2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用（十八大題型）含答案

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用（十八大題

型）2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)含答案

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用

LMJ

題型一:決策問(wèn)題

題型二:道路通行問(wèn)題

題型三:保險(xiǎn)問(wèn)題

題型四:概率最值問(wèn)題

題型五:放回與不放回問(wèn)題

題型六:體育比賽問(wèn)題

題型七:幾何問(wèn)題

題型八:彩票問(wèn)題

題型九:納稅問(wèn)題

題型十:疾病問(wèn)題

題型十一:建議問(wèn)題

題型十二:概率與數(shù)列遞推問(wèn)題

題型十三:硬幣問(wèn)題

題型十四：自主選科問(wèn)題

題型十五:高爾頓板問(wèn)題

題型十六：自主招生問(wèn)題

題型十七:順序排位問(wèn)題

題型十八:博彩問(wèn)題

必考題型歸納O

題型一:決策問(wèn)題

&（2023?甘肅蘭州?高三蘭化一中校考期中）據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中達(dá)到

筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否達(dá)

到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為卷，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)

科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為《，?，"，其中0V九＜L

65

（1）若n=￡,分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；

（2）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作

出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié),求九的范圍.

吼2（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專(zhuān)業(yè)隊(duì)，與兩名高山

滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下:業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽,

若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專(zhuān)業(yè)隊(duì)獲勝;若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝;若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平

局，比賽結(jié)束.已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為|■，甲與丙

比賽，甲贏的概率為p,其中

（1）若第一場(chǎng)比賽,業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽.請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排

下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率;若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？

（2）為了激勵(lì)專(zhuān)業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí),勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金6萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元;若平

局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金3.6萬(wàn)元.在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了⑴中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織

預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）的取值范圍.

蒯皂（2023?江西吉安?高三吉安三中校考階段練習(xí)）2020年以來(lái)，新冠疫情對(duì)商品線下零售影響很大.某商

家決定借助線上平臺(tái)開(kāi)展銷(xiāo)售活動(dòng).現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為a（300WaW

500）元時(shí),從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷(xiāo)售量統(tǒng)計(jì)如下，

商品日銷(xiāo)售量（單位:件）678910

甲平臺(tái)的天數(shù)1426262410

乙平臺(tái)的天數(shù)1025352010

假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷(xiāo)售量的概率與表格中相應(yīng)日銷(xiāo)售量的頻率相等，且每天的銷(xiāo)售量互不影響,

（1）求“甲平臺(tái)日銷(xiāo)售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷(xiāo)售

量，其中至少有2天日銷(xiāo)售量不低于8件”的概率；

（2）已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為:每天傭金60元，且每銷(xiāo)售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元;乙平臺(tái)的收費(fèi)方案

為:每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷(xiāo)售商品不超過(guò)8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過(guò)8件的

部分，每件收費(fèi)35元.某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長(zhǎng)期合作,從日銷(xiāo)售收入（單價(jià)X日銷(xiāo)售量-

平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說(shuō)明理由.

?2?

跟蹤訓(xùn)緘（2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校舉行“百科知識(shí)”競(jìng)賽，每個(gè)班選派一位學(xué)生代表參加.某

班經(jīng)過(guò)層層選拔，李明和王華進(jìn)入最后決賽，決賽方式如下:給定4個(gè)問(wèn)題，假設(shè)李明能且只能對(duì)其中3

個(gè)問(wèn)題回答正確，王華對(duì)其中任意一個(gè)問(wèn)題回答正確的概率均為年.由李明和王華各自從中隨機(jī)抽取2

個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答,而且每個(gè)人對(duì)每個(gè)問(wèn)題的回答均相互獨(dú)立.

（1）求李明和王華回答問(wèn)題正確的個(gè)數(shù)均為2的概率；

（2）設(shè)李明和王華回答問(wèn)題正確的個(gè)數(shù)分別為x和y,求x,y的期望E（X）、E（y）和方差。（X）、

。（丫），并由此決策派誰(shuí)代表該班參加競(jìng)賽更好.

跟蹤訓(xùn)藤（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門(mén)長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，可知該地區(qū)每年夏季有小洪

水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.05.今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損

失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失20000元,為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：

方案1：修建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為3000元，但圍墻只能防小洪水；

方案2：修建保護(hù)大壩,建設(shè)費(fèi)為7000元，能夠防大洪水；

方案3：不采取措施

工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？

?3?

