初高中數(shù)學(xué)銜接課程5一元二次不等式與分式不等式講義

1、實用文檔 文案大全 初高中數(shù)學(xué)銜接課程第五講 方程與不等式 5.1 二元二次方程組解法 方程 22260xxyyxy?是一個含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程。其中2x,2xy,2y叫做這個方程的二次項,x,y叫做一次項,6叫做常數(shù)項。 我們看下面的兩個方程組：224310,210;xyxyxy? 222220,560.xyxxyy? 第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組。 下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法。

2、一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解。 例1 解方程組22440,220.xyxy? 解：由,得x2y2， 把代入,整理,得8y28y0，即y(y1)0。解得y10，y21。 把y10代入,得x12；把y21代入,得x20。 所以原方程組的解是112,0xy?，；220,1.xy? 說明：在解類似于本例的二元二次方程組時，通常采用本例所介紹的代入消元法來求解。 例2解方程組7,12.xyxy? 解：由，得7.xy? 把代入，整理，得27120yy? 解這個方程，得123,4yy?。 把13y?代入，得14x?；把24y?代入，得23x?。 所以原方程的解是11

3、4,3xy?，；223,4.xy? 【例3】解方程組11 (1)28 (2)xyxy? 分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點，可以把x、y看成是方程211280zz?的兩根，則更容易求解。 說明：(1) 對于這種對稱性的方程組xyaxyb?，利用一元二次方程的根與系數(shù)實用文檔 文案大全 的關(guān)系構(gòu)造方程時，未知數(shù)要換成異于x、y的字母，如z。 (2) 對稱形方程組的解也應(yīng)是對稱的，即有解47xy?，則必有解74xy?。 【例4】解方程組22225() (1)43 (2)xyxyxxyy? 分析：注意到方程225()xyxy?，可分解成()(5)0xyxy?，即得0xy?或50

4、xy?，則可得到兩個二元二次方程組，且每個方程組中均有一個方程為二元一次方程。 【例5】解方程組2212 (1)4 (2)xxyxyy? 分析：本題的特點是方程組中的兩個方程均缺一次項，我們可以消去常數(shù)項，可得到一個二次三項式的方程 【例6】解方程組3 (1)38 (2)xyxxyy? 分析：注意到兩個方程都有xy項，所以可用加減法消之，得到一個二元一次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組 例7解下列方程組: （1）225,625;yxxy? （2）3,10;xyxy? （2）（3 ）221,543;xyyx? （4）2222,8.yxxy? 實用文檔 文案大全 5.

5、2、一元二次不等式及其解法 初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法。高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識。本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識。 1形如20(0) (0)axbxca?或其中的不等式稱為關(guān)于x的一元二次不等式。 2一元二次不等式20(0)axbxc?或與二次函數(shù)2 (0)yaxbxca?及一元二次方程20axbxc?的關(guān)系(簡稱：三個二次)。以二次函數(shù)26yxx?為例： (1) 作出圖象； (2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與x軸的交點是(3,0),(2,0)?，即當(dāng)32x?或時，0y?。就是說對應(yīng)的一元二次方程260xx?的兩實根是32

6、x?或。 (3) 當(dāng)32xx?或時，0y?，對應(yīng)圖像位于x軸的上方。就是說260xx?的解是32xx?或。 當(dāng)32x?時，0y?，對應(yīng)圖像位于x軸的下方。就是說260xx?的解是32x?。 一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下： (1) 將二次項系數(shù)先化為正數(shù)； (2) 觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象。 如果圖象與x軸有兩個交點12(,0),(,0)xx，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個 不相等的實數(shù)根12,xx(也可由根的判別式0?來判斷)。 那么(圖1) ： 2 120 (0) axbxcaxxxx?或 2120 (0) axbxcaxxx? 實用文檔 文案大全 如

7、果圖象與x 軸只有一個交點(,0)2ba?，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個 相的實數(shù)根22xbxxa?(也可由根的判別式0?來判斷)。 那么(圖2) ： 20 (0) 2baxbxcaxa? 20 (0) axbxca?無解 如果圖象與x軸沒有交點，此時對應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)根 (也可由 根的判別式0?來判斷) 。 那么(圖3)： 20 (0) axbxcax?取一切實數(shù) 20 (0) axbxca?無解 如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理： (1) 化二次項系數(shù)為正； (2) 若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根12,xx那么0?” 型的解為12xxxx?

