多元函數(shù)的極值算法比較與應(yīng)用.ppt

1、論文題目多元函數(shù)極值的算法比較與應(yīng)用,答辯人：張昭燕 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師：劉海濤 日期：2013年5月18日,一、研究意義,任何現(xiàn)象都體現(xiàn)著質(zhì)與量的辯證統(tǒng)一.要研究現(xiàn)象的本質(zhì)，必須進(jìn)行嚴(yán)格的定性分析與定量分析.定量分析離開(kāi)數(shù)學(xué)就無(wú)法進(jìn)行.數(shù)學(xué)的應(yīng)用貫穿到人類文明的發(fā)展進(jìn)程中.從古代的結(jié)繩記數(shù)、丈量土地，到如今的存款利率、國(guó)民收入等諸多方面.今日，數(shù)學(xué)的發(fā)展水平及其在社會(huì)經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用程度，已經(jīng)是一個(gè)國(guó)家綜合實(shí)力的重要指標(biāo).數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要方面便是極值問(wèn)題. 極值作為函數(shù)性態(tài)的重要特征，也得到了充分而系統(tǒng)的研究.上個(gè)世紀(jì)初期，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們?cè)趯?duì)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量最大值的漸近分布進(jìn)行研究時(shí)

2、提出了極值理論.近年來(lái)，諸如恐怖事件、金融風(fēng)暴、特大自然災(zāi)害之類的事件頻頻發(fā)生，極值問(wèn)題的研究得到了進(jìn)一步的關(guān)注,二、研究現(xiàn)狀,多元函數(shù)的條件極值是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它的一般求解方法為拉格朗日乘數(shù)法. 然而，在實(shí)際解題過(guò)程中，往往比較繁瑣，國(guó)內(nèi)現(xiàn)行教材對(duì)此缺乏相關(guān)論述，各類文獻(xiàn)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究也是分散的、不系統(tǒng)的.因此，有必要給出更多的求多元函數(shù)條件極值的方法并比較適用的條件及難易程度，以便在求解類似的問(wèn)題時(shí)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，更方便?yīng)用與現(xiàn)實(shí)生活中,論文結(jié)構(gòu),四、研究?jī)?nèi)容（一）多元函數(shù)極值及解法,定義 設(shè)n 元函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)又定義，如果對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于 的點(diǎn) 都有

3、或 則稱函數(shù)在點(diǎn) 有極大值(或極小值).極大值、極小值 統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),1 代入消元法通過(guò)一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果，將條件極值化為無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)解決一些較為簡(jiǎn)單的條件極值問(wèn)題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡(jiǎn)單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無(wú)條件極值來(lái)解決,2拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若及有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后，解方程組從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo)

4、 ，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值,3 標(biāo)準(zhǔn)量代換法求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來(lái),這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量,4 不等式法（1）利用均值不等式 均值不等式是常用的不等式，其形式為，這里，且等號(hào)成立的充分條件是.（2）利用柯西不等式柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，總有 ,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，等號(hào)成立.運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn)而“配、湊”成柯西不等式的左

5、邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值,5 二次方程判別式符號(hào)法求有些含多個(gè)變量目標(biāo)函數(shù)的極值時(shí)，我們可以反復(fù)轉(zhuǎn)化為求關(guān)于某個(gè)變量的二次方程，然后考慮方程有實(shí)數(shù)解判別式滿足的條件解決目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題,6 梯度法用梯度法求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)時(shí)組限制下的極值，方程組的解,就是所求極值問(wèn)題的可能極值點(diǎn).其中表示目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，表示條件函數(shù)的梯度向量,7 數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點(diǎn)到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標(biāo)的條件極值,二）多元函數(shù)極值的應(yīng)用,1 不等式證明 某些給定范圍內(nèi)的單向不等式，可以轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的最值來(lái)求解，而多元函數(shù)的最值又可以通過(guò)

6、求極值的方法來(lái)解決,2 物理學(xué)中光的折射定律證明 利用極值證明光的折射定律是物理學(xué)中的典型應(yīng)用，將光的傳播問(wèn)題轉(zhuǎn)化為條件極值問(wèn)題，運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求極值簡(jiǎn)單易解決,3 生產(chǎn)銷售 在生產(chǎn)和銷售商品的過(guò)程中，銷售價(jià)格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤(rùn)增加，但同時(shí)也使消費(fèi)者的購(gòu)買欲望下降，造成銷售量下降，導(dǎo)致廠家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價(jià)是相互影響的.廠家要選擇合理的銷售價(jià)格才能獲得最大利潤(rùn),總結(jié),本文討論了多元函數(shù)的極值問(wèn)題。.首先我們給出多元函數(shù)極值的理論概述。然后介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法，一般我們是運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法，但在實(shí)際解題過(guò)程中都比較繁瑣，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來(lái)快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法. 都可以簡(jiǎn)捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問(wèn)題時(shí)，我們可以先分析題目的