復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)_第1頁
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1、1.3 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)反函數(shù)函數(shù)的運算一、復(fù)合函數(shù)(compound function)對于一些函數(shù), 例如, 我們可以把它看成是將代入中而得. 像這樣在一定條件下, 將一個函數(shù)“代入”到另一個函數(shù)中的運算在數(shù)學(xué)上叫做函數(shù)的復(fù)合運算, 由此而得的函數(shù)就叫做復(fù)合函數(shù).其中 例1 因此能夠形成復(fù)合函數(shù)不是任意兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的. 如 及 就不能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù), 因為第一個函數(shù)的定義域與第二個函數(shù)的值域其交集為空集. 換句話說, 第二個函數(shù)當(dāng)自變量在定義域內(nèi)任取一值, 對應(yīng)函數(shù)值都使得第二個函數(shù)無意義.復(fù)合函數(shù)不僅可以有一個中間變量, 還可以有多個中間變量. 如函數(shù),

2、可看作由, 及復(fù)合而成, 其中為中間變量.二、反函數(shù)(inverse function) 反函數(shù).那么把看成自變量, 看成因變量, 由函數(shù)的定義, 就成為的函數(shù), 這個函數(shù)稱之為的反函數(shù), 記, 其定義域是, 值域是. 按照習(xí)慣, 我們總是取為自變量, 為因變量, 這樣函數(shù)的反函數(shù)就寫成:.如果把與其反函數(shù)的圖形畫在同一坐標(biāo)平面上, 那么這兩個圖形關(guān)于 圖1-3直線對稱（如圖1-3所示）. 顯然, 也是的反函數(shù), 或者說, 與是互為反函數(shù), 前者的定義域與后者的值域相同, 前者的值域與后者的定義域相同.定理（反函數(shù)存在定理）：單調(diào)函數(shù) f 必存在單調(diào)的反函數(shù) ，且此反函數(shù)與 f 具有相同的單調(diào)性.一個函數(shù)在定義域內(nèi)不一定有反函數(shù),但在其每一個單調(diào)區(qū)間上一定有反函數(shù).例2 函數(shù),的直接反函數(shù)為，它的矯形反函數(shù)為，其反函數(shù)的定義域為，值域為 例3 函數(shù)在定義域內(nèi)沒有反函數(shù),但在單調(diào)區(qū)間和內(nèi)分別有反函數(shù)和.三、函數(shù)的運算，可以定

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