階張量的標(biāo)準(zhǔn)形.ppt

1、張量分析 及連續(xù)介質(zhì)力學(xué),2.4 二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形,2.4.1 實對稱二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形,例：已知一點的應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)， 求主應(yīng)力（或主應(yīng)變）。 求二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形問題：相當(dāng)于在矩陣代數(shù)學(xué)中，通過初等變換將一個矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形與求特征值的問題。,總可以化為對角型標(biāo)準(zhǔn)形且主方向互相正交。,2.4.1.1 基本概念,定義 對于一個實對稱二階張量,（gi 是初始坐標(biāo)系的基矢量），必定存在一組正交標(biāo)準(zhǔn)化基 e1，e2，e3，在這組基中，N 化為對角標(biāo)準(zhǔn)形,其對應(yīng)的矩陣是對角形的，即,稱 N1，N2，N3 為張量 N 的主分量，正交標(biāo)準(zhǔn)化基e1，e2，e3 的方向為張量 N 的主軸方向（或主方向），對應(yīng)的

2、笛卡兒坐標(biāo)系稱為張量 N 的主坐標(biāo)系。,2.4.1.2 對稱二階張量的特征方程,設(shè) a，l 分別為 N 的主方向和主分量，則,或,即,N 的特征方程,N 的特征多項式,特征方程的解：特征根,齊次方程組的非零解矢量：特征矢量,2.4.1.3 實對稱二階張量的特征根必為實根,反證法（略）,2.4.1.4 實對稱二階張量主方向的正交性,（1）若l1l2l3,則a1，a2，a3 唯一且互相正交。,（3）若l1=l2=l3,則在空間任一組正交標(biāo)準(zhǔn)化基中N 都化為 對角標(biāo)準(zhǔn)形，稱這種張量為球形張量，記作P。球形張量的 主分量為,（2）若l1=l2l3,則a3及任意的a1，a2 a3 為主方向。在 a3的平

3、面內(nèi)，任取互相垂直的a1，a2 為其中的二個主方向。,2.4.1.5 實對稱二階張量所對應(yīng)的線性變換,2.4.1.6 主分量是當(dāng)坐標(biāo)變換時N 的混合分量對交元素之駐值,條件極值問題,引入拉格朗日乘子l ,求無條件極值問題, 取極值得必要條件是 d=0，即,由 的任意性得,有非零解得條件是,解得l 的三個根，便可求出對應(yīng)的 及相應(yīng)的坐標(biāo) 的方向，即 取駐值的方向。由此可得,2.4.2 非對稱二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形,不一定能化為對角型標(biāo)準(zhǔn)形且主方向不正交。,設(shè)a，l 分別為T 的特征矢量和特征值，則,即,特征方程,由于T 的分量、從而其不變量是實數(shù)，故特征方程是一個 實系數(shù)方程，它必定有一個實根，記作l

4、3。設(shè)l3對應(yīng)的特 征矢量為g3，則,任選與g3 線性無關(guān)的矢量g1，g2，與g3 構(gòu)成一組基矢量，則,進一步，依據(jù)特征方程根的性質(zhì)，選擇g1，g2，將T 化為某種形式的標(biāo)準(zhǔn)形（不一定是對角標(biāo)準(zhǔn)形）。,2.4.2.1 特征方程無重根的情況,（1）特征方程具有3個不等的實根l1,l2亦為實根。 3個不等的實根分別對應(yīng)3個線性無關(guān)的特征矢量g1， g2，g3，它們可構(gòu)成一組基矢量（反證法）。在此坐標(biāo) 系中，T 可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形,（2）特征方程具有一個實根與一對共軛復(fù)根l1,l2為 一對共軛復(fù)根。設(shè),則仍有,式中，與l1,l2 對應(yīng)的特征矢量g1，g2涉及復(fù)數(shù)。為了將T 表示成某種實數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形（

5、不一定是對角標(biāo)準(zhǔn)形）， 可令,在 構(gòu)成的坐標(biāo)系中，T 可以化為實數(shù)形式的標(biāo) 準(zhǔn)形,2.4.2.2 特征方程有重根的情況,由于實系數(shù)方程的復(fù)根必須成對出現(xiàn)，所以對于T 的特征方程有重根的情況，無論有二重根或三重根，它 們都應(yīng)是實根。此時，T 一般可化為約當(dāng)（Jordan）標(biāo) 準(zhǔn)形，這由T 的特征矩陣,的初等因子決定。當(dāng)矩陣 的初等因子都是簡單的 （即一次的）式時， 經(jīng)過初等變換可以化為對交標(biāo) 準(zhǔn)形；當(dāng)矩陣 的初等因子不全是簡單的（即有高于 一次的初等因子）時， 化為幾個約當(dāng)塊按對角排 列構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)形。 無論哪一種情況，當(dāng)特征方程有重根時，特征方向都不唯一。,特征方程具有二重實根（12） （1）特征矩陣的初等因子全為簡單的，即 經(jīng)過初等 變換，可以化為,此時T 可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形,（2）特征矩陣具有2次的初等因子-12以及-)： 經(jīng)過初等變換，可以化為,式中Jn(i)稱為對應(yīng)于特征根i的n階約當(dāng)塊。T 可以化為約 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,求特征矢量：,設(shè),