常用微分公式[基礎(chǔ)教育]

1、1-3 微分公式(甲)基本函數(shù)的微分公式(1)=nxn-1，nN 。 (2)。 (3)=0，其中c為常數(shù)。(4)(sinx)/=cosx (5)(cosx)/=-sinx另一種表示： (xn)/=nxn-1 = (c)/=0證明：(2)設(shè)a為f(x)=定義域中的任意點(diǎn)， 則f /(a)= = =()= ()(4)設(shè)a為任意實(shí)數(shù)，f(x)=sinx = = 計(jì)算f /(a)= =()=cosa。(1)(3)(5)自證(乙)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(1)f(x)與g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)+g(x)為可微分的函數(shù)。 且(f(x)+g(x)= (f(x)+ (g(x)成立。 另一種表示：(f(x)+g(

2、x)/=f /(x)+g/(x) 證明：令h(x)=f(x)+g(x)，設(shè)a為h(x)定義域中的任一點(diǎn) h/(a)= = =( + )=()+() =f /(a)+g/(a)例：求？推論：(f1(x)+f2(x)+.+fn(x) = (2)設(shè)f(x)為可微分的函數(shù)。cf(x)為可微分的函數(shù)。 且(cf(x)=c，特別c= -1時(shí)，(-f(x)=-。 (3)，另一種表示：(f(x)-g(x)/=f /(x)-g/(x)(4) (c1f1(x)+c2f2(x)+.+cnfn(x)= c1(f1(x)+c2(f2(x)+.+cn(fn(x)例如：(1) (anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0

3、) (2)(3x5-2x3+4)/ =？(5)f(x)，g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)g(x)為可微分的函數(shù)。 且 (f(x)g(x)= (f(x)g(x)+f(x) (g(x) 另一種表示：(f(x)g(x)/=f /(x)g(x)+f(x)g/(x) 證明：例如：試求下面我們要推導(dǎo)例2的一般情形：(a)=(b)(逐次輪流微分)(c)如果，則可得例如：試求的導(dǎo)數(shù)。例題1 證明。(6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且， 則。 因此可得： 若f(x)=1，則()/= 例如：試求的導(dǎo)函數(shù)。例如：求()/=？例如：設(shè)為負(fù)有理數(shù)，證明。結(jié)論：若設(shè)r為有理數(shù)，則。例題2 求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(

4、1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x-2)3(x2-1) (3)(x2+x+1)(4x3+x-4)(x+3)(3) (4)Ans：(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x-2)2(5x2-4x-3) (3)(2x+1)(4x3+x-4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x-4) (4) (5)例題3 請(qǐng)利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=-sinx的結(jié)果證明：(tanx)/=sec2x，(secx)/=secxtanx(練習(xí)1.) 試求下列的導(dǎo)函數(shù)：(1)x3-6x2+7x-11 (2)(x3+3x)2(2x+1

5、) (3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1) (4)(2x3+x+1)5Ans：(1)3x2-12x+7 (2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x) (3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2)(6x+1) (4) 5(2x3+x+1)4(6x2+1)(練習(xí)2.) 求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。(1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)=Ans：(1) (2) (3) (12x2+6x+2) (4)(練習(xí)3.) 證明，(丙)連鎖法則(1)合成函數(shù)：(a)設(shè)，則。 ， 所以為x的函數(shù)

6、。(b)(2)連鎖法則：既然為x的函數(shù)，我們就可以討論例： 設(shè)，則 利用，可得 = 上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。定理：(連鎖法則 Chain Rule) 若f(x),g(y)都是可微分的函數(shù)，則合成函數(shù)亦可微分， 而且。例題4 求？一般情形：，f(x)可微分，求=?例題5 求f(x)=sin2x的導(dǎo)函數(shù)。Ans：2sinxcosx例題6 求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1)(2)(3)Ans：(1)3tan2xsec2x (2)-5csc5xcot5x (3)(練習(xí)4.) 設(shè)n為正整數(shù)而f(x)為可微分的函數(shù)，試用連鎖律去計(jì)算(f(x)n的導(dǎo)函數(shù)。Ans：n(f(x)n-1f /(x)(練習(xí)5.

