大學(xué)物理剛體力學(xué)基礎(chǔ)-文檔資料

1、大學(xué)物理,第五章 剛體力學(xué)基礎(chǔ),1、剛體:在外力作用下形狀和大小完全不變的物體為剛體。 剛體是一種理想模型。剛體上任兩點間的距離始終保持不變,5.1.1、剛體 平動與轉(zhuǎn)動,2、剛體的平動: 剛體上任意兩點的連線在運動中保持平行,這種運動稱為剛體的平動。平動的剛體可當(dāng)作質(zhì)點, 質(zhì)點力學(xué)的規(guī)律適用,注意：剛體平動時，運動軌跡不一定是直線,特征,各個質(zhì)點的位移、速度、加速度相等,3、剛體的轉(zhuǎn)動 : 剛體上的各點繞同一直線做圓周運動,4、剛體的一般運動：剛體的一般運動可看成是平動和轉(zhuǎn)動的 疊加,定軸轉(zhuǎn)動 :轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不動,1）各點的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各點的線位移、線速度、線

2、加速度不同,特征,5.1.2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述,平均角速度,角速度： （矢量,角加速度：（矢量,角位移,規(guī)定 ox 軸逆時針轉(zhuǎn)動為正方向，反之為負(fù)方向,角位置,剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程,定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向,剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時，相應(yīng)公式如下,角量與線量的關(guān)系,線速度與角速度之間的矢量關(guān)系為,由于在定軸轉(zhuǎn)動中軸的位置不變，故 只有沿軸的正負(fù)兩個方向，可以用代數(shù)值代替,例題5-1一半徑為R = 0.1m 的砂輪作定軸轉(zhuǎn)動，其角位置隨時間t 的變化關(guān)系為 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒計。試求： 1）在 t = 2s 時,砂輪邊緣上一質(zhì)點的法向加速度和切向加速度的

3、大小。2）當(dāng)角 為多大時，該質(zhì)點的加速度與半徑成 45 o,解： 1,2,舍去t = 0 和 t = -0.55,此時砂輪的角度,例題5-2 一飛輪從靜止開始加速，在6s內(nèi)其角速度均勻地增加到200rad/min,然后以這個速度勻速旋轉(zhuǎn)一段時間，再予以制動，其角速度均勻減小。又過了5s后，飛輪停止了轉(zhuǎn)動。若飛輪總共轉(zhuǎn)了100轉(zhuǎn)，求共運轉(zhuǎn)了多少時間,解：整個過程分為三個階段,加速階段,勻速階段,制動階段,解： 1) 棒做變加速運動,例題5-3 一細(xì)棒繞O 點自由轉(zhuǎn)動，并知 , L 為棒長。 求: 1) 棒自水平靜止開始運動， = / 3 時, 角速度 ? 2) 此時端點A 和中點B 的線速度為多

4、大,平動動能,轉(zhuǎn)動動能,5.2.1、剛體的動能,定義：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,SI單位：kg . m 2,即,注意：轉(zhuǎn)動動能實質(zhì)與平動動能相同，表達(dá)式不同,2 、轉(zhuǎn)動慣量的計算,若質(zhì)量離散分布： （質(zhì)點，質(zhì)點系,若質(zhì)量連續(xù)分布,其中,1、定義：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,5.2.2、轉(zhuǎn)動慣量的計算,描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量,SI單位：kg . m,例題5-4求質(zhì)量為m，半徑為R 的均勻圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,解: 設(shè)質(zhì)量線密度為,例題5-5 求質(zhì)量為m、半徑為R 的均勻薄圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,取半徑為 r 寬為d r 的薄圓環(huán),解: 設(shè)質(zhì)量面密度為,質(zhì)點作圓周運動、圓筒,圓柱、滑輪等,例題5-6

5、 求長為L、質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量,解: 1）取A 點為坐標(biāo)原點。在距A 點為x 處取dm= dx,2）取C 點為坐標(biāo)原點。 在距C 點為x 處取dm,2) 同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同， 凡提到轉(zhuǎn)動慣量 必須指明它是對哪個軸的,剛體的轉(zhuǎn)動慣量是由剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布、 轉(zhuǎn)軸的位置三個因素共同決定,3、平行軸定理,若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，且兩軸相距為d，剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，則有,例 均勻圓盤對O 軸的轉(zhuǎn)動慣量,5.2.3、對轉(zhuǎn)軸的力矩,1、F在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),大?。篗zFrsin Fd, d=rsin 稱為力F對轉(zhuǎn)軸的力臂,Mz的方向平行于轉(zhuǎn)軸，由右手螺旋定則確

