2017-2018學年高中數(shù)學第03章直線與方程專題3.1.2兩條直線平行與垂直的判定試題

1、3.1. 2 兩條直線平行與垂直的判定一、兩直線平行1特殊情況下的兩條直線平行的判定兩條直線中有一條直線沒有斜率，當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為 ，故它們互相平行 .2兩條直線的斜率都存在時，兩條直線平行的判定兩條直線都有斜率而且不重合時，如果它們平行，那么它們的 相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們 ，即 l1l2 k1 k2 .證明如下 ：設兩條直線 l1, l2 的斜率分別為 k1,k2 .如果l l ( 如圖) ，那么它們的傾斜角相等，即 1 2 . tan 1 tan 2 , k1 k2 .1 2反過來，如果兩條直線的斜率相等，即k k , 那么 tan 1 t

2、an 2 .1 2由于 0 1 180 ( 1 90 ),0 2 180 ( 2 90 ) ， 1 2 .又兩條直線不重合， l1l 2二、兩直線垂直1特殊情況下的兩條直線垂直的判定當兩條直線中有一條直線沒有斜率，另一條直線的斜率為 0 時，即一條直線的傾斜角為 ，另一條直線的傾斜角為 時，兩條直線互相垂直 .2兩條直線的斜率都存在時，兩條直線垂直的判定如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于 ；反之，如果兩條直線的斜率之積等于 - 1，那么它們互相 ，即 l1l2 k1k2 = 1 .證明如下：設兩條直線 l1 與l2 的傾斜角分別為 1 與 2如果l l , 這時 1

3、2 . 否則 1 2 , 則l1l2 , 與 l1l2 相矛盾1 2設 2 1 ( 如下圖 ) ，圖(1) 的特征是l 與l2的交點在 x 軸上方；1圖(2) 的特征是 l1與l2的交點在 x 軸下方；圖(3) 的特征是l 與l2的交點在 x 軸上，無論哪種情況下都有 1 90 21l1 , l2 的斜率分別是 k1 ,k2 , 且 1 90 ， 2 0tan tan(90 )1 21tan2 k11k2, 即 k1k2 = 1反過來，若k11k21，即 k1k2 = 1. 不失一般性，設 k1 0，則 tan 1 tan(90 2 )tan2, 即1 90 2 ,l1l2 .K 知識參考答案

4、：一、 190 2 斜率 平行二、190 0 2 -1 垂直K重點 兩條直線的平行、垂直關系，根據(jù)直線的位置關系求參數(shù)K難點 兩條直線平行與垂直的綜合應用K易錯 忽略直線斜率的存在性致錯1兩條直線的平行關系在判斷兩條直線是否平行時，首先應判斷直線的斜率是否存在，然后根據(jù)斜率的關系進行判斷，同時不要漏掉兩條直線重合的情況 .【例 1】 根據(jù)下列給定的條件，判斷直線 l 1 與直線 l 2 是否平行 .(1) l 1 經(jīng)過點 (2 ，1) ，B( 3，5) ，l 2 經(jīng)過點 C(3 ，3) ，D(8 ，7) ；(2) l 1 經(jīng)過點 E(0 ，1) ，F(xiàn)( 2，1) ，l 2 經(jīng)過點 G(3 ，4

5、) ，H(2 ，3) ；(3) l 1 的傾斜角為 60 ，l 2 經(jīng)過點 ， ；(4) l 1 平行于 y 軸， l 2 經(jīng)過點 P(0 ，2) ，Q(0 ，5).【解析】 (1) 由題意知，5 1 4 7 3 4k k ，所以直線 l，1 23 2 5 8 3 51 與直線 l 2 平行或重合，又5 3 4 4k ，故 lBC3 3 3 51l 2.(2) 由題意知，1 1 3 4k k ，所以直線 l，1 11 22 0 2 31 與直線 l 2 平行或重合，又4 1k 1 ，故直線 lFG3 21 與直線 l 2 重合 .(3) 由題意知，2 3 3k k ，則 k1k2，tan 60

6、 3 31 22 1所以直線 l 1 與直線 l 2 平行或重合 .(4) 由題意知 l 1 的斜率不存在，且不是 y 軸，l 2 的斜率也不存在，恰好是 y 軸，所以 l 1l 2.2兩條直線的垂直關系判斷兩條直線是否垂直的依據(jù)是：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于 - 13即可，但應注意有一條直線與 x 軸垂直，另一條直線與 x 軸平行或重合時，這兩條直線也垂直 .【例 2】 根據(jù)下列給定的條件 , 分別判斷直線 l 1 與 l 2 是否垂直 :(1) l 1 經(jīng)過點 A(1,3), B( - 1, - 1), l 2 經(jīng)過點 C(2,1), D(4,0);(2)

