處理球的“內(nèi)切”“外接”問題

1、處理球的“內(nèi)切”“外接”問題一、正多面體（即各個(gè)面都是全等的正多邊形）的內(nèi)切、外接球球心一定重合。例：1.正六面體（即正方體）：球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)。設(shè)正方體的棱長為，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）外接球半徑；（3）與棱相切的球半徑。（1）截面圖1為正方形的內(nèi)切圓，得；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖2作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。圖1圖2圖3（3） 正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖3，以對(duì)角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。2.正四面體（四個(gè)面全等的正三棱錐）設(shè)高為h，內(nèi)切球半徑為r,外接球半徑為R。內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合

2、的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為r=，R= ，R=3r.例.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 分析：（方法一）使用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為在中，即，得，得（方法二）正四面體四個(gè)面全等，是一種側(cè)棱與底面邊長都相等的特殊正三棱錐。能夠用補(bǔ)形法補(bǔ)成正方體，取正方體的六條面對(duì)角線為正四面體棱長，再由正方體外接球球心在體對(duì)角線上來求出半徑。 二、構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題1、正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，

3、由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。(直棱柱球心在上下底面外心連線的中點(diǎn)處)例1 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個(gè)球的體積為 .解 設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有 正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.外接球的半徑.小結(jié) 本題是使用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.2、長方體的外接球球心也在體對(duì)角線中點(diǎn)，直徑等于體對(duì)角線長。無內(nèi)切球，因最多與長方體5個(gè)面相切。例2 已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A. B. C. D.解

4、 設(shè)正四棱柱的底面邊長為，外接球的半徑為，則有，解得.這個(gè)球的表面積是.選C.例3.已知底面邊長為正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱的高為，由中，得，圖1三、棱錐的內(nèi)切、外接球問題普通的正棱錐的內(nèi)切、外接球心都在高線上，但不重合。 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就能夠?qū)⑦@個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑

5、.設(shè)其外接球的半徑為，則有.例5 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 .（補(bǔ)形法）解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱錐能夠補(bǔ)成一個(gè)棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為，則有.故其外接球的表面積.例6 正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為 . （尋求軸截面圓半徑法）解 設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得.又，球心必在所在的直線上.的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由，得.是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.

6、小結(jié) 根據(jù)題意，我們能夠選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).（確定球心位置法）例7 在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為 A. B. C. D.解 設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知.點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑.故.選C.練習(xí)：1.（球內(nèi)接正四面體問題）一個(gè)四

7、面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 2. （球內(nèi)接長方體問題）一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為 。3設(shè)是球面上的四點(diǎn),且兩兩互相垂直,若,則球心到截面的距離是 .4.（球內(nèi)接正三棱錐問題）在正三棱錐中，側(cè)棱，側(cè)棱，則此正三棱錐的外接球的表面積為 5.（球內(nèi)接棱柱問題） 若一個(gè)底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)平面上，則此球的體積為 6.（正三棱柱內(nèi)切球、外接球問題）一個(gè)正三棱柱恰好有一個(gè)內(nèi)切球(球與三棱柱的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切)和一個(gè)外接球(球經(jīng)過三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)),則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為 。7.（球內(nèi)接正四棱錐問題）半徑為的球內(nèi)接一個(gè)各棱長都相等的正四棱錐則四棱錐的體積為 8.（正三棱錐球內(nèi)切問題） 正三棱錐的高為3，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切則球的表面積與體積分別為 9. 三棱錐的兩條棱,其余各棱長均為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