6、定,2、F不在轉(zhuǎn)軸平面內(nèi) 把F分解為三個分量Fz, Fr, Ft, Fr的力矩為零, Fz的力矩不為零，但不影響剛體的定軸轉(zhuǎn)動， Ft的力矩沿軸向，它對角動量有貢獻(xiàn),3、多個力作用于剛體 各外力作用點各不相同，外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩,可證：剛體中內(nèi)力對給定軸的力矩的矢量和為零，只需考慮 外力矩的作用,合外力矩等于各力對轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和,5.2.4、定軸轉(zhuǎn)動定律,由牛頓第二定律得,其切向分量和法向分量方程分別為,由于法向力的作用線穿過轉(zhuǎn)軸，其力矩為零，故只討論切向方程,令,則有,上式便可寫成,剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律,它表明：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加 速度的乘積，等于作用于剛體上所有外

7、力對該軸力 矩的代數(shù)和,1、轉(zhuǎn)動定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動,2、M 一定：作用不同剛體上，J 大時， 小， 轉(zhuǎn)速不宜 改變，轉(zhuǎn)動慣性大。反之，J 小，轉(zhuǎn)動慣性小。 轉(zhuǎn)動慣量是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度,3、剛體轉(zhuǎn)動定律是解決剛體轉(zhuǎn)動問題的重要定律。 應(yīng)用時應(yīng)注意以下問題,當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體，又有平動物體時，用 隔離法解題。 對轉(zhuǎn)動物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律建立方 程， 對平動物體則用牛頓第二定律建立方程,力矩和轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言,選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以確定力矩或角加速度、 角速度的正負(fù),類比,的薄圓盤,的定滑輪（視為半徑為,例題5-7,一輕繩跨過一質(zhì)量為,兩物體，且,和,繩兩端掛質(zhì)量為,繩與滑輪無相

8、對滑動,滑輪軸間摩擦阻力矩為,求物體的加速度和繩中的張力,解：由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律得,4,5,聯(lián)立（1）,（2），（3），（4），(5)式可解得,例題5-8 質(zhì)量為m 1、半徑為R 的定滑輪可繞軸自由轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m 2 的物體懸掛于繞過滑輪的細(xì)繩上。求：物體m 2 的下落加速度a 和 滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度,聯(lián)合解得,關(guān)聯(lián)方程,解 對m 1 分析力矩；取滑輪轉(zhuǎn)動方向為正方向,對m 2分析受力。取向下為正方向,由轉(zhuǎn)動定律,由牛頓運動定律,例題5-9 一剛體由長為 l ，質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒和質(zhì)量為m的小球組成，且可繞O 軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，且軸處無摩擦。 求: 1） 剛體繞軸O 的轉(zhuǎn)動慣量。

9、2）若棒自水平靜止開始運動到 棒與豎直方向成角時, 小球的角速度和 法向加速度,2）取逆時針轉(zhuǎn)動為正方向，棒與豎直 方向成角時，合外力矩,解 1,分離變量積分得,小球的法向加速度,由轉(zhuǎn)動定律,解 選取斜面為參考系，規(guī)定滑輪的轉(zhuǎn)動方向為轉(zhuǎn)動正向，沿斜面向上為重物運動的正方向隔離物體分析受力,對重物應(yīng)用牛頓第二定律，得,對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，得,關(guān)聯(lián)方程為,例題5-10 一恒力矩M作用于斜面頂點的滑輪上，滑輪的半徑為r,質(zhì)量為m1，質(zhì)量為m2的重物通過一不可伸長的輕繩固定在輪的邊緣，重物沿傾角為的斜面上升重物與斜面間的摩擦系數(shù)為。求：輪子由靜止開始轉(zhuǎn)過角 后獲得多大的角速度,聯(lián)立得,由于 為常量，故

