普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試(安徽卷)

1、年普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷第至第頁，第卷第至第頁。全卷滿分分，考試時(shí)間分鐘。考生注意事項(xiàng)：1 答題前，務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致。務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號(hào)后兩位。2 答第卷時(shí)，每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。3 答第卷時(shí)， 必須使用0.5 毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出

2、，確認(rèn)后再用0.5 毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在答題卷、草稿紙上答題無效。4 考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交。第卷（選擇題共分）一、選擇題：本大題共個(gè)小題；每小題分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（）設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2i 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1i（）第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限（）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（） ycosx （） y sin x （） yl n x （） y x21（）設(shè) p :1x 2, q : 2x1 ，則是成立的（）充分不必要條件（）必要不充

3、分條件（）充分必要條件（）既不充分也不必要條件1 / 11、下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y 軸上且漸近線方程為y 2x 的是（）（） x2y 21（） x2y21（） y2x21（） y2x214444、已知 m ，n 是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）（）若，垂直于同一平面，則與平行（）若 m ， n 平行于同一平面，則m 與 n 平行（）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線（）若 m ， n 不平行，則m 與 n 不可能垂直于同一平面、若樣本數(shù)據(jù)x1 ， x2 ， x10 的標(biāo)準(zhǔn)差為8 ，則數(shù)據(jù) 2x11， 2x21， 2x101的標(biāo)準(zhǔn)差為（）（） 8（） 15（） 16（）

4、32、一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）（） 13（） 23（） 12 2（） 22、c 是邊長為 2 的等邊三角形，已知向量a ， b 滿足2a ，c2ab ，則下列結(jié)論正確的是（）2 / 11（） b1（） ab（） a b1（） (4 ab)bc、函數(shù)fxaxb2 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）xc（） a0 ， b0 ， c 0（） a0 ， b0 ， c 0（） a0 ， b0 ， c 0（） a0 ， b0 ， c 0、已知函數(shù) fxsin x（，均為正的常數(shù)） 的最小正周期為，當(dāng) x2時(shí)，3函數(shù) fx取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（）（） f 2f2f

5、0（） f 0f 2f2（） f2f 0f 2（） f 2f 0f2第二卷（非選擇題共分）二填空題：本大題共小題，每小題分，共分。. (x31 )7 的展開式中 x3 的系數(shù)是（用數(shù)字填寫答案）x12.在極坐標(biāo)中，圓8sin上的點(diǎn)到直線(r) 距離的最大值是3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖（算法流程圖），輸出的 n 為3 / 1114.已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列， a2 a49, a2a3 8 ，則數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和等于. 設(shè) x3axb 0 ，其中 a, b 均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是（寫出所有正確條件的編號(hào)）(1)a3,b3 ； (2) a3,b 2 ；

6、(3)a3,b 2 ； (4) a 0,b 2 ; (5) a 1,b 2 .三.解答題：本大題共小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。.（本小題滿分分）在abc 中，a3, ab6, ac3 2 ，點(diǎn)在 bc 邊上， adbd ，求 ad 的長。4.（本小題滿分分）已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束。（）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；（）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元，設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元） ，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)

7、期望）（）（本小題滿分分）設(shè) nn * ， xn 是曲線 yx2n 21 在點(diǎn) (1，2) 處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，4 / 11（）求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式；（）記 tnx12 x32x22n 1 ，證明 tn1.4n.（本小題滿分分）如圖所示，在多面體a1b1d1 dcba 中，四邊形aa1b1b ， add1 a1 , abcd 均為正方形，e 為b1 d1 的中點(diǎn)，過 a1, d , e 的平面交 cd1 于（）證明： ef / / b1c（）求二面角ea1db1 余弦值 .（20）（本小題滿分分）設(shè)橢圓的方程為x2y21 a b 0 ，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為a，0，點(diǎn)的坐標(biāo)為a2b

8、20，b ，點(diǎn)在線段上，滿足bm 2 ma ，直線的斜率為5.10（）求的離心率e ；（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為0， b ，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7 ，求的方程 .2. （本小題滿分分）設(shè)函數(shù)f ( x)x2axb .（）討論函數(shù)f (sin x)在 (-,) 內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值；225 / 11（）記 f0 ( x) x2a0xb0 ,求函數(shù) f (sin x) f 0(sin x) 在 , 上的最大值；a2 滿足 d22（）在（）中，取a0 b00,求 z b1時(shí)的最大值。46 / 11參考答案一選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題分，滿分分。（）（

