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1、下面圖片中,哪些是平行四邊形?你是怎樣判斷的?,回顧舊知,平行四邊形的主要特征,1邊: a平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行 b平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等 2角:平行四邊形兩組對(duì)角分別相等 3對(duì)角線: 平行四邊形對(duì)角線互相平分 .,怎樣證明對(duì)邊相等或?qū)?線相等或?qū)蔷€互相平分的四 邊形是不是平行四邊形?,【知識(shí)與能力】 系統(tǒng)掌握平行四邊形的判定定理; 靈活運(yùn)用判定定理進(jìn)行有關(guān)判斷和說理敘述 【過程與方法】 通過平行四邊形判定定理的歸納與說理,培養(yǎng)的歸納推理能力,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性; 通過嘗試練習(xí)和變式嘗試,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力 【情感態(tài)度與價(jià)值觀】 通過平行四邊形判定方法的靈活運(yùn)用,培養(yǎng)主動(dòng)探

2、索的精神及創(chuàng)新意識(shí); 通過一題多變與一題多解,引發(fā)求異創(chuàng)新的欲望,重點(diǎn): 平行四邊形的判定方法及應(yīng)用 難點(diǎn): 平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用,張師傅手中有一些木條,他想通過適當(dāng)?shù)臏y(cè)量、割剪,釘制一個(gè)平行四邊形框架,你能幫他想出一些辦法來嗎?并說明理由,A,C,B,D,ABCD ADBC,證明:連接AC AB=CD,AD=BC,ACAC ACDCAD(SSS) CABDCA ABCD 同理,CADACB ADBC 四邊形ABCD為平行四邊形,上述問題可歸結(jié)為: 已知:在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC 求證:四邊形ABCD為平行四邊形,將兩根木條AC,BD的中點(diǎn)重疊,并用釘子固

3、定,再用一根橡皮筋繞端點(diǎn)A,B,C,D圍成一個(gè)四邊形ABCD 想一想,AOBCOD嗎?四邊形ABCD的對(duì)邊之間有什么關(guān)系?你得到什么結(jié)論?,A,C,B,O,D,AOBCOD ,BACACDABCD,CADACBADBC,同理,BOCAOD ,四邊形ABCD是平行四邊形,結(jié)論:兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.,平行四邊形判定方法1 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 平行四邊形判定方法2 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,證明:四邊形ABCD是平行四邊形, ADBC,ABDC,DB E,F(xiàn)分別是邊AB,CD的中點(diǎn), BEDF ADFCBE AFCE 又AECF 四邊形AECF是平行四

4、邊形,小練習(xí),證明:四邊形ABCD是平行四邊形 OAOC,ADBC, AEFCFE 又AOECOF AOECOF OEOF 四邊形AECF是平行四邊形.,證明:作對(duì)角線BD,交AC于點(diǎn)O 四邊形ABCD是平行四邊形 BO=DO 又 EO=FO 四邊形BFDE是平行四邊形,已知:E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),并且OE=OF 求證:四邊形BFDE是平行四邊形,D,O,A,B,C,E,F,小練習(xí),O,四邊形ABCD是平行四邊形 AO=CO,BO=DO AE=CF AOAE=COCF EO=FO 又 BO=DO 四邊形BFDE是平行四邊形,證明:連接對(duì)角線BD,交AC于點(diǎn)O,【例2】已

5、知:E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),并且AE=CF 求證:四邊形BFDE是平行四邊形,還有其他證明方法嗎?,AE=CF EAD=FCB AD=BC,證明:四邊形ABCD是平行四邊形 AD BC且AD =BC EAD=FCB 在AED和CFB中,AED CFB(SAS) DE=BF 同理可證:BE=DF 四邊形BFDE是平行四邊形,已知:E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)滿足什么條件時(shí),四邊形BFDE是平行四邊形?,已知:如圖,ABBA,BCCB, CAAC 求證: (1) ABC=B, CAB=A, BCAC; (2) ABC的頂點(diǎn)分別是BCA各邊的 中點(diǎn),