題型二:道路通行問(wèn)題

而]1(2023?重慶?高三重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí))9月6日位于重慶朝天門(mén)的來(lái)福士廣場(chǎng)開(kāi)業(yè)，成了網(wǎng)紅

城市的又一打卡勝地重慶育才謝家灣校區(qū)與來(lái)福士之間的駕車(chē)往返所需時(shí)間為T(mén),T只與道路暢通狀

況有關(guān),對(duì)其容量為500的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

T(小時(shí))0.80.911.1

頻數(shù)(次)10015020050

以這500次駕車(chē)往返所需時(shí)間的頻率代替某人1次駕車(chē)往返所需時(shí)間的概率.

⑴記T的期望為E(T),求P(T<E(T))；

(2)某天有3位教師獨(dú)自駕車(chē)從謝家校區(qū)返于來(lái)福士，記X表示這3位教師中駕車(chē)所用時(shí)間少于E(T)

的人數(shù)，求X的分布列與E(X).

畫(huà)2(2023?湖北?統(tǒng)考一模)交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指

數(shù)值,記交通指數(shù)為T(mén),其范圍為[0,10],分別有五個(gè)級(jí)別：TE[0,2),暢通；TE[2,4),基本暢通；T6

[4,6),輕度擁堵；TC[6,8),中度擁堵；TE[8,10],嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段(T>2),從某市交通指揮中

心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)；

(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段，求依次抽取的三個(gè)級(jí)

別路段的個(gè)數(shù)；

(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.

-4■

吼8（2023?四川眉山?高三四川省眉山第一中學(xué)階段練習(xí)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷深入發(fā)展，百姓的生活也不

斷的改善，尤其是近幾年汽車(chē)進(jìn)入了千家萬(wàn)戶(hù)，這也給城市交通造成了很大的壓力，為此交警部門(mén)通過(guò)

對(duì)交通擁堵的研究提出了交通擁堵指數(shù)這一全新概念，交通擁堵指數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)交通指數(shù),是綜合反映道路網(wǎng)

暢通或擁堵的概念.記交通指數(shù)為T(mén),其范圍為[0,9],分別有5個(gè)級(jí)別：TC。2）暢通；TE[2,4）基本

暢通；TE[4,6）輕度擁堵；TC[6,8）中度擁堵；TE[8,9]嚴(yán)重?fù)矶?早高峰時(shí)段（T>3）,從北京市交

通指揮中心隨機(jī)選取了五環(huán)以?xún)?nèi)50個(gè)交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的部分頻率分布直方圖如圖所

示：

（1）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)TC[4,8）時(shí)的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）據(jù)此直方圖求出早高峰二環(huán)以?xún)?nèi)的3個(gè)路段至少有兩個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?/p>

（3）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45

分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘,求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

?5?

跟蹤訓(xùn)級(jí)1.：（2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“低碳出行”，一種降低“碳”的出行，以低能耗、低污染為基礎(chǔ)，是

環(huán)保的深層次體現(xiàn),在眾多發(fā)達(dá)國(guó)家被廣大民眾接受并執(zhí)行，S市即將投放一批公共自行車(chē)以方便市民

出行,減少污染，緩解交通擁堵,現(xiàn)先對(duì)100人做了是否會(huì)考慮選擇自行車(chē)出行的調(diào)查,結(jié)果如下表.

（1）如果把45周歲以下人群定義為“青年”，完成下列2x2列聯(lián)表，并問(wèn)你有多少把握認(rèn)為該地區(qū)市民是

否考慮單車(chē)與他（她）是不是“青年人”有關(guān)？

年齡考慮騎車(chē)不考慮騎車(chē)

15以下63

[15,30)166

[30,45)136

[45,60)1416

[60,75)59

75以上15

合計(jì)5545

騎車(chē)不騎車(chē)合計(jì)

45歲以下

45歲以上

合計(jì)100

n(ad-be)2

參考：Y=,n—a+b+c+d

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.072.703.845.026.637.8710.82

（2）S市為了鼓勵(lì)大家騎自行車(chē)上班,為此還專(zhuān)門(mén)在幾條平時(shí)比較擁堵的城市主道建有無(wú)障礙自行車(chē)道,

該市市民小明家離上班地點(diǎn)10km,現(xiàn)有兩種.上班方案給他選擇；

方案一:選擇自行車(chē)，走無(wú)障礙自行車(chē)道以19km/h的速度直達(dá)上班地點(diǎn).

