數(shù)學(xué)建模插值方法【專業(yè)教學(xué)】

1、插值與擬合,1,優(yōu)選知識,前言,函數(shù)是多種多樣的，在科研與工程實際中有的函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜而不便于計算，但又需要計算多點的函數(shù)值；有的函數(shù)甚至給不出數(shù)學(xué)式子，只能通過實驗和測量得到一些離散數(shù)據(jù)（如某些點的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值）。面對這種情況，很自然的一個想法就是構(gòu)造某個簡單的函數(shù)作為要考察的函數(shù)的近似 。 如果要求近似函數(shù)滿足給定的離散數(shù)據(jù)，則稱之為插值函數(shù)。實用上，我們常取結(jié)構(gòu)相對比較簡單的代數(shù)多項式作為插值函數(shù),這就是所謂的代數(shù)插值,2,優(yōu)選知識,插值部分,3,優(yōu)選知識,定理1 設(shè) 為給定的彼此互異的 個插值 節(jié)點，則存在唯一的次數(shù)不超過 的多項式 ，滿足 條件 ,二、存在性與唯一性,4,優(yōu)選知

2、識,證明: 設(shè) , 其中 為待定系數(shù).利用插值條件 ,我們得到一個線性代數(shù)方程 組 ,其中 觀察發(fā)現(xiàn)矩陣A是范德蒙矩陣,那么,由幾代知識知道矩陣A 的行列式 為 ,由定理中條件,插值結(jié)點為彼此互異的, 那么行 列式不為零.故由Cramer法則知線性代數(shù)方程組 存在唯一解,5,優(yōu)選知識,三、Lagrange插值法,1）Lagrange插值多項式可以表示為,6,優(yōu)選知識,引入記號 , 易證 , 從而Lagrange插值多項式可表示為,7,優(yōu)選知識,2）插值誤差估計 定理2 設(shè) 在 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在, 節(jié)點 ， 是拉格朗日插值多項 式，則對任意 , 插值余項 其中 且依賴于,8,優(yōu)選知識,例2.

3、求過點(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項式。 解：用4次插值多項式對5個點插值,9,優(yōu)選知識,10,優(yōu)選知識,于是有,11,優(yōu)選知識,function yi=lagrcz(x,y,xi) n=length(x); m=length(xi); for s=1:m yi(s)=0; for i=1:n w(i)=1; dw(i)=1; for j=1:n if (j=i) w(i)=(xi(s)-x(j)*w(i); dw(i)=(x(i)-x(j)*dw(i); end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); end end,12,

4、優(yōu)選知識,13,優(yōu)選知識,缺點: 當(dāng)增加或減少插值節(jié)點時,基函數(shù)需要重新 構(gòu)造,不便于實際的計算使用,14,優(yōu)選知識,15,優(yōu)選知識,2) Newton插值公式 由差商定義 把以上各式由后向前代入,可得,16,優(yōu)選知識,差商表,17,優(yōu)選知識,例2:已知 求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。 解,18,優(yōu)選知識,由上述差商表對角線上取得的值 則牛頓三次插值多項式為,19,優(yōu)選知識,function yi=newtcz(x,y,xi) n=length(x); m=length(xi); nt=zeros(n,n); nt(:,1)=y; for i=2:n for j=i:n nt(j,i)

5、=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1)/(x(j)-x(j-(i-1); end End for i=1:n nt(i,i) End for i=1:m yi(i)=nt(1,1); for j=2:n t=1; for s=1:j-1 t=t*(xi(i)-x(s); end yi(i)=yi(i)+t*nt(j,j); end end,20,優(yōu)選知識,五、 Hermite插值多項式,給定的是節(jié)點上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值,問題：已知,求3次多項式 ，使得,21,優(yōu)選知識,22,優(yōu)選知識,多項式插值的問題,前面介紹了構(gòu)造插值公式的方法，并分析了它 們的余項。在實際應(yīng)用插值函數(shù)作近似計算時，總

6、 希望插值公式余項 的絕對值小一些，即使得 逼近的精度好。從表達(dá)式看，似乎提高插值多項式 的次數(shù)便可達(dá)到目的，但實際上并非如此,23,優(yōu)選知識,例如 給定函數(shù),取其等距節(jié)點 ， 構(gòu)造的Lagrange插值多項式為 當(dāng) 時， 只能在 內(nèi)收斂，而在這個區(qū)間以外是發(fā)散的。這種畸形現(xiàn)象 通常叫做Runge現(xiàn)象。如下圖所示,24,優(yōu)選知識,25,優(yōu)選知識,六、 分段插值,所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項式化。在每 個 子段上構(gòu)造插值多項式，然后把它們裝配在一， 作為整個區(qū)間 上的插值函數(shù)，即稱為分段多項式。如果 函數(shù) 在每個子段上都是 次式，則稱為 次式,一般（低次：k=1,2,3,26,優(yōu)選知識