10、滑輪作勻變速轉(zhuǎn)動則,一般剛體動能,5.2.5、力矩的功和功率,力矩功的表達(dá)式,由功的定義式,如果有幾個外力矩對剛體做功，則各外力矩做功之和為,M為剛體所受合外力矩,根據(jù)質(zhì)點力學(xué)中功率的定義，力矩的功率可表示為,5.2.6、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,由力矩的元功表達(dá)式得,定軸轉(zhuǎn)動的動能定理積分形式,合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量,定軸轉(zhuǎn)動的動能定理微分形式,例題補充 沖床的飛輪m=600kg,飛輪半徑r=0.4m.正常速度為n1= 240r/min,沖一次孔轉(zhuǎn)速減低20 % 。求沖一次孔沖頭做的功,解: 沖孔前后的角速度分別表示為1 和2,孔鐵板阻力對沖頭做功,故沖頭做功,剛體質(zhì)量全部集中于質(zhì)

11、心時，相對于零勢點所具有的勢能,5.2.7、剛體的重力勢能,剛體的重力勢能,hc是剛體質(zhì)心相對重力勢能參考點的高度,重力矩所做的功等于重力勢能增量的負(fù)值,5.2.8、剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理和機械能守恒定律,則有,剛體定軸轉(zhuǎn)動功能原理的積分形式,統(tǒng)稱為剛體的機械能,剛體定軸轉(zhuǎn)動功能原理的微分形式,如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動的過程中，除重力矩以外的其它外力矩對 剛體做的功始終為零,則,下擺。求,例題5-11一長為l質(zhì)量為m,的勻質(zhì)細(xì)棒，如圖所示，可繞圖中,水平軸o在豎直面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若軸間光滑，今使棒從水平位置自由,解： （1）由定軸轉(zhuǎn)動定律可得,在水平位置,在豎直位置,豎直位置棒的角速度為,物體的質(zhì)量為m,

12、物體與斜面間光滑，物,斜面的傾角為,彈簧的勁度系數(shù)為k,解：選取定軸轉(zhuǎn)動的滑輪、彈簧、物體和地球為系統(tǒng)，這時重力、彈性力均為系統(tǒng)內(nèi)保守力，而其它外力和非保守內(nèi)力均不做功， 故系統(tǒng)的機械能守恒,聯(lián)立求得,5.3.1、剛體對定軸的角動量,當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上各質(zhì)元某一瞬時均以相同的角速 度w繞該軸作圓周運動。設(shè)剛體上某一質(zhì)元mi距軸的距離為ri, 則其對該軸的角動量,其矢量式為,5.3.2、剛體的角動量原理,剛體定軸轉(zhuǎn)動時，當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量J不變時，轉(zhuǎn)動定律可表示為,或,5.3.3、剛體的角動量守恒定律,當(dāng)作用于剛體上的合外力矩等于零時，剛體的角動量保持不變,1) 定軸轉(zhuǎn)動的剛體，若 J = C，

13、角動量守恒即剛體保持靜止 或勻角速轉(zhuǎn)動,2）若J 不為恒量時，角動量守恒即： J = 恒量。這時，剛體 的角速度隨轉(zhuǎn)動慣量的變化而變化，但乘積保持不變,當(dāng)剛體所受的外力對某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對此轉(zhuǎn)軸的總角動量保持不變,3）角動量守恒定律中的 都是相對于同一轉(zhuǎn)軸的,4）守恒條件,例,例題5-13如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射穿靜止懸于頂 端的均質(zhì)長棒的下端。子彈穿出后其速度損失了3/4，求子彈穿出 后棒的角速度。已知棒的長度為l，質(zhì)量為M,解 ： 取細(xì)棒和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)受到的外力：重力和軸的作用力，它們對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。所以系統(tǒng)的角動量守恒，即,例題5-1

14、4如圖所示，一長為2l ，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒，可繞中點的 水平軸o在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時棒靜止在水平位置，一質(zhì)量為m 的小球以速度v0垂直下落在棒的端點，設(shè)小球與棒作彈性碰撞，求 碰撞后小球的回跳速度v及棒轉(zhuǎn)動的角速度各為多少,解: 以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對象。 取小球和棒碰撞中間的任意狀態(tài)分析受力,則系統(tǒng)對軸o的角動量守恒,取垂直紙面向里為角動量L正向,根據(jù)彈性碰撞，機械能守恒。有,聯(lián)立可解得,例題5-15一質(zhì)量為M半徑為R的水平轉(zhuǎn)臺（可看作勻質(zhì)圓盤）可繞通 過中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動，一個質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣。 人和轉(zhuǎn)臺最初相對地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺上邊緣走一周時，人 和轉(zhuǎn)臺相對地面各轉(zhuǎn)過的角度是多少,解:如圖，對盤和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)人走動時系統(tǒng)所受到的對 轉(zhuǎn)軸