方案二:開(kāi)車(chē)以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過(guò)A.B,。三個(gè)易堵路段,三個(gè)路段堵車(chē)的概率分別是y,

得，；,且是相互獨(dú)立的，并且每次堵車(chē)的時(shí)間都是10分鐘（假設(shè)除了堵車(chē)時(shí)間其他時(shí)間都是勻速行駛）

若僅從時(shí)間的角度考慮，請(qǐng)你給小明作一個(gè)選擇,并說(shuō)明理由.

,6,

跟蹤訓(xùn)練：2；（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某人某天的工作是駕車(chē)從A地出發(fā)，到5。兩地辦事，最后返回

A地，A,B,C,三地之間各路段行駛時(shí)間及擁堵概率如下表

路段正常行駛所用時(shí)間（小時(shí)）上午擁堵概率下午擁堵概率

AB10.30.6

BC20.20.7

CA30.30.9

若在某路段遇到擁堵，則在該路段行駛時(shí)間需要延長(zhǎng)1小時(shí).

現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：

方案甲：上午從人地出發(fā)到B地辦事然后到達(dá)。地，下午從。地辦事后返回A地；

方案乙:上午從人地出發(fā)到。地辦事,下午從。地出發(fā)到達(dá)B地,辦完事后返回A地.

（1）若此人早上8點(diǎn)從A地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí)，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點(diǎn)

或18點(diǎn)之前能返回A地的概率.

（2）甲乙兩個(gè)方案中，哪個(gè)方案有利于辦完事后更早返回A地？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型三:保險(xiǎn)問(wèn)題

吼工（2023?廣東湛江?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)

產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所

有崗位分為A,B,。三類(lèi)工種，從事三類(lèi)工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示,且這三類(lèi)工種每年的賠付概

率如下表所示：

工種類(lèi)別ABC

121

賠付概率

105105104

職工契利分布飾圖

對(duì)于4B,。三類(lèi)工種，職工每人每年保費(fèi)分別為a元、a元、6元,出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、

100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年20萬(wàn)元.

（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的15%,證明：153a+17b>4200.

（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一:單位不與保險(xiǎn)公司合作,職工不交保險(xiǎn),出意外后單位自行拿

出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬(wàn)元;方

案二:單位與保險(xiǎn)公司合作，a=35"=60,單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的80%,職工個(gè)人負(fù)責(zé)20%,出險(xiǎn)后賠償

金由保險(xiǎn)公司賠付,單位無(wú)額外專(zhuān)項(xiàng)開(kāi)支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.

?8?

刷2（2023?新疆克拉瑪依?統(tǒng)考三模）已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位:元），繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種

的投保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)0123〉4

保費(fèi)（元）0.9aa1.5a2.5a4a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表:

出險(xiǎn)次數(shù)0123〉4

頻數(shù)2808024124

該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下:

出險(xiǎn)序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上

賠付金額（元）2.5a1.5aa0.5a0

將所抽樣本的頻率視為概率.

（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；

（2）按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)3次,則可獲得賠付（2.5a+L5a+a）元;若續(xù)保人在本

年度內(nèi)出險(xiǎn)6次,則可獲得賠付（2.5a+L5a+a+0.5a）元;依此類(lèi)推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的

平均值的估計(jì)值.

?9?

吼8（2023?廣東深圳?高三校聯(lián)考期末）已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位:元），繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)

種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)0123>4

保費(fèi)（元）0.9aa1.5a2.5a4a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到下表：

出險(xiǎn)次數(shù)0123>4

頻數(shù)2808024124

該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下:

出險(xiǎn)序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上

賠付金額（元）2.5a1.5aa0.5a0

將所抽樣本的頻率視為概率.

（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；

（2）按保險(xiǎn)合同規(guī)定,若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)3次,則可獲得賠付（2.5a+1.5a+a）元;依此類(lèi)推，求本

年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值；

（3）續(xù)保人原定約了保險(xiǎn)公司的銷(xiāo)售人員在上午10:30-11:30之間上門(mén)簽合同，因?yàn)槔m(xù)保人臨時(shí)有事，外

出的時(shí)間在上午10:45~11：05之間，請(qǐng)問(wèn)續(xù)保人在離開(kāi)前見(jiàn)到銷(xiāo)售人員的概率是多少？

.10.