8、或(俗稱兩根之外)；“0?”型的解為12xxx?(俗稱兩根之間)； 【例1】解不等式260xx?。 【例2】解下列不等式： (1) (2)(3)6xx? (2) （x-1）(x+2)?(x-2)(2x+1) 分析：要先將不等式化為20(0)axbxc?或的形式，通常使二次項系數(shù)為正數(shù)。 【例3】解下列不等式： (1) 2280xx? (2) 2440xx? (3) 220xx? 實用文檔 文案大全 【例4】已知對于任意實數(shù)x，22kxxk?恒為正數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。 例5、函數(shù)yx22ax1(a為常數(shù))在2x1上的最小值為n，試將n用a表示出來。 分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與

9、拋物線的對稱軸的位置有關(guān)，于是需要對對稱軸的位置進(jìn)行分類討論。 解：y(xa)21a2， 拋物線yx22ax1的對稱軸方程是xa。 (1)若2a1，由圖2.3-3可知,當(dāng)xa時，該函數(shù)取最小值n1a2； (2)若a-2時, 由圖2.3-3可知, 當(dāng)x-2時，該函數(shù)取最小值n4a+5； (3)若a1時, 由圖2.3-3可知, 當(dāng)x1時，該函數(shù)取最小值n-2a+2。 綜上,函數(shù)的最小值為245,2,1,21,22,1.aanaaaa? 5.3分式不等式的解法 1，簡單分式不等式 【例1】解下列不等式： (1) 2301xx? （2) 13 2x? 圖2.33yO2 1a xxyO21a xyO21

10、a 實用文檔 文案大全 說明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)?。 (2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號： 2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx?或或或 2、可化為一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程為一元二次方程 【例2】解方程 21421224xxxx?。 分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程。 說明： (1) 去分母解分式方程的步驟： 把各分式的分母因式分解； 在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母； 去括號，把所有項都移到左邊，合并同類項； 解一元二次方程； 驗根。 2用換元法化分式方程為一元二次方程 【例3】解方程 222

11、3()4011xxxx? 分析：本題若直接去分母，會得到一個四次方程，解方程很困難。但注意 到方程的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)21xyx?，即得到一個關(guān)于y的一元二次方程。最后在已知y 的值的情況下，用去分母的方法解方程21xyx?。 說明：用換元法解分式方程常見的錯誤是只求出y的值，而沒有求到原方程的解，即x的值。 【例4】解方程 22228(2)3(1)1112xxxxxx? 分析：注意觀察方程特點， 可以看到分式2221xxx? 與2212xxx?互為倒數(shù)。因此， 可以設(shè)2221xxyx?，即可將原方程化為一個較為簡單的分式方程。 實用文檔 文案大全 說明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，

12、將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想 3、可化為一元二次方程的無理方程 根號下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程 1平方法解無理方程 【例1】解方程 71xx? 分析：移項、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解 說明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程的一般步驟： 移項，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項均移到方程的右邊；兩邊同時平方，得到一個整式方程；解整式方程；驗根 【例2】解方程 3233xx? 分析：直接平方將很困難可以把一個根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式，再用例4的方法解方程 2換元法解無理方程 【例3】解方程 223152512xxxx? 分析：本題若直接平方，會得

13、到一個一元四次方程，難度較大注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：2231533(51)xxxx? 因此，可以設(shè)251xxy?，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程處理 說明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想 4、含有字母系數(shù)的一元二次不等式 【例1】求關(guān)于x的不等式222mxmxm?的解。 【例2】已知關(guān)于x的不等式22kkxx?的解為12x?，求實數(shù)k的值。 分析：將不等式整理成axb?的形式，可以考慮只有當(dāng)0a? 時，才有形如bxa? 的解，從而令12ba?。 實用文檔 文案大全 課堂小練 1、 解不等式： （1）