線性代數(shù)線性相關(guān)性判定定理.ppt

1、,3.3 線性相關(guān)性判定定理,定理1向量組 （當(dāng) 時(shí)）線性相關(guān) 的充分必要條件是 中至少有一個(gè)向 量可由其余 個(gè)向量線性表示,證明,充分性,設(shè) 中有一個(gè)向量（比如 ）能由其余向量線性表示.,即有,故,因 這 個(gè)數(shù)不全為0，,故 線性相關(guān).,必要性,設(shè) 線性相關(guān)，,則有不全為0的數(shù)使,因 中至少有一個(gè)不為0，,不妨設(shè) 則有,即 能由其余向量線性表示.,向量組 （當(dāng) 時(shí)）線性無關(guān) 的充分必要條件是 中任何一個(gè)向 量都不能由其余 個(gè)向量線性表示,定理1的逆否命題,（A） 中有一零向量,（B） 中任意兩個(gè)向量的分量成比例,（C） 中有一向量是其余向量的線性組合,（D） 中任意一個(gè)向量是其余向量的線性組

2、合,例2 若向量組 線性相關(guān)，則 是其余向量的線性組合，這種說法對(duì)嗎？,不對(duì),例如,但 不能寫成其余向量的線性組合,所以線性相關(guān),由于,由定理1知 線性相關(guān),證,設(shè),線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，,k，（否則與線性無關(guān)矛盾）,可由線性表示.,即有,下證唯一性：,兩式相減有,線性無關(guān)，,即表達(dá)式唯一.,設(shè),定理2的逆否命題,設(shè)向量組A： 線性無關(guān)，而向量不能由向量組A線性表示，則向量組B： 線性無關(guān)。,（A）如果存在不全為零的數(shù) 使,則 線性無關(guān),（B）若向量組 線性相關(guān)，,則 可由其余向量線性表示,（C）向量組 線性無關(guān)的充要條件是,不能由其余m1個(gè)向量線性表示。,（D）若 不線性相關(guān)，則一定線

3、性無關(guān),例4 設(shè) 是一組n維向量，則下列結(jié)論正確的是,例5 命題：如果 線性無關(guān)，且 不能由 線性表示則 線性無關(guān)。是否為真命題？,答,此命題為定理2 的逆否命題，所以為真命題,例6 命題：設(shè) 可由 線性表示，且表示法唯一，則 線性無關(guān)。是否為真命題？,證,由已知 可由 線性表示,存在一組數(shù) 使得,設(shè),兩式相加得,因 由 唯一的線性表示,所以,所以,即 線性無關(guān),所以此命題為真命題,證,故存在一組不全為零的數(shù),使,從而,部分相關(guān)則整體相關(guān),整體無關(guān)則部分無關(guān),例7 n維向量組 線性無關(guān)的充要條件是,（A）存在一組不全為零的數(shù),使,（B） 中任意兩個(gè)向量均線性無關(guān),（C） 中存在一個(gè)向量不能由其余向量線性表示,（D） 中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示,例8 設(shè)向量組 線性相關(guān)，向量組 線性無關(guān)，問,能否由 線性表示？證明你的結(jié)論,解,能,因?yàn)?線性無關(guān)，,所以 線性無關(guān),整體無關(guān)則部分無關(guān),而 線性相關(guān),由定理2， 可唯一的由 線性表示,例如,是A的一個(gè)二階子式,定理4當(dāng)rn時(shí)，我們有如下推論,推論1 n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充要條件是它們所構(gòu)成的n階方陣的行列式不等于零。,推論2 n個(gè)方程的n元齊次線性方程組Ax0有非零解的充要條件是系數(shù)行列式,例 討論下列矩陣的行向量組的線性相關(guān)性,解,矩陣A中有3個(gè)2維行向量，由推論3知必線性相關(guān)