正弦定理優(yōu)秀教學設(shè)計(范俊杰

1、2016年全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課教學設(shè)計弦定理”單位:河南大學附屬中授課人:范俊杰2016年10月正弦定理第一課時、教學內(nèi)容解析本節(jié)課正弦定理第一課時，出自新人教 A 版必修 5 第一章第一節(jié)正弦定理和余弦定理 。課程安排在“三角、向量”知識之后，是三角函數(shù)知識在三角形中的具體運用，更是初中“三角形 邊角關(guān)系”和“解直角三角形”內(nèi)容的直接延續(xù)和拓展，同時也是處理可轉(zhuǎn)化為三角形計算的其他 數(shù)學問題及生產(chǎn)生活實際問題的重要工具。本節(jié)課的內(nèi)容共分為三個層次：第一，從實際問題導入，在解直角三角形的邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上， 觸碰解斜三角形的思維困惑點，自然生成疑問，激發(fā)學生探究欲望，從熟悉的解直角三角形順

2、利過 渡到即將要面對的解任意三角形，實現(xiàn)知識的螺旋式上升，符合學生的認知思維；第二，帶著疑問， 在探究得到直角三角形邊角量化關(guān)系的基礎(chǔ)上，以此作為啟發(fā)點，首先對特殊的斜三角形邊角量化 關(guān)實驗驗證。其次是嚴密的數(shù)學推導證明，得到正弦定理，以解直角三角形為知識基礎(chǔ)，驗證和證 明，教學過程中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想；第三，解決引例，首尾呼應(yīng)，并學以致用。正弦定理其實是把“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關(guān)系的解析化。從三角學的歷史發(fā)展 來看，三角函數(shù)其實就是有關(guān)三角形、圓的性質(zhì)的解析表達。這樣在悄無聲息中，滲透了學科發(fā)展 中研究觀點和研究方法的嬗變。這其實是一個推陳出新的過程。通過這三個層次：探

3、索發(fā)現(xiàn)推導證明實際應(yīng)用。從實際中來，到實際中去。課堂上， 引導學生充分體驗、直觀感知、大膽猜想、實驗探究、理論驗證以及實際應(yīng)用。、教學目標設(shè)置數(shù)學課程標準中關(guān)于本節(jié)課的 課程目標要求是： “在本章中，學生將在已有知識的基礎(chǔ) 上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長和角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認 識運用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。根據(jù)課程目標，依據(jù)教材內(nèi)容和學生情況，確定本節(jié)課的學習目標為：1、通過觀察、實驗、驗證、猜想、證明，從特殊到一般得到正弦定理；正弦定理第一課時2、證明正弦定理，了解正弦定理的一些推導方法；3、初步熟知正弦定理的兩個重要應(yīng)用。另外，學生

4、通過親身經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)、驗證、證明，體會“陌生的知識借助熟悉的知識處理” 轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力；通過自主探究、合作交流，親身體驗正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱難的思維品質(zhì)和個人素養(yǎng)；培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法。三、學生學情分析1 、學生具有的基礎(chǔ)本節(jié)課內(nèi)容安排在高二上學期講授，學生在初中已經(jīng)學過平面幾何的相關(guān)知識，并能夠較為熟 練地解直角三角形，必修四中也剛剛學過三角函數(shù)，在本章節(jié)的理解上不會有太大問題。2 、即將面臨的問題學生雖然有一定的觀察分析和解決問題的能力，但是在前后知識的串聯(lián)上會有一定的難

5、度，學 生對解直角三角形熟悉，但是面對一般的解三角形問題，解決起來有一定難度。因此，我確定本節(jié) 課的難點是借助熟知的解直角三角形知識生成正弦定理的過程。3 、難點突破技巧在教學過程中，我特別注重提升學生的學習積極性，盡量多得設(shè)置思維引導點，帶領(lǐng)學生一起 分析并解決問題；在問題的處理上，更加注重前后知識的串聯(lián)，用已有知識解決新問題，并得到新 知識；學習過程的推進也是逐步實現(xiàn)，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進。四、教學策略分析本節(jié)課采用問題探究式教學模式，循序漸進，用問題驅(qū)動課堂教學，在老師的引導下，讓學生 探究、合作、交流、展示，盡可能多的質(zhì)疑、探究、討論，多參與課堂知識的生成和發(fā)現(xiàn)的過程， 形成思維。1正弦