7、) 求(=？Ans： (4x3+6x-1)(練習(xí)6.) Ans：(練習(xí)7.) 求下列各小題y/ (1) (2) (3)(4) (5) Ans：(1) (2) (3) (4) (5)(練習(xí)8.) 計(jì)算下列各小題：(1)(x)/=？ Ans：(2) ()=？ Ans：(3)求f(x)=的導(dǎo)函數(shù)。 Ans：f /(x) = (練習(xí)9.) 設(shè)可微函數(shù)f(x)滿足f()=x，則f /(0)=？ Ans：2例題7 試求？(練習(xí)10.) 試求的導(dǎo)函數(shù)。 Ans：(練習(xí)11.) 求f(x)=的導(dǎo)函數(shù)。 Ans：f /(x)= (練習(xí)12.) ，求f /(3)=？ (練習(xí)13.) 設(shè)y=(x+)10，試求=？

8、Ans：(x+)10例題8 求斜率為2，而與曲線y=f(x)=x3-x2+ 相切之直線方程式。Ans：4x-2y+3=0，2x-y-3=0(練習(xí)14.) 求過曲線y=f(x)=x3+x2-2的點(diǎn)，而斜率最小的切線方程式。Ans：y+=(-1)(x+1)(練習(xí)15.) 求通過y=x3-3x2-4x-1上x=1處之切線與法線方程式。Ans：7x+y=0，x-7y-50=0(練習(xí)16.) 函數(shù)f(x)=的圖形上以(0,-1)為切點(diǎn)的切線斜率為 。Ans：1例題9 設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與直線7x-y-8=0相切于點(diǎn)(2,6)，而與直線x-y+1=0相切，求a,b,c之值。 Ans：a=3,b=

9、-5,c=4 (85 日大 自然)例題10 直角坐標(biāo)上，給定一曲線G：y=x3-3x2，自點(diǎn)P(2,-5)向G所作的切線方程式。Ans：3x+y-1=0，15x-4y-50=0(練習(xí)17.) 過原點(diǎn)且與曲線y=x3-3x2-1相切之直線方程式。Ans：y=-3x，y=。(練習(xí)18.) 設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(1,1)，且與直線x-y=3相切于(2,-1)。求a,b,c 之值A(chǔ)ns：a=3，b=-11，c=9例題11 設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，已知二曲線y=x2+ax+b與y=-x3+c在點(diǎn)A(1,-2)處相切，L為兩曲線在A點(diǎn)的公切線，試求(1)a,b,c (2)求L的方程式。Ans：(1

10、)a=-5，b=2，c=-1 (2)3x+y-1=0(練習(xí)19.) 拋物線G：y=p(x)的對(duì)稱軸平行于y軸，且G與x軸交于點(diǎn)(2,0)，并在x=1時(shí)與函數(shù)y=x4+1的圖形相切，試求p(x)=？ Ans：p(x)=-6x2+16x-8(練習(xí)20.) 求y=x3-3x，y=x3-3x+32兩曲線的公切線方程式。Ans：9x-y+16=0綜合練習(xí)1. (1) ，求=? (2)，求f /()=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求f /(x) Ans：(1) (2) (3) 2. 求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1) (2) (3)Ans：(1)(2) (3)3. 試求下列個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1) (2)(3) (4)(5) (6) (7) (8)Ans：(1)(2)(3)(4) (5) (6)0 (7) (8)4. (1)設(shè)，若f /(1)=2，則a=? (2)設(shè)，則f /(2) =? Ans：(1)2 (2)5. 設(shè)，求=? Ans：6. 求在(1,0)的切線方程式與法線方程式。Ans：y=0,x=17. 曲線在x= -1處之切線方程式。Ans：2