6、小練習(xí),證明:(1) ABBA,CBBC, 四邊形ABCB是平行四邊形 ABCB(平行四邊形的對(duì)角相等) 同理CABA,BCAC (2) 由(1)證得四邊形ABCB是平行四邊形同理,四邊形ABAC是平行四邊形 ABBC, ABAC(平行四邊形的對(duì)邊相等) BCAC 同理 BACA, ABCB ABC的頂點(diǎn)A、B、C分別是BCA的邊BC、CA、AB的中點(diǎn),小明用手中六個(gè)全等的正三角形做拼圖游戲時(shí),拼成一個(gè)六邊形你能在圖中找出所有的平行四邊形嗎?并說說你的理由,解:有6個(gè)平行四邊形,分別是: ABOF, ABCO, BCDO, CDEO, DEFO, EFAO 理由是:因?yàn)檎鼳BO正AOF,所以A

7、B=BO,OF=FA根據(jù) “兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”,可知四邊形ABCD是平行四邊形其它五個(gè)同理,取兩根等長(zhǎng)的木條AB、CD,將它們平行放置,再用兩根木條BC、AD加固,得到的四邊形ABCD是平行四邊形嗎?,在一方格紙上,畫一個(gè)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形,步驟1:畫一線段AD 步驟2:平移線段AD到BC,根據(jù)平移的特征,AD、BC有怎樣的關(guān)系?,連結(jié)AB、DC,得到四邊形ABCD,它是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形,C,B,D,A,證明:連接AC ADBC DAC=ACB 又AD=BC,AC=AC, ABCCDA BAC=ACD ABCD 四邊形ABCD是平行四邊形 (兩組對(duì)邊分別

8、平行的四邊形是平行四邊形),已知:在四邊形ABCD中, AD BC 求證:四邊形ABCD是平行四邊形,平行且相等,你還有其他 證法嗎?,在 ABCD中,E、G是AD的三等分點(diǎn),F(xiàn)、H是BC的三等分點(diǎn),則圖中的平行四邊形有_個(gè) .,搶答,6,已知:如圖, ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),求證:BE=DF,小練習(xí),證明: 四邊形ABCD是平行四邊形, ADCB,AD=CD E、F分別是AD、BC的中點(diǎn), DEBF,且DE=AD,BF=BC DE=BF 四邊形BEDF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形) BE=DF,一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,平行四邊形的判定定

9、理3:,符號(hào)語言:,AB CD,四邊形ABCD是平行四邊形,【例3】已知:如圖, ABCD中,E、F分別是AC上兩點(diǎn),且BEAC于E,DFAC于F 求證:四邊形BEDF是平行四邊形,證明: 四邊形ABCD是平行四邊形, AB=CD,且ABCD BAE=DCF BEAC于E,DFAC于F, BEDF,且BEA=DFC=90 ABECDF (AAS) BE=DF 四邊形BEDF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形),已知:四邊形ABCD, A=C,B=D 求證:四邊形ABCD是平行四邊形,證明:,四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形),同理可證ABCD,又

10、A+ B+ C+ D =360 , 2A+ 2B=360 ,A=C,B=D(已知),即A+ B=180 , ADBC (同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行),兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形,平行四邊形的判定定理4:,符號(hào)語言:,A=C,B=D,,四邊形ABCD是平行四邊形,已知:如圖,ACED,點(diǎn)B在AC上,且AB=ED=BC, 找出圖中的平行四邊形,并說明理由,四邊形ABDE和四邊形BCDE是平行四邊形. 理由:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形,小練習(xí),已知:如圖,在 ABCD中,AE、CF分別是 DAB、BCD的平分線 求證:四邊形AFCE是平行四邊形,提示:利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊

11、形平行四邊形”,小練習(xí),【例4】:如圖,點(diǎn)D、E、分別為ABC邊AB、AC的中點(diǎn),求證:DEBC且DE= BC,方法1:如圖(1),延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE,連接CF,由ADECFE,可得ADFC,且AD=FC,因此有BDFC,BD=FC,所以四邊形BCFD是平行四邊形所以DFBC,DF=BC,因?yàn)镈E= DF,所以DEBC且DE= BC,F,方法2:如圖(2),延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE,連接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四邊形ADCF是平行四邊形所以ADFC,且AD=FC因?yàn)锳D=BD,所以BDFC,且BD=FC所以四邊形ADCF是平行四邊形所以DFBC,且DF=BC,因?yàn)镈E=

12、DF,所以DEBC且DE= BC,F,三角形的中位線 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線,答: (1)一個(gè)三角形的中位線共有三條; (2)三角形的中位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點(diǎn)不同中位線是中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線;中線是頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線,(1)一個(gè)三角形的中位線共有幾條? (2)三角形的中位線與中線有什么區(qū)別?,三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系?,答:三角形的中位線與第三邊的關(guān)系:三角形的中位線平行與第三邊,且等于第三邊的一半,三角形中位線的性質(zhì) 三角形的中位線平行與第三邊,且等于第三邊的一半,利用這一定理,你能證明出在前面思考題中分割出來的四個(gè)小三角形全等嗎?并說明理由.,A,B,

13、C,現(xiàn)有一塊等腰直角三角形鐵板,要求切割一次焊接成一個(gè)含有45角的平行四邊形 (不能有 余料), 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案,并說明該方案 正確的理由,C,A,B,F,D,C,A,B,E,A,B,C,F,如圖,A、B兩點(diǎn)被池塘隔開,在AB外選一點(diǎn)C,連結(jié)AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N,如果測(cè)得MN=20 m,那么A、B兩點(diǎn)的距離是_m,理由是_,40,中位線等于第三邊的一半,搶答,如圖,ABC中,D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn), (1)若EF=5cm,則AB=_cm;若BC=9cm,則DE=_cm; (2)中線AF與DE中位線有什么特殊的關(guān)系?證明你的猜想,10,4.5,搶答,三角

14、形的周長(zhǎng)為18cm,它的三條中位線圍成 的三角形的周長(zhǎng)是多少?為什么?,小練習(xí),9cm; 三角形的中位線平行與第三邊,且等于第三邊的一半,已知:在 ABCD中,E,F(xiàn)分別是AD,BC的中 點(diǎn),M,N在CB,AD的延長(zhǎng)線上,且 BM=DN 求證:EM=FN,小練習(xí),證明:四邊形ABCD是平行四邊形, ANBC且ANBC E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點(diǎn) DEBF, BM=DN ENMF四邊開有EMFD為平行四邊形 EM=FN,(1)已知:如圖,在四邊形ABCD中,E、F、 G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn) 求證:四邊形EFGH是平行四邊形,小練習(xí),證明:連結(jié)AC,DAG中, AH=HD,CG

15、=GD, HGAC,HG=AC (三角形中位線性質(zhì)) 同理EFAC,EF=AC HGEF,且HG=EF 四邊形EFGH是平行四邊形,結(jié)論:順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊形是平行四邊形,平行四邊形的判定方法,從邊來判定,兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,從角來判定,兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形,從對(duì)角線來判定,兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,1下列四邊形哪些是平行四邊形?為什么?,A,D,C,B,110,70,110,A,B,C,D,120,60,5,5,2根據(jù)下列條件,不能判定一個(gè)四邊形為平行 四邊形的是( ) A兩組對(duì)邊分別相等 B兩條對(duì)角線互相平分 C兩條對(duì)角線相等 D兩組對(duì)邊分別平行,C,3如圖四邊形ABCD中,AB/CD,只需添加 一個(gè)條件,能使四邊形ABCD是平行四邊 形,現(xiàn)有條件:AB=CD,BC=AD, AD/BC,ABC=ADC, 這些條件中,滿足要求的有( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè),C,4在下列條件中,不能判定四邊形是平行四邊形 的是( ) AABCD,ADBC B AB=CD,AD=BC CABCD,AB=CD D ABCD,AD=BC,D,C,5如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC

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