跟蹤訓(xùn)練［1.：（2023?山東濰坊?校聯(lián)考一模）某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)

品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗

位共分為A、B、。三類(lèi)工種，從事這三類(lèi)工種的人數(shù)分別為12000>6000>2000,由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類(lèi)

工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：

工種類(lèi)別ABC

121

賠付頻率

105105104

已知A、B、C三類(lèi)工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)

元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此業(yè)務(wù)的過(guò)程中固定支出每年10萬(wàn)元.

（1）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值；

（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：

方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn),出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償

付給出意外的職工，企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬(wàn)元；

方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%,職工個(gè)人負(fù)責(zé)30%,出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司

賠付，企業(yè)無(wú)額外專(zhuān)項(xiàng)開(kāi)支.

根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

跟蹤訓(xùn)練［2；（2023?全國(guó)?高考真題）購(gòu)買(mǎi)某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人

在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買(mǎi)了這種

保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1

-0.99910\

（I）求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率P；

（II）設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位

投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位:元）.

■11?

跟蹤訓(xùn)練3；（2023?北京豐臺(tái)?高三統(tǒng)考期末）某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”

的原則，參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，若

甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)附近有三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇是等可能的、相

互獨(dú)立的

（1）求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率；

（2）求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；

（3）設(shè)4名參加保險(xiǎn)人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為&求f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

題型四:概率最值問(wèn)題

題工（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某電子工廠生產(chǎn)一種電子元件，產(chǎn)品出廠前要檢出所有次品.已知這種電子

元件次品率為0.01,且這種電子元件是否為次品相互獨(dú)立.現(xiàn)要檢測(cè)3000個(gè)這種電子元件，檢測(cè)的流程

是:先將這3000個(gè)電子元件分成個(gè)數(shù)相等的若干組,設(shè)每組有k個(gè)電子元件，將每組的k個(gè)電子元件串

聯(lián)起來(lái),成組進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)通過(guò),則本組全部電子元件為正品，不需要再檢測(cè);若檢測(cè)不通過(guò),則本組

至少有一個(gè)電子元件是次品，再對(duì)本組個(gè)電子元件逐一檢測(cè).

（1）當(dāng)k=5時(shí),估算一組待檢測(cè)電子元件中有次品的概率；

（2）設(shè)一組電子元件的檢測(cè)次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（3）估算當(dāng)k為何值時(shí)，每個(gè)電子元件的檢測(cè)次數(shù)最小,并估算此時(shí)檢測(cè)的總次數(shù)（提示：利用（1-p）%1

一在進(jìn)行估算）.

?12?

吼2（2023?江西新余?高三新余市第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)如今國(guó)家大力提倡養(yǎng)老社會(huì)化、市場(chǎng)化,老年公

寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專(zhuān)業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負(fù)責(zé)

人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù),現(xiàn)對(duì)所入住的120名老年人征集意見(jiàn),該公寓老年人的入住

房間類(lèi)型情況如下表所示：

入住房間的類(lèi)型單人間雙人間三人間

人數(shù)366024

（1）若按入住房間的類(lèi)型采用分層抽樣的方法從這120名老年人中隨機(jī)抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨

機(jī)抽取4人進(jìn)行詢(xún)問(wèn),記隨機(jī)抽取的4人中入住單人間的人數(shù)為求￡的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見(jiàn)時(shí)要求把入住單人間的2人和入住多人間的山（神>2且

meN*）人組成一組,負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢(xún)問(wèn)，若選出的2人入住房間類(lèi)型相同，則該組標(biāo)為

I,否則該組標(biāo)為II.記詢(xún)問(wèn)的某組被標(biāo)為II的概率為p.

⑴試用含機(jī)的代數(shù)式表示p;

（仇）若一共詢(xún)問(wèn)了5組，用g（p）表示恰有3組被標(biāo)為的概率，試求g（p）的最大值及此時(shí)館的值.

吼色（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了

乒乓球比賽,其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū),三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3,

4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最

后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊(duì)員積3分,失敗的隊(duì)員積0分;

而在比賽中以3:2取勝的隊(duì)員積2分,失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽

張三取勝的概率均為p（0<p<1）.

