《計算方法》

1、Chapter 6,非線性擬合初步,整理課件,6.1 問題的提出,多項式最小二乘擬合,模型：y = a + b x + g x2，測量數(shù)據(jù)：(xi, yi), i = 1, 2, , m,記偏差平方和,令,得線性“法方程”組,已證明這個關于 a、b、g 的線性方程組有唯一解,整理課件,可以轉(zhuǎn)化為線性問題的擬合模型,v = a + b u,整理課件,非線性” 問題,但是在許多情況下，擬合模型過于復雜。直接采用最小二乘法，“法方程組” (p.90, 4.56式) 可能是不可解的，或者是沒有相應的解析表達式的,例如，下面二式形似簡單，但還是不能用“最小二乘法”計算模型參數(shù) a、b、g,以較簡單的第二

2、式為例,整理課件,非線性” 的法方程,這些法方程不是線性方程，不能“分離”參數(shù)。 當然，還有更復雜的模型,整理課件,例1 S形生長模型,許多過程的特征量隨時間呈S形變化。例如：反應過程中的產(chǎn)物濃度、相變過程中新相的含量、植物的生長量、市場某產(chǎn)品的銷售量等與時間的關系都為S形曲線。 S形生長反映了一個動力學過程中“孕育期”、“生長期”和“飽和期”的發(fā)展規(guī)律，是材料研究中經(jīng)常涉及到的模型,整理課件,例1 (續(xù)) S形生長模型實例,整理課件,例1 (續(xù)) S形生長模型實例,整理課件,例1 S形生長的理論模型,S形生長理論模型有許多，例如,問題： “法方程組”是非線性的,整理課件,例2 液體表面張力計

3、算問題,液滴子午面輪廓線服從微分方程,1,其中,任務：測量輪廓線坐標(x, y)，通過對方程 (1) 的擬合計算，獲得參數(shù) A 、B,問題：擬合模型為復雜的非線性微分方程不能獲得最小二乘“法方程組”的解析式,整理課件,例3 Seebeck系數(shù)測量數(shù)據(jù)的擬合問題,有關載流子輸運特性的固體理論,在一定的簡化假設下，Seebeck 系數(shù)a 可表達為,其中,k, e Boltzmann 常數(shù)，電子電荷常數(shù),x 簡約 Fermi 能級,s 載流子散射系數(shù),F Fermi 積分,整理課件,例3 (續(xù),含F(xiàn)ermi積分的擬合模型,任務：用理論模型,擬合實驗測量數(shù)據(jù)，從而計算模型參數(shù)：s、EF,問題： Fer

4、mi 積分中包含模型參數(shù) Fermi 積分無解析解 不能給出最小二乘“法方程組,整理課件,多晶體材料中晶粒尺寸大小不一。為了降低系統(tǒng)總的界面能，大晶粒長大、小晶粒縮小并趨于消失，從而使平均晶粒尺寸上升,晶粒的晶體學取向?qū)ЯｉL大有重要作用。如果材料中存在兩種 (或更多) 具有不同取向特征的晶粒組，則它們將具有不同的長大特征,例4 晶粒長大過程中的擬合問題,整理課件,例4 (續(xù),晶粒長大理論模型,表述各取向組不同大小晶粒的尺寸隨時間的變化規(guī)律,H組中半徑為R的晶粒的長大速度,其中,整理課件,例4 (續(xù),晶粒長大實驗的結(jié)果,實驗結(jié)果：經(jīng)不同時間退火后 A、B 兩組晶粒的尺寸分布、相對含量,由實驗結(jié)

5、果計算：經(jīng)不同時間退火后 A、B 兩組晶粒的平均晶粒尺寸、總的平均晶粒尺寸,整理課件,例4 (續(xù),晶粒長大實驗的擬合,問題： 模型參數(shù)與考察對象 ( ) 之間關系是“間接”的 (通過 dR/dt 相關聯(lián),整理課件,簡單最小二乘法的局限,p.90 中部 若j(x) 能表示成一組已知函數(shù)的線性組合， 則相應的法方程組必是線性方程組,p.91 上部 當j0(x)、j1(x) jn(x) 線性無關時，存在唯一解,但是,非線性、無解析解微分方程、積分方程、未知復雜函數(shù)關系、間接相關關系、涉及數(shù)值計算過程的函數(shù),實際工作中經(jīng)常碰到，應該掌握求解方法 書不多，更需要學習 (書上有的，可以自學,整理課件,本章

6、主要參考書,周紀薌 編 回歸分析 華東師范大學出版社 1993年第一版 浙大圖書館 O212.1 / Z2.1,王玲玲，周紀薌 編 常用統(tǒng)計方法 華東師范大學出版社 1994年第一版 浙大圖書館 O212 / W8,整理課件,6.2 非線性擬合基本計算方法,最小二乘法的本質(zhì),有一組實驗數(shù)據(jù) ( xi , yi ), ( i = 1, 2, , m ) 有一個含待定參數(shù)的理論模型 f (x, a1, a2, an) 尋求使偏差平方和 最小的那組參數(shù),對線性問題,解“法方程組,非線性復雜模型 ,整理課件,6.2.1 基本思路,已經(jīng)學過許多“找”的方法,例如,牛頓迭代法,對非線性方程： f(x) =