6、定理第一課時3五、教學過程學習目標展示1、通過觀察、實驗、驗證、猜想、證明，從特殊到一般得到正弦定理2、證明正弦定理，了解正弦定理的一些推導方法3、初步熟知正弦定理的兩個重要應(yīng)用學習環(huán)節(jié)學習目標評價任務(wù)學習活動設(shè)計意圖實例引入激發(fā)動機獲取學生解直角三角形的知識的掌握情況，評價學生設(shè)計方案的合理性。引例1 :如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，測繪人員只有皮尺和測角儀兩種工具，沒法跨河測量，利用現(xiàn)有工具，你能利用所學的解三角形知識設(shè)計一個測量A、B兩點距離的方案嗎?（學生發(fā)散思維，老師提問發(fā)言）目標1觀察學生的解決問題的完成過程，并讓學生分享展示結(jié)果，評價學生的轉(zhuǎn)化化歸能力，對后續(xù)證明的影響。（老師追

7、問）引例2 :如果測量人員任意選取點，測出BC的距離是54m，=45 ZC =60.問根據(jù)這些數(shù)據(jù)能解決測量者的問題嗎？C-A引例1：引導學生從熟知的直角三角形出發(fā)，解決實際問題，為后續(xù)處理一般三角形埋下伏筆。引例2 :對于般三角形，學生比較熟悉轉(zhuǎn)化為直角三角形解決，轉(zhuǎn)化化歸的思想為后續(xù)正弦定理證明埋下伏筆。正弦定理第一課時學習環(huán)節(jié)學習目標評價任務(wù)學習活動設(shè)計意圖7實例引入激發(fā)動機目標1實驗探究目標1猜想證明目標2評價學生前后知識串聯(lián)的熟練程度和對新問題的探究欲望。評價學生利用三角函數(shù)定義串聯(lián)三邊和三個內(nèi)角數(shù)量關(guān)系是否準確合理。引例2數(shù)學模型：在 MBC中，BC = 54，B =45 ,ZC

8、=60 .求邊長 AB .問題：再看這個數(shù)學問題，已知三角形的部分邊長和內(nèi)角，求其他邊長和內(nèi)角。這個問題其實是解斜三角形的邊角關(guān)系問題。但是沒有學過，我們知道在任意三角形中有大邊對大角， 小邊對小角的關(guān)系，那么我們是否能夠得到這個邊、角關(guān)系準確量化的表示呢?探究一：直角三角形邊角數(shù)量關(guān)系(引導學生利用正弦函數(shù)定義，關(guān)鍵是引導學生把兩個正弦等式SinA=a;sinB=b糅合在一起。)CC探究二：斜三角形邊角數(shù)量關(guān)系實驗1 :如圖，在等邊 也ABC中,兀Na = nb =Nc =，對應(yīng)邊的邊長3a :b : C =1:1:1，驗證=是否成立?sin A sin B sin C培養(yǎng)學生數(shù)學建模思維。

9、在新問題產(chǎn)生時，學生根據(jù)已有的知識是迷茫的,有疑惑的，這時也是產(chǎn)生知識缺陷,急需新知的時候,恰如其分的勾起了學生的求知欲。從已有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，不讓學生在思維上出現(xiàn)跳躍，逐層遞進，通過已經(jīng)熟悉的直角三角形的邊角關(guān)系的探究作為切入點，再對特殊的斜三角形進行驗證,過渡到一般的斜三實驗探究猜想證明評價學生實驗的完成情況，和目標目標目標目標實驗結(jié)果的準確性，對實驗結(jié)果的認可。評價展示過程，觀察學生的感知情況，把握信息的情況。實驗2 :如圖，在等腰 比ABC中,NA =30：NC =120 :對應(yīng)邊的邊長 a:b:c = 1:1:J3，驗證是否成立?sin A sin B sin C實驗3 :借助多媒體