7、l 1 經(jīng)過點 E( - 1,3), F( - 1, - 5), l 2 經(jīng)過點 G(2,4), H( - 1,4);(3) l 1 的傾斜角為 30 , l 2 經(jīng)過點 M(1, ), N(2,0);(4) l 1 經(jīng)過點 P(2, - 1), Q(3,4), l 2 經(jīng)過點 R(5,2), S(0,1).【思路點撥】 若斜率均存在， 求出斜率， 利用l1l2 k1k2 1進行判斷， 注意數(shù)形結合及斜率不存在的特殊情況 .3根據(jù)直線的位置關系求參數(shù)已知兩直線平行或垂直求解參數(shù)的相關問題時，首先需考慮直線的斜率是否存在，若斜率都存在，則依據(jù)斜率間的關系求解；若斜率不存在，則需注意特殊情形 .

8、此外，已知兩直線垂直求解參數(shù)時，還需注意斜率是否為零 .【例 3】 已知直線l 經(jīng)過點 A(3, a), B(a 1,2) , 直線 l2 經(jīng)過點 M (1,2), N( 2,a 2) .1（1）若 l1l2 , 求 a 的值;（2）若l l , 求 a 的值.1 2【解析】 由題意知直線a 2 2 al 的斜率存在且 k2 .22 1 3（1）若 l1l2 , 則直線 l1 的斜率也存在 , 又 k12 a 2 aa 1 3 a 4,由k k , 得1 22aa a4 3, 解得 a 1或 a 6.經(jīng)檢驗 , 當a 1或a 6時,l l .1 2（2）若1l l ，當 k2 0 時, a 0

9、, k1 , 不符合題意 ;1 22當k2 0 時, 直線 l2 的斜率存在且不為 0, 則直線 l1 的斜率也存在，且 k1k2 1, 即a 2 a3 a 41, 解得a 3或 a 4 .經(jīng)檢驗，當 a 3或a 4 時，l l .1 2【例 4】 已知點 A( -2，-5) ，B(6 ，6) ，點 P在 y 軸上，且 APB=90 ，則點 P的坐標為A(0 ，-6) B(0 ，7)C(0 ，-6) 或(0 ，7) D( -6，0) 或(7 ，0)【答案】 C4兩直線平行和垂直的綜合應用利用直線平行與垂直的條件判斷三角形或四邊形的形狀是常見題型，同時要熟知各種圖形的特點及判定方法. 證明兩直線

10、平行時，僅有斜率相等是不夠的，注意排除兩直線重合的情況 .【例 5】已知 A(0,1), B(1,0), C (3,2), D (2,3) , 試判斷四邊形 ABCD的形狀 .【解析】 由題意，可得0 1 3 2 2 0 3 1k 1,k 1,k 1,k 1,AB CD BC DA1 0 2 3 3 1 2 0 ,k k k k .AB CD BC DAABC D, BCD A.四邊形 ABCD為平行四邊形 .5又 1 k k , AB BC直線 AB與 BC垂直，即 ABC=90 .四邊形 ABCD為矩形 .【思路點撥】 畫圖直觀猜想四邊形 ABCD是矩形 . 要說明四邊形 ABCD為矩形，

11、 只要計算 , , ,k k k k ,AB CD BC DA再結合兩條直線平行、垂直的判定求解即可 .5忽略直線斜率的存在性致錯【例 6】已知 A( m 3,2), B( 2m 4,4), C( m, m), D (3,3 m 2) , 若直線 ABCD ，求 m 的值.【錯解】 由斜率公式知，kAB4 2 22m 4 ( m 3) (m 1), 3m 2 m 2(m 1)kCD3 ( m) m 3. ABCD , 1k k ，即AB CD2 2(m 1)(m 1) m 31，解得 m=1,m的值為 1.【錯因分析】 漏掉了直線斜率不存在的情況 .【正解】 A, B兩點縱坐標不相等， AB與

12、 x 軸不平行 .ABC D, C D與 x 軸不垂直， m 3,m 3 .當 AB與 x 軸垂直時， m 3 2m 4, 解得 m 1, 而 m 1時， C, D縱坐標均為 1，則 C Dx 軸，此時 ABC D, 滿足題意 .當 AB與 x 軸不垂直時，由斜率公式知，kAB4 2 22m 4 ( m 3) (m 1),kCD3m 2 m 2(m 1)3 ( m) m 3.ABC D, 1k k , 即AB CD2 2(m 1)(m 1) m 31, 解得 m=1.綜上， m的值為 1 或 1.【誤區(qū)警示】 對于含有參數(shù)的直線垂直問題，要分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，避免漏解 .1下列

