能夠較為熟 練地解直角三角形，必修四中也剛剛學(xué)過(guò)三角函數(shù)，在本章節(jié)的理解上不會(huì)有太大問(wèn)題。2 、即將面臨的問(wèn)題學(xué)生雖然有一定的觀察分析和解決問(wèn)題的能力，但是在前后知識(shí)的串聯(lián)上會(huì)有一定的難

5、度，學(xué) 生對(duì)解直角三角形熟悉，但是面對(duì)一般的解三角形問(wèn)題，解決起來(lái)有一定難度。因此，我確定本節(jié) 課的難點(diǎn)是借助熟知的解直角三角形知識(shí)生成正弦定理的過(guò)程。3 、難點(diǎn)突破技巧在教學(xué)過(guò)程中，我特別注重提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，盡量多得設(shè)置思維引導(dǎo)點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生一起 分析并解決問(wèn)題；在問(wèn)題的處理上，更加注重前后知識(shí)的串聯(lián)，用已有知識(shí)解決新問(wèn)題，并得到新 知識(shí)；學(xué)習(xí)過(guò)程的推進(jìn)也是逐步實(shí)現(xiàn)，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)。四、教學(xué)策略分析本節(jié)課采用問(wèn)題探究式教學(xué)模式，循序漸進(jìn)，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生 探究、合作、交流、展示，盡可能多的質(zhì)疑、探究、討論，多參與課堂知識(shí)的生成和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程， 形成思維。1正弦

6、定理第一課時(shí)3五、教學(xué)過(guò)程學(xué)習(xí)目標(biāo)展示1、通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、猜想、證明，從特殊到一般得到正弦定理2、證明正弦定理，了解正弦定理的一些推導(dǎo)方法3、初步熟知正弦定理的兩個(gè)重要應(yīng)用學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)評(píng)價(jià)任務(wù)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖實(shí)例引入激發(fā)動(dòng)機(jī)獲取學(xué)生解直角三角形的知識(shí)的掌握情況，評(píng)價(jià)學(xué)生設(shè)計(jì)方案的合理性。引例1 :如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，測(cè)繪人員只有皮尺和測(cè)角儀兩種工具，沒(méi)法跨河測(cè)量，利用現(xiàn)有工具，你能利用所學(xué)的解三角形知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量A、B兩點(diǎn)距離的方案嗎?（學(xué)生發(fā)散思維，老師提問(wèn)發(fā)言）目標(biāo)1觀察學(xué)生的解決問(wèn)題的完成過(guò)程，并讓學(xué)生分享展示結(jié)果，評(píng)價(jià)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸能力，對(duì)后續(xù)證明的影響。（老師追

7、問(wèn)）引例2 :如果測(cè)量人員任意選取點(diǎn)，測(cè)出BC的距離是54m，=45 ZC =60.問(wèn)根據(jù)這些數(shù)據(jù)能解決測(cè)量者的問(wèn)題嗎？C-A引例1：引導(dǎo)學(xué)生從熟知的直角三角形出發(fā)，解決實(shí)際問(wèn)題，為后續(xù)處理一般三角形埋下伏筆。引例2 :對(duì)于般三角形，學(xué)生比較熟悉轉(zhuǎn)化為直角三角形解決，轉(zhuǎn)化化歸的思想為后續(xù)正弦定理證明埋下伏筆。正弦定理第一課時(shí)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)評(píng)價(jià)任務(wù)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖7實(shí)例引入激發(fā)動(dòng)機(jī)目標(biāo)1實(shí)驗(yàn)探究目標(biāo)1猜想證明目標(biāo)2評(píng)價(jià)學(xué)生前后知識(shí)串聯(lián)的熟練程度和對(duì)新問(wèn)題的探究欲望。評(píng)價(jià)學(xué)生利用三角函數(shù)定義串聯(lián)三邊和三個(gè)內(nèi)角數(shù)量關(guān)系是否準(zhǔn)確合理。引例2數(shù)學(xué)模型：在 MBC中，BC = 54，B =45 ,ZC

8、=60 .求邊長(zhǎng) AB .問(wèn)題：再看這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，已知三角形的部分邊長(zhǎng)和內(nèi)角，求其他邊長(zhǎng)和內(nèi)角。這個(gè)問(wèn)題其實(shí)是解斜三角形的邊角關(guān)系問(wèn)題。但是沒(méi)有學(xué)過(guò)，我們知道在任意三角形中有大邊對(duì)大角， 小邊對(duì)小角的關(guān)系，那么我們是否能夠得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?探究一：直角三角形邊角數(shù)量關(guān)系(引導(dǎo)學(xué)生利用正弦函數(shù)定義，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生把兩個(gè)正弦等式SinA=a;sinB=b糅合在一起。)CC探究二：斜三角形邊角數(shù)量關(guān)系實(shí)驗(yàn)1 :如圖，在等邊 也ABC中,兀Na = nb =Nc =，對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)3a :b : C =1:1:1，驗(yàn)證=是否成立?sin A sin B sin C培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維。

9、在新問(wèn)題產(chǎn)生時(shí)，學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)是迷茫的,有疑惑的，這時(shí)也是產(chǎn)生知識(shí)缺陷,急需新知的時(shí)候,恰如其分的勾起了學(xué)生的求知欲。從已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，不讓學(xué)生在思維上出現(xiàn)跳躍，逐層遞進(jìn)，通過(guò)已經(jīng)熟悉的直角三角形的邊角關(guān)系的探究作為切入點(diǎn)，再對(duì)特殊的斜三角形進(jìn)行驗(yàn)證,過(guò)渡到一般的斜三實(shí)驗(yàn)探究猜想證明評(píng)價(jià)學(xué)生實(shí)驗(yàn)的完成情況，和目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的認(rèn)可。評(píng)價(jià)展示過(guò)程，觀察學(xué)生的感知情況，把握信息的情況。實(shí)驗(yàn)2 :如圖，在等腰 比ABC中,NA =30：NC =120 :對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng) a:b:c = 1:1:J3，驗(yàn)證是否成立?sin A sin B sin C實(shí)驗(yàn)3 :借助多媒體