（1）比賽結(jié)束后冠亞軍（沒(méi)有并列）恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為/（p）,求出/（p）的最大值點(diǎn)p0.

?13?

跟蹤訓(xùn)練工(2023.山東濰坊?高三校考階段練習(xí))今年5月以來(lái)，世界多個(gè)國(guó)家報(bào)告了猴痘病例,非洲地區(qū)

猴痘地方性流行國(guó)家較多.9月19日，中國(guó)疾控中心發(fā)布了我國(guó)首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告.

我國(guó)作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國(guó)家，對(duì)可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時(shí)國(guó)家衛(wèi)生健康委

員會(huì)同國(guó)家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》.此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5

-21天;②既往接種過(guò)天花疫苗者對(duì)猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力.據(jù)此，援非中國(guó)醫(yī)療隊(duì)針對(duì)

援助的某非洲國(guó)家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀

察21天.在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過(guò)天花疫苗者感染病毒的比例較大.對(duì)該國(guó)

家200個(gè)接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后,統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的

列聯(lián)表：

接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接種天花疫苗3060

接種天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；

(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計(jì)概率.現(xiàn)從該國(guó)所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察

的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì),求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：

(3)該國(guó)現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對(duì)村莊內(nèi)所有住戶(hù)進(jìn)行排查.在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶(hù)3口之

家與確診患者有過(guò)密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測(cè).每名成員進(jìn)行

檢測(cè)后即告知結(jié)果，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”.假設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)

性的概率均為p(O<p<1)且相互獨(dú)立.記：該家庭至少檢測(cè)了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率

n(ad-be)2

為/(p).求當(dāng)p為何值時(shí)，/(p)最大？附：/=

(a+6)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(*>ko)0.10.050.010

ko2.7063.8416.635

?14?

跟蹤訓(xùn)練：2；(2023?上海徐匯?上海市南洋模范中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))進(jìn)入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒

的概率為p(0<p<l),且每人是否感染這種病毒相互獨(dú)立.

(1)記100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是/(p),求/(p)的最大值點(diǎn)po；

(2)為確保校園安全，某校組織該校的6000名師生做病毒檢測(cè)，如果對(duì)每一名師生逐一檢測(cè)，就需要檢

測(cè)6000次，但實(shí)際上在檢測(cè)時(shí)都是按fc(l<A:<6)人一組分組，然后將各組k個(gè)人的檢測(cè)樣本混合再檢測(cè).

如果混合樣本呈陰性，說(shuō)明這七個(gè)人全部陰性;如果混合樣本呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，就需

要對(duì)該組每個(gè)人再逐一檢測(cè)一次.當(dāng)p取加時(shí)，求k的值,使得總檢測(cè)次數(shù)的期望最少.

題型五:放回與不放回問(wèn)題

蒯工(2023?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))某中學(xué)為了解學(xué)生課外玩網(wǎng)絡(luò)游戲(俗稱(chēng)“網(wǎng)游”)的情況，使調(diào)查結(jié)

果盡量真實(shí)可靠，決定在高一年級(jí)采取如下“隨機(jī)回答問(wèn)題”的方式進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查:一個(gè)袋子中裝有6個(gè)

大小相同的小球，其中2個(gè)黑球，4個(gè)紅球,所有學(xué)生從袋子中有放回地隨機(jī)摸球兩次，每次摸出一球,約

定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問(wèn)卷,否則按方式②回答問(wèn)卷”.

方式①:若第一次摸到的是紅球，則在問(wèn)卷中畫(huà)“，'，否則畫(huà)“X”.

方式②:若你課外玩網(wǎng)游,則在問(wèn)卷中畫(huà)“V”,否則畫(huà)“X

當(dāng)所有學(xué)生完成問(wèn)卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫(huà)“V”,畫(huà)“X”的比例，用頻率估計(jì)概率.

(1)若高一某班有45名學(xué)生，用X表示其中按方式①回答問(wèn)卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.

(2)若所有調(diào)查問(wèn)卷中，畫(huà)“，'與畫(huà)“x”的比例為1：2,試用所學(xué)概率知識(shí)求該中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生課外玩

網(wǎng)游的估計(jì)值.(估計(jì)值=?網(wǎng)?瞭個(gè)普x100%)

圖一所有學(xué)生人數(shù)

?15?