13、命題：若兩條不重合的直線斜率相等，則它們平行；若兩直線平行，則它們的斜率相等；若兩直線的斜率之積為 - 1，則它們垂直；若兩直線垂直，則它們斜率之積為 -1. 其中正確的為A BC D以上全錯2直線l 的斜率為 2，l1l2 ，直線 l12 過點 1, 1 ，且與 y 軸交于點 P，則 P點坐標為A 3,0 B 3,0C 0, 3 D 0,33若直線 l 經(jīng)過點 ( a- 2，-1) 和( -a- 2，1) ，且與斜率為23的直線垂直，則實數(shù) a 的值是A23B32C23D324以 A(5 ，- 1) ，B(1 ，1) ，C(2 ，3) 為頂點的三角形是A銳角三角形 B鈍角三角形C以 A為直角

14、頂點的直角三角形 D以 B為直角頂點的直角三角形5已知 A( - 4,2) ，B(6 ，-4) ，C(12 ，6) ，D(2 ，12) ，則下面四個結論： ABC D；ABAD；ACBD；ACB D中正確的個數(shù)為A1 B2C3 D46若不同兩點 P，Q 的坐標分別為 a,b ， 3 b,3 a a b 3 ，則線段 PQ的垂直平分線的斜率為_.7若 l 1 過點 A( m,1) ，B( - 3,4) ，l 2 過點 C(0,2) ，D(1,1) ，且l l ，則 m=_.1 28(1) 已知直線 經(jīng)過點 經(jīng)過點 3R 2, , 25S 0, , 試判斷 與 是否平行 ?2(2) 若 的傾斜角為

15、 45 , 經(jīng)過點 , 問 與 是否垂直？729當 m為何值時，過 A(1 ，1) ，B(2 m1，m-2) 兩點的直線：（1）傾斜角為 135 ；（2）與過兩點 (3 ，2) ，(0 ，- 7) 的直線垂直；（3）與過兩點 (2 ，-3) ，( - 4，9) 的直線平行？10已知 A(1 ，5) ，B( -1，1) ，C(3 ，2) ，若四邊形 ABCD是平行四邊形，求 D點的坐標11若直線 l1,l2 的斜率是方程2 3 1 0x x 的兩根，則 l1 與 l 2 的位置關系是A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直12已知經(jīng)過點 A(3, n), B(5, m) 的直線 l 1 與經(jīng)過點 P

16、( -m,0), Q(0, n 2)( mn0) 的直線 l2)( mn0) 的直線 l2 平行, 則mn的值為A-1 B-2C-1 或 2 D-2 或 113在平面直角坐標系中 , 四邊形 OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為 O(0,0) 、P(1, t ) 、Q(1 - 2t ,2 +t) 、R( - 2t ,2), 其中 t 0. 試判斷四邊形 OPQR的形狀 .1 2 3 4 5 11 12B D A D C D C1【答案】 B【解析】顯然正確 . 對于， 當兩直線都垂直于 x 軸時，它們互相平行，但斜率不存在，所以錯誤；對于，當一條直線的斜率為 0，一條直線的斜率不存在時，它們互

17、相垂直，不滿足斜率之積為 - 1，所以錯誤 . 故選 B.2【答案】 D【解析】 k1=2，l l ， k1 2 2=2.設 P 0, y ，則y 1k y ， y=3，即 P 0,3 .1 220 15【答案】 C【解析】由題意得4 2 3 12 6 3 12 2 5k ,k ,k ,AB CD AD6 ( 4) 5 2 12 5 2 ( 4) 3kAC6 212 ( 4)14,12 ( 4)k 4，所以 ABC D，ABAD，ACBD.BD2 66【答案】 1【解析】因為kPQ33a bb a1，所以線段 P Q的垂直平分線的斜率為 1.97【答案】 0【解析】 l 1l 2 ，且2 1k 1， k120 14 13 m1，m=0.8【解析】 (1) 5 3 0 6 1 , 2 2 1k k , MN RS3 15 2 0 2 2l l . 1 2l l .6 1k tan 45 1,k 1,k k 1, . (2) 1 2 1 23 210【解析】設 D( x，y) ，則1 5k 2，AB1 1kCDyx23，kADyx51，2 1 1k ，BC3 ( 1) 4由 ABC D，得yx232，即 y=2x-4.