7、,1）分段線性插值的構(gòu)造（k=1) 易知 在每個子區(qū)間 上是一 次插值多項式 分段線性插值的余項 其中,27,優(yōu)選知識,2） 分段拋物線插值（K=2,3） 分段三次 Hermite 插值(K=3,28,優(yōu)選知識,4） 三次樣條插值,在分段插值中，分段線性插值在節(jié)點上僅連續(xù)而不可導(dǎo)，分段三次埃爾米特插值有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，如此光滑程度常不能滿足物理問題的需要，而引入的樣條函數(shù)則可以同時解決這兩個問題,使插值函數(shù)既是低階分段函數(shù),又是光滑的函數(shù),29,優(yōu)選知識,則稱 是 在該區(qū)間上關(guān)于該劃分的一個三次 樣條函數(shù),30,優(yōu)選知識,其中四個待定系數(shù)為 ,子區(qū)間共有n個所以要確定S(x)需要4n個待定系數(shù)

8、。 另一方面,要求分段三次多項式S(x)及其導(dǎo)數(shù) 和 在整個插值區(qū)間a,b上連續(xù),則要求它們在各個子區(qū)間的連接點 上連續(xù)， 即滿足條件,由樣條函數(shù)的定義可知,三次樣條插值函數(shù)S(x)是一個分段三次多項式,要求出S(x),在每個小區(qū)間xi,xi+1上要確定4個待定參數(shù),若用Si(x)表示它在第i個子區(qū)間xi,xi+1上的表達(dá)式，則,31,優(yōu)選知識,1）插值條件 （2）連接條件 式共給出了4n-2個條件,而待定系數(shù)有4n個,因此還需要2個條件才能確定S(x),通常在區(qū)間端點上 各加一個條件,稱為邊界條件, 常用邊界條件有三種類型,32,優(yōu)選知識,第一種類型：給定兩端點 的一階導(dǎo)數(shù)值： 第二種類型：

9、給定兩端點f(x)的二階導(dǎo)數(shù)值： 作為特例, 稱為自然邊界條件。滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。 第三種類型：當(dāng) 是以為 周期的函數(shù)時，則要求S(x)也是周期函數(shù),這時邊界條件應(yīng)滿足 當(dāng) 時,33,優(yōu)選知識,這樣，由上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出4n個方程，可以惟一確定4n個系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)在各個子區(qū)間xi , xi+1上的表達(dá)式S(xi）(i=1,2,)。但是，這種做法當(dāng)n較大時，計算工作很大，不便于實際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單的構(gòu)造方法,34,優(yōu)選知識,三次樣條插值函數(shù)的求法 設(shè)S(x)在節(jié)點xi處的二階導(dǎo)數(shù)為 因

10、為在子區(qū)間xi-1,xi上 是三次多項 式,所以 在此小區(qū)間上是x的線性函數(shù),且因為用線性插值,可知其表達(dá)式為,記 ，則有,35,優(yōu)選知識,其中,Ai,Bi為積分常數(shù),可利用插值條件 確定,即要求Ai,Bi滿足 并記 ，則得,連續(xù)兩次積分得,36,優(yōu)選知識,由上討論可知,只要確定 這n+1個值, 就可定出三樣條插值函數(shù)S(x)。為了求出 ,利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)間連接點上連續(xù)的條件 ，求導(dǎo)一次,得在區(qū)間xi-1,xi上的表達(dá)式為,37,優(yōu)選知識,也就是在右端點xi上有,在左端點xi-1上有,將上式中的i-1改為i,即得在子區(qū)間xi,xi+1上的表 達(dá)式 ,并由此得,利用 在內(nèi)接點的連續(xù)性,即 就可

11、得到關(guān)于參數(shù) 的一個方程,38,優(yōu)選知識,上式兩邊同乘以 ,即得方程,若記,39,優(yōu)選知識,則所得方程可簡寫成,即,這是一個含有n+1個未知數(shù)、n-1個方程的線性方程組.要完全確定 的值還需要補充兩個條件,這兩個條件通常根據(jù)實際問題的需要，根據(jù)插值區(qū)間a,b的兩個端點處的邊界條件來補充。邊界條件的種類很多，常見的有以下3種,40,優(yōu)選知識,第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導(dǎo)數(shù)值： 則可得到包含Mi的兩個線性方程,S(x)在子區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù)為,由條件 得,即,同理,由條件 得,41,優(yōu)選知識,即得確定 的線性方程組,其中,42,優(yōu)選知識,第二種邊界條件:即已知插值區(qū)間兩端的二階導(dǎo)數(shù)值:

12、, 由于在區(qū)間端點處二階導(dǎo)數(shù) ，所以方程中實際上只包含有n-1個未知數(shù) ，從而得方程組,43,優(yōu)選知識,第三種邊界條件:由 與 ，可得 和,其中,44,優(yōu)選知識,得關(guān)于 的線性方程組,利用線性代數(shù)知識,可以證明方程組的系數(shù)矩陣都是非奇異的，因此有惟一解,45,優(yōu)選知識,用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)節(jié)點逐漸加密時，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不會發(fā)生龍格現(xiàn)象。因此三次樣條在計算機(jī)輔助設(shè)計中有廣泛的應(yīng)用,46,優(yōu)選知識,用MATLAB作插值計算,一維插值函數(shù),yi=interp1(x，y，xi，method,nearest ：最鄰近插