10、動態(tài)演示，引導發(fā)現(xiàn)隨著三角形的任意變換,的值相等。sin A sin B sin C猜想：通過這樣的一些實驗，我們可以猜想對于任意的斜三角型也存在這樣的邊角數(shù)量關(guān)系:sin A sin B sin C問題：但是并沒有經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導，那么如何證明這個結(jié)論呢?角形邊角關(guān)系的探究。讓學生親自體驗數(shù)學實驗探究的過程，逐層遞進,體會數(shù)學實驗的歸納和演繹推理兩個側(cè)面。多媒體技術(shù)的引入演示，讓學生更加直觀感受到變換，加深理解。大膽猜想，激發(fā)學生探索未知世界的勇氣。經(jīng)歷猜想到證明的過程，讓學生體會到數(shù)學新知識的獲得僅僅靠猜想正弦定理第一課時學習環(huán)節(jié)學習目標15實驗探究猜想證明評價學生證證明方法1作高法和面

11、積法和演繹推理是不夠目標目標目標目標目標明過程的展示，證明方法和解決思路的能力。評價學生對生成概念的理解的準確程度。評價學生證明正弦定理的方法的掌握程度。引導學生利用熟悉的解直角三角形知識對銳角三角形邊角數(shù)量關(guān)系進行證明，學生展示證明過程，并用不同的方法進行說明。概念生成:展示正弦定理的定義：我們把三角形邊角關(guān)系的這條性質(zhì)稱為正弦定理（lawof sines），即在任意一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a b c 。sinAsi nBsinC證明方法2外接圓法引導學生思考外接圓中直角的生成，并進一步鼓勵學生課下對其他證明方法的搜集和整理。的，必須經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導進行證明才可以。

12、在這個過程中，也進一步促進學生數(shù)學思維品質(zhì)的提升。讓學生加深對正弦定理概念的準確理解多種方法的證明，拓寬學生思維,進一步加深對正弦定理的理解。首尾呼應(yīng)目標1解決引例目標3學以致用目標1歸類總結(jié)目標3評價任務(wù)學習活動設(shè)計意圖帶領(lǐng)學生利用正弦定理解三角形，演讓學生了解三示解題過程，解決引例中的疑問，引導學角形的概念，形成生對前后方法進行對比，體會正弦定理的知識的完備性。回評價學生正應(yīng)用。過頭來，解決引例弦定理解決引例借助解決過程給出定義：一般地，把中的問題，讓學生的情況，和前后不三角形的三個角 A、B、C和它們的對體會學習正弦定理同解決方法對比邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角新知識解決實際問

13、的優(yōu)越性。形的幾個元素求其他元素的過程叫做解題的方便，激發(fā)學三角形。生不斷探索新知識的欲望。關(guān)注學生能夠使引導學生利用正弦定理解決例題并用規(guī)范的數(shù)學語展示，教師展示規(guī)范的解題過程。通過例題歸納言和符號表述解例1 :在心ABC中，已知A = 30出正弦定理在解三題過程，能夠順利A=30 B =45，a =2,求C、b、c.，o角形中的兩個主要使用正弦定理，體引導學生歸納正弦的第一個主要應(yīng)應(yīng)用，形成用正弦現(xiàn)正弦定理的工用定理解三角形的思具性。路，解決問題，提評價學生利例2 :在Mbc中，已知升學習熱情，體驗用正弦定理解決a =22 b=2J3 A = 45,解三角形。學習樂趣。問題的掌握情況。引導

14、學生歸納正弦的第二個主要應(yīng)用。目標1目標3了解學生對正弦定理解三角形的理解深度，并引導后續(xù)的學習。總結(jié)升華提升素養(yǎng)布置作業(yè)課下探究問題：解三角形還有其他情況嗎?如：已知兩邊和夾角。串聯(lián)前后知識，形成知識串,激發(fā)學生后續(xù)學習的興趣。目標目標目標目標目標目標評價學生的分享內(nèi)容，把握學生對所學知識的理解程度。關(guān)注學生作業(yè)的完成情況，進一步跟進學生的學習和思考。提問學生，總結(jié)分享收獲：容（一=一耳啤的思思方送； Kin豹nJ sm C2.正3足理的主英應(yīng)用； ffiSl三角用的兩番歴一邊.鷲三毎形： 出）0三兩邊和的対甫,醉三角托:3,轉(zhuǎn)化劃日思輒分類;寸論的思想、方程思思礬.通過學生的總結(jié)，突出本節(jié)課所學的知識和技能，提煉學習過程中滲透的數(shù)學思想方法，感受學習成功的喜悅。1、正弦定理的其他證明方法;2、通過以下