7、 0,本章前面討論的“法方程組” 本質(zhì)上就是一組非線性方程,整理課件,牛頓迭代法的“思路,將一個(復雜的)連續(xù)函數(shù) f(x)，在某個“估計”點 x0處展開,取展開式的前兩項近似表達 f(x,f (x) f (x0) + f (x0)Dx,用切線近似，將 f(x) “線性化,用線性方程 f (x0) + f (x0)Dx = 0 的 解Dx “修正” 原始估計值 x0，得到 新的近似值 x1 = x0 + Dx 。 如此重 復，逐步逼近非線性函數(shù)的解,整理課件,牛頓迭代法給出的啟示,對于一個任意復雜的非線性方程 f(x) 通過級數(shù)展開獲得線性方程(切線方程) g(x) 用線性方程 g(x)的解逐

8、步逼近 f(x)的解,舉一反三,對非線性擬合模型模型 f (x, a1, a2, an) 將最小二乘的非線性“法方程”展開為線性的近似方程 用近似方程的解逐步逼近模型參數(shù),整理課件,6.2.2 一元非線性擬合問題,物理模型,其中 a 是待定的模型參數(shù),實驗數(shù)據(jù)：( xi , yi ), ( i = 1, 2, , m,最小二乘擬合,找模型參數(shù) ，使模型計算值 與實驗數(shù)據(jù)之間的偏差平方和達到最小，即取,要解決的問題,太復雜， 難解,整理課件,復雜模型的線性化近似,記,將 j(a) 在參數(shù)近似估計值 處展開為線性函數(shù),由：j(a) = 0，得關于 Da 的線性方程,從中解出 Da，修正參數(shù)近似估計

9、值,整理課件,線性化近似的幾何意義,最小二乘目標方程,j,忽略高次項后,整理課件,一元非線性擬合的計算過程,整理課件,6.2.3 非線性擬合中的收斂問題,最小二乘目標方程,j (a)連續(xù) j(a) 有單根,需要對參數(shù)修正量Da進行控制干預,整理課件,非線性擬合過程中對參數(shù)修正量Da 的干預,擬合發(fā)散的主要原因之一： Da 太大，造成“修正過度,原則： 適當減小Da ，寧可慢一點,目的： 降低對原始估計值的要求 提高收斂性,方法： 引入“松弛因子” t ，(0 t 1)，并取,整理課件,松弛因子的選取方法,定義,1、牛頓下山法,取 t = 1, 1/2, 1/4, 1/8, ，直至 e(a+tD

10、a) e(a)，或 t et，其中et 是某個事先給定的“下山因子下界”，以 a + tDa 作為下一步計算的參數(shù)估計值,2、黃金分割法,在 -0.5 1 范圍內(nèi)，按黃金分割方法尋找使 e(a+tDa) 最小的 t 值，然后以a + tDa 作為下一步計算的參數(shù)估計值,整理課件,附：黃金分割法,假設使“單峰”函數(shù)e(a+tDa) 最小的 t*值在 a b 之間,先比較 t1、t2兩點的e值，若e(t1) e(t2)，說明t* 在a t2之間,在此區(qū)間內(nèi)再找一點t3，繼續(xù)比較 t1、t3兩點的e值,如果這次還是e(t1)較小，則下一步在t3 t2之間尋找t*值，反之在a t1之間尋找t*值。從而

11、逐步縮小尋找t*值的區(qū)間,希望：每次區(qū)間縮小的比例相同，所選取的點是對稱的。 取原始區(qū)間a,b長度為1，則有,從中解得,整理課件,附：黃金分割法,t 取值范圍,若 0.382 處誤差小于 0.618 處，在 0 0.618 之間分割,若 0.618 處誤差小于 0.382 處，在 0.382 1 之間分割,繼續(xù)比較 (0.382) 和 (0.618) 兩點的誤差大小，以較大的點作為下一輪黃金分割的一個端點，直到兩端點之間的距離小于某個給定值,整理課件,6.2.4 多元非線性擬合,物理模型： ，其中 a1, a2, , an 是 n 個待定的模型參數(shù),實驗數(shù)據(jù)：( xi , yi ), ( i

12、= 1, 2, , m )，( m n,k = 1, 2, , n,整理課件,多元非線性擬合函數(shù)的線性化,其中,整理課件,6.2.5 非線性擬合應用實例,整理課件,1、偏導數(shù)公式,模型,偏導數(shù),整理課件,2、“法方程”公式,整理課件,整理課件,4、數(shù)值計算,初始參數(shù)估計值：a = 1、b = 3700、g = 300,計算得到法方程組,整理課件,5、參數(shù)修正,整理課件,6、非線性擬合計算結(jié)果,整理課件,6.2.6 復雜的非線性問題,整理課件,三維顆粒尺寸的獲得,整理課件,多面體幾何模型的概率分布,整理課件,三維顆粒尺寸分布的計算原理,整理課件,從平面測量結(jié)果到三維顆粒尺寸分布的換算,整理課件,偏導數(shù)的數(shù)值計算,由于沒有解析表達，需要用數(shù)值方法計算偏導數(shù)。 方法：參數(shù)變化一微小量，計算 的變化量,整理課件,三維顆粒尺寸分布計算方法,整理課件,三維顆粒尺寸分布計算結(jié)果的比較,整理課件,習題 6.1,已知,請編寫