10、動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)隨著三角形的任意變換,的值相等。sin A sin B sin C猜想：通過(guò)這樣的一些實(shí)驗(yàn)，我們可以猜想對(duì)于任意的斜三角型也存在這樣的邊角數(shù)量關(guān)系:sin A sin B sin C問(wèn)題：但是并沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，那么如何證明這個(gè)結(jié)論呢?角形邊角關(guān)系的探究。讓學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程，逐層遞進(jìn),體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理兩個(gè)側(cè)面。多媒體技術(shù)的引入演示，讓學(xué)生更加直觀感受到變換，加深理解。大膽猜想，激發(fā)學(xué)生探索未知世界的勇氣。經(jīng)歷猜想到證明的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)新知識(shí)的獲得僅僅靠猜想正弦定理第一課時(shí)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)15實(shí)驗(yàn)探究猜想證明評(píng)價(jià)學(xué)生證證明方法1作高法和面

11、積法和演繹推理是不夠目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)明過(guò)程的展示，證明方法和解決思路的能力。評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)生成概念的理解的準(zhǔn)確程度。評(píng)價(jià)學(xué)生證明正弦定理的方法的掌握程度。引導(dǎo)學(xué)生利用熟悉的解直角三角形知識(shí)對(duì)銳角三角形邊角數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明，學(xué)生展示證明過(guò)程，并用不同的方法進(jìn)行說(shuō)明。概念生成:展示正弦定理的定義：我們把三角形邊角關(guān)系的這條性質(zhì)稱(chēng)為正弦定理（lawof sines），即在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即a b c 。sinAsi nBsinC證明方法2外接圓法引導(dǎo)學(xué)生思考外接圓中直角的生成，并進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生課下對(duì)其他證明方法的搜集和整理。的，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)進(jìn)行證明才可以。

12、在這個(gè)過(guò)程中，也進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升。讓學(xué)生加深對(duì)正弦定理概念的準(zhǔn)確理解多種方法的證明，拓寬學(xué)生思維,進(jìn)一步加深對(duì)正弦定理的理解。首尾呼應(yīng)目標(biāo)1解決引例目標(biāo)3學(xué)以致用目標(biāo)1歸類(lèi)總結(jié)目標(biāo)3評(píng)價(jià)任務(wù)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖帶領(lǐng)學(xué)生利用正弦定理解三角形，演讓學(xué)生了解三示解題過(guò)程，解決引例中的疑問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)角形的概念，形成生對(duì)前后方法進(jìn)行對(duì)比，體會(huì)正弦定理的知識(shí)的完備性?；卦u(píng)價(jià)學(xué)生正應(yīng)用。過(guò)頭來(lái)，解決引例弦定理解決引例借助解決過(guò)程給出定義：一般地，把中的問(wèn)題，讓學(xué)生的情況，和前后不三角形的三個(gè)角 A、B、C和它們的對(duì)體會(huì)學(xué)習(xí)正弦定理同解決方法對(duì)比邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角新知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)

13、的優(yōu)越性。形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解題的方便，激發(fā)學(xué)三角形。生不斷探索新知識(shí)的欲望。關(guān)注學(xué)生能夠使引導(dǎo)學(xué)生利用正弦定理解決例題并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)展示，教師展示規(guī)范的解題過(guò)程。通過(guò)例題歸納言和符號(hào)表述解例1 :在心ABC中，已知A = 30出正弦定理在解三題過(guò)程，能夠順利A=30 B =45，a =2,求C、b、c.，o角形中的兩個(gè)主要使用正弦定理，體引導(dǎo)學(xué)生歸納正弦的第一個(gè)主要應(yīng)應(yīng)用，形成用正弦現(xiàn)正弦定理的工用定理解三角形的思具性。路，解決問(wèn)題，提評(píng)價(jià)學(xué)生利例2 :在Mbc中，已知升學(xué)習(xí)熱情，體驗(yàn)用正弦定理解決a =22 b=2J3 A = 45,解三角形。學(xué)習(xí)樂(lè)趣。問(wèn)題的掌握情況。引導(dǎo)

14、學(xué)生歸納正弦的第二個(gè)主要應(yīng)用。目標(biāo)1目標(biāo)3了解學(xué)生對(duì)正弦定理解三角形的理解深度，并引導(dǎo)后續(xù)的學(xué)習(xí)?？偨Y(jié)升華提升素養(yǎng)布置作業(yè)課下探究問(wèn)題：解三角形還有其他情況嗎?如：已知兩邊和夾角。串聯(lián)前后知識(shí)，形成知識(shí)串,激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)評(píng)價(jià)學(xué)生的分享內(nèi)容，把握學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解程度。關(guān)注學(xué)生作業(yè)的完成情況，進(jìn)一步跟進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考。提問(wèn)學(xué)生，總結(jié)分享收獲：容（一=一耳啤的思思方送； Kin豹nJ sm C2.正3足理的主英應(yīng)用； ffiSl三角用的兩番歴一邊.鷲三毎形： 出）0三兩邊和的対甫,醉三角托:3,轉(zhuǎn)化劃日思輒分類(lèi);寸論的思想、方程思思礬.通過(guò)學(xué)生的總結(jié)，突出本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)和技能，提煉學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透的數(shù)學(xué)思想方法，感受學(xué)習(xí)成功的喜悅。1、正弦定理的其他證明方法;2、通過(guò)以下