題2（2023?江蘇南通?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)

紅球和2個(gè)白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中隨機(jī)摸出2個(gè)球觀察顏色后

放回,此過(guò)程為一次試驗(yàn).重復(fù)以上試驗(yàn)，直到某次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球時(shí)，停止試驗(yàn).

（1）求一次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球的概率；

（2）在3次試驗(yàn)后恰好停止試驗(yàn)的條件下,求累計(jì)摸到2個(gè)紅球的概率.

畫(huà)色（2023?上海黃浦?高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某公司使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片，已知每天甲

機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為94%；乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為95%,已

知兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響.現(xiàn)對(duì)某天生產(chǎn)的芯片進(jìn)行抽樣.

（1）從所有芯片中任意抽取一個(gè)，求該芯片是不合格品的概率；

（2）現(xiàn)采用有放回的方法隨機(jī)抽取3個(gè)芯片，記其中由乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為X,求X的分布列以

及數(shù)學(xué)期望E（X）.

?16?

跟蹤訓(xùn)練（2023?廣東廣州?高三執(zhí)信中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年

10月16日在北京召開(kāi)，為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知

識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng).競(jìng)賽共有入和B兩類(lèi)試題,每類(lèi)試題各10題，其中每答對(duì)1道A類(lèi)試題得10分;每答對(duì)1

道B類(lèi)試題得20分，答錯(cuò)都不得分.每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類(lèi)試題中共抽出3道題回答（每道題抽

后不放回）.已知小明同學(xué)A類(lèi)試題中有7道題會(huì)作答,而他答對(duì)各道B類(lèi)試題的概率均為名.

（1）若小明同學(xué)在A類(lèi)試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率；

（2）若小明只作答A類(lèi)試題,設(shè)X表示小明答這3道試題的總得分，求X的分布列和期望.

跟蹤訓(xùn)練；2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某商場(chǎng)在周年慶活動(dòng)期間為回饋新老顧客，采用抽獎(jiǎng)的形式領(lǐng)取

購(gòu)物卡.該商場(chǎng)在一個(gè)紙箱里放15個(gè)小球（除顏色外其余均相同）：3個(gè)紅球、5個(gè)黃球和7個(gè)白球，每個(gè)

顧客不放回地從中拿3次,每次拿1個(gè)球，每拿到一個(gè)紅球獲得一張A類(lèi)購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)黃球獲得一

張B類(lèi)購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)白球獲得一張。類(lèi)購(gòu)物卡.

（1）已知某顧客在3次中只有1次抽到白球的條件下，求至多有1次抽到紅球的概率；

（2）設(shè)拿到紅球的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

?17?

題型六:體育比賽問(wèn)題

吼工（2023?廣東廣州?高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）最是一年春好處，運(yùn)動(dòng)健兒滿華附.為吸引同學(xué)們積

極參與運(yùn)動(dòng)，鼓勵(lì)同學(xué)們持之以恒地參與鍛煉，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，弘揚(yáng)“無(wú)體育，不華附”的精神理念，

2023年3月華附舉辦了春季運(yùn)動(dòng)會(huì).春季運(yùn)動(dòng)會(huì)的集體項(xiàng)目要求每個(gè)學(xué)生在足球繞桿、踢犍子和跳大繩

3個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)參加.來(lái)自高三的某學(xué)生為了在此次春季運(yùn)動(dòng)會(huì)中取得優(yōu)秀成績(jī)，決定每天訓(xùn)

練一個(gè)集體項(xiàng)目.第一天在3個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)開(kāi)始訓(xùn)練，從第二天起，每天都是從前一天沒(méi)有訓(xùn)練

的2個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)訓(xùn)練.

（1）若該學(xué)生進(jìn)行了3天的訓(xùn)練，求第三天訓(xùn)練的是“足球繞桿”的概率.

（2）設(shè)該學(xué)生在賽前最后6天訓(xùn)練中選擇“跳大繩”的天數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

血］2（2023?湖南婁底?婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國(guó)舉行的第24

屆冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一.冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線上W的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球

區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營(yíng)壘，以

場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心。的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重

心落在圓。中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)入中，得2分,冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況

均得0分.已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為T(mén),1；甲、乙得2分的概率

分別為名，［；甲、乙得1分的概率分別為《，

5256

（1）求甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X,求X的分布列和期望.