9、）（）（）（）（）（）（）（）（）二填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題分，共分。（）（）（）（） 2n1（）三解答題：本大題共小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)。（）（本小題滿分分）解：設(shè) abc 的內(nèi)角 a, b, c 所對(duì)邊的長分別是a,b, c由余弦定理得 a2b2c22bc cosbac(32) 2622326cos341836(36)90所以 a 3 10又由正弦定理得 sin bb sinbac310a3 1010由題設(shè)知 0 b，所以 cos b1sin 2 b1131041010在 abd 中，由正弦定理得adab sin

10、b6sin b3sin(2b)2sin b cos b10cos b（）（本小題滿分分）解：（）記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件，a21 a313p( a)10a52（）的可能取值為7 / 11p(a221200)10a52p(a33c21c31 a223300)a5310p(400) 1p(200)136p(300) 1101010故的分布列為p136101010e200136350300104001010（）（本小題滿分分）（）解： y( x2n2 1)(2 n2) x2n 1 ，曲線 yx2 n 21在點(diǎn)（）處的切線斜率為2n 2 ，從而切線方程為y2(2 n2)(

11、 x1)令 y0，解得切線與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn11nn1 n1（）證：由題設(shè)和（）中的計(jì)算結(jié)果知tx2 x2.x2( 1) 2 ( 3) 2.( 2n1)2n132n 1242n當(dāng) n1 時(shí)， t114當(dāng) n2 時(shí)，因?yàn)?x2n21( 2n 1) 2(2 n1)2(2 n1)21 2n 2n12n(2 n) 2(2 n) 22nn所以 tn( 1) 212 .n11223n4n綜上可得對(duì)任意的nn *，均有 tn14n（）（本小題滿分分）（）證：由正方形的性質(zhì)可知a1b1 / ab / dc ，且 a1b1abdc ，所以四邊形a1b1cd 為平行四邊形，從而b1c / a1 d ，又 a

12、1d面 a1de ， b1c面 a1 de ，于是 b1c / 面 a1de ，又 b1c面b1cd1 ，面 a1de面 b1cd1ef ，所以ef / b1c8 / 11（）解：因?yàn)樗倪呅蝍a1b1b, add1 a1 , abcd 均為正方形，所以aa1ab , aa1ad, abad ，且 aa1abad ，以為原點(diǎn)，分別以ab, ad, aa1 為 x 軸， y 軸和 z 軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)a(0,0,0)，b(1,0,0)，d (0,1,0)，a1 (0,0,1), b1 (1,0,1), d1 (0,1,1)，而 e 點(diǎn)為 b1 d1 的中點(diǎn)，所

13、以 e 點(diǎn)的坐標(biāo)為（）設(shè)面 a1 de 的法向量 n1 (r1, s1 ,t1 ) ，而該面上向量a1 e （）， a1d （，），由 n1a1e ，n1a1d 得 r1, s1 ,t1 應(yīng)滿足的方程組0.5r10.5s10,s1t10,（）為其一組解，所以可取n1 （）設(shè)面 a1 b1cd 的法向量 n2(r2 , s2 , t2 ) ，而該面上向量a b（）， a d （，），由此同理可111得 n2(0,1,1)所以結(jié)合圖形知二面角ea1d b1 的余弦值為| n1n2 |26| n1 | | n2 |32 3（）（本小題滿分分）解：（）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為( 2 a, 1 b) ，

14、又 kom5，從而b5，33102a10進(jìn)而得 a5b, ca2b22b ，故 ec25a5（）由題設(shè)條件和（）的計(jì)算結(jié)果可得，直線 ab 的方程為xy1，點(diǎn)的坐標(biāo)為 (5 b,1 b) ，5bb229 / 11設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,7)，2則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 5 bx1 ,1 b7 ) ，又點(diǎn)在直線上，且 kns k ab1，42445 bx11 b742441,5bb解得 b 3從而有712b25,5 bx12所以 a3 5，故橢圓的方程為x2y24519（）（本小題滿分分）解：（） f (sin x)sin 2 xa sin xbsin x(sin x a)b,x22

15、 f (sin x)(2sin xa)cos x,x22因?yàn)?x，所以 cos x0, 22sin x 22 a2,br 時(shí)，函數(shù) f (sin x) 單調(diào)遞增，無極值 a2,br 時(shí)，函數(shù) f (sin x) 單調(diào)遞減，無極值對(duì)于2a 2，在 (,) 內(nèi)存在唯一的x0 ，使得 2sin x0a ，222xx0 時(shí)，函數(shù)f (sin x) 單調(diào)遞減；x0x2時(shí)，函數(shù) f (sin x) 單調(diào)遞增因此2a2 ， br 時(shí)，函數(shù) f (sin x) 在 x0 處有極小值f (sin x0 )f ( a )ba224（）x2時(shí)， | f (sin x)f0 (sin x) | (a0a)sin xb b0 | | aa0 | |b