13、值linear ： 線性插值； spline ： 三次樣條插值； cubic ： 立方插值。 缺省時： 分段線性插值,注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍,47,優(yōu)選知識,例：在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值,x=1:12; y=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; xi=1:0.1:12; yi=interp1(x,y,xi,spline); plot(x,y,+,xi,yi,r,48,優(yōu)選知識,49,優(yōu)選

14、知識,三次樣條插值的Matlab實現(xiàn) 如果三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法，就是采用非扭結(jié)（not-a-knot）條件。這個條件強(qiáng)迫第1個和第2個三次多項式的三階導(dǎo)數(shù)相等。對最后一個和倒數(shù)第2個三次多項式也做同樣地處理。 Matlab中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)： y=interp1(x0,y0,x,spline)； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。 其中x0,y0是已知數(shù)據(jù)點，x是插值點，y是插值點的函數(shù)值,50,優(yōu)選知識,對于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)csape，csape的返回值是p

15、p形式，要求插值點的函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)ppval。 pp=csape(x0,y0)：使用默認(rèn)的邊界條件，即Lagrange邊界條件。 pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的conds指定插值的邊界條件，其值可為： complete 邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在valconds參數(shù)中給出，若忽略valconds參數(shù)，則按缺省情況處理。 not-a-knot 非扭結(jié)條件 periodic 周期條件 second 邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在valconds參數(shù)中給出，若忽略valconds參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的缺省值為0, 0。 variational 設(shè)置邊界的二階導(dǎo)數(shù)

16、值為0,0,51,優(yōu)選知識,對于一些特殊的邊界條件，可以通過conds的一個12矩 陣來表示，conds元素的取值為0，1，2。 conds(i)=j的含義是給定端點i的j 階導(dǎo)數(shù)，即conds的第一 個元素表示左邊界的條件，第二個元素表示右邊界的條件 conds=2,1表示左邊界是二階導(dǎo)數(shù)，右邊界是一階導(dǎo)數(shù)， 對應(yīng)的值由valconds給出,52,優(yōu)選知識,最小二乘法擬合,已知一批離散數(shù)據(jù) (xi, yi), i=0,1,.,n，且 x0 x1xn, 尋找一個函數(shù) f(x)，使 達(dá)到最小. 這個過程稱為最小二乘擬合, f(x) 稱為擬合函數(shù),擬合部分,53,優(yōu)選知識,一、線性擬合,若設(shè)擬合函

17、數(shù)f(x)=b+ax，則有 令,54,優(yōu)選知識,即,這是一個關(guān)于a, b的2元線性方程組. 求解即可得到f(x)的表達(dá)式,55,優(yōu)選知識,二、多項式擬合 有時所給數(shù)據(jù)點的分布并不一定近似地呈一條直線,這時仍用直線擬合顯然是不合適的,可用多項式擬合。對于給定的一組數(shù)據(jù) 尋求次數(shù)不超過m (mN ) 的多項式,來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的 平方和,為最小,56,優(yōu)選知識,由于 可以看作是關(guān)于 ( j=0,1,2, m)的多元函數(shù), 故上述擬合多項式的構(gòu)造問題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令,得,即有,57,優(yōu)選知識,這是關(guān)于系數(shù) 的線性方程組，通常稱為正規(guī)方 程組?？梢宰C明，正規(guī)方程

18、組有惟一解,58,優(yōu)選知識,三、可化為線性擬合的非線性擬合 有些非線性擬合曲線可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進(jìn)行處理，對于一個實際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標(biāo)平面上描出散點圖，看一看散點的分布同哪類曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。 下表列舉了幾類經(jīng)適當(dāng)變換后化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關(guān)系,59,優(yōu)選知識,曲線擬合方程 變換關(guān)系 變換后線性擬合方程,60,優(yōu)選知識,多項式曲線擬合函數(shù)：polyfit( ) 調(diào)用格式：p=polyfit(x,y,n)

19、p,s= polyfit(x,y,n) 說明：x,y為數(shù)據(jù)點，n為多項式階數(shù)，返回p為冪次從高到低的多項式系數(shù)向量p。矩陣s用于生成預(yù)測值的誤差估計,例2：由離散數(shù)據(jù),擬合出多項式,61,優(yōu)選知識,x=0:.1:1; y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2 n=3; p=polyfit(x,y,n) xi=linspace(0,1,100); z=polyval(p,xi); plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b,62,優(yōu)選知識,63,優(yōu)選知識,二維插值,第一種（網(wǎng)格節(jié)點,64,優(yōu)選知識,注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線

20、性插值,最鄰近插值,二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的 節(jié)點的函數(shù)值即為所求,65,優(yōu)選知識,將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為,分片線性插值,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,66,優(yōu)選知識,雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。 雙線性插值函數(shù)的形式如下,其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù),雙線性插值,67,優(yōu)選知識,3) 分片雙三次樣條插值,68,優(yōu)選知識,第二種（散亂節(jié)點,69,優(yōu)選知識,要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