-18■

刷3（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣,增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各

年級(jí)之間的球類(lèi)大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下:高中三個(gè)

年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽,每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場(chǎng)的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)

一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場(chǎng)就算勝利（即每?jī)蓚€(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場(chǎng)），若兩個(gè)年級(jí)之間打成2:

2則第5場(chǎng)比賽定勝負(fù).已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為y,高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一

相應(yīng)對(duì)手的可能性均為|■，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)

相互獨(dú)立.

（1）求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概

率.

（2）若獲勝年級(jí)積3分,被打敗年級(jí)積0分,求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望.

跟蹤訓(xùn)綜」］（2023?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32支球隊(duì)

參加，歐洲球隊(duì)有13支:其中有5支歐洲球隊(duì)闖入8強(qiáng).比賽進(jìn)入淘汰賽階段后,必須要分出勝負(fù).淘汰

賽規(guī)則如下:在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)；比賽結(jié)束，若比分相同.則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽.在加

時(shí)賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依然相同，就要通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)來(lái)分出最后的勝負(fù).點(diǎn)球大戰(zhàn)分為

2個(gè)階段，第一階段:共5輪,雙方每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，5輪合計(jì)

踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得比賽的勝利.如果第一階段的5輪還是平局，則進(jìn)入第二階段：在該階段雙方

每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球,如果在一輪里,雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球,則繼續(xù)下一輪，直到某一

輪里,一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利.

（1）根據(jù)題意填寫(xiě)下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷32支決賽圈球隊(duì)

“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊(duì)”是否有關(guān).

（2）甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過(guò)120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn).已知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)

點(diǎn)球的概率為:，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為得,每輪每隊(duì)是否進(jìn)球相互獨(dú)立，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中,兩隊(duì)前3

OO

輪比分為3:3，試求出甲隊(duì)在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率.

參考公式"―(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)'"—a+b+c+&

*>a)0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

?19?

跟蹤訓(xùn)練2；(2023?貴州?高三凱里一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng),某中學(xué)舉辦羽毛球比

賽,經(jīng)過(guò)三輪的篩選,最后剩下甲、乙兩人進(jìn)行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有

一位先贏得三局比賽時(shí)，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù),且每局比賽的勝負(fù)不受之

前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為p(0VpVI).

(1)若比賽進(jìn)行三局就結(jié)束的概率為/(力，求/(p)的最小值；

(2)記⑴中，/(p)取得最小值時(shí)，p的值為p0，以p。作為p的值，用X表示甲、乙實(shí)際比賽的局?jǐn)?shù)，求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

題型七:幾何問(wèn)題

吼上(2023?遼寧沈陽(yáng)?沈陽(yáng)市第一二。中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))某人玩一項(xiàng)有獎(jiǎng)游戲活動(dòng)，其規(guī)則是:有一個(gè)質(zhì)地

均勻的正四面體(每個(gè)面均為全等的正三角形的三棱錐)，四個(gè)面上分別刻著1,2,3,4,拋擲該正四面體

5次，記錄下每次與地面接觸的面上的數(shù)字.

(1)求接觸面上的5個(gè)數(shù)的乘積能被4整除的概率；

(2)若每次拋擲到接觸地面的數(shù)字為3時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)200元，否則倒罰100元，

①設(shè)甲出門(mén)帶了1000元來(lái)參加該游戲,記游戲后甲身上的錢(qián)為X元,求E(X)；

②若在游戲過(guò)程中，甲決定當(dāng)自己贏了的錢(qián)一旦不低于300元時(shí)立即結(jié)束游戲，求甲不超過(guò)三次就結(jié)束

游戲的概率.

■20?

吼2（2023?江西?高考真題）如圖，從4（1,0,0），4（2,0,0）,81（0,1,0）,國(guó)（0,2,0）,。1（0,0,1）,。2（0。2），這6

個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn).（1）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)。恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率；（2）求這3點(diǎn)與原

點(diǎn)。共面的概率.

朝3（2023?河北張家口?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱P4,PB,PC兩兩垂直,且

PA=a,PB=b,PC=c,三棱錐P—48。的外接球半徑R=2.

（1）求三棱錐P-ABC的側(cè)面積S的最大值；

（2）若在底面ABC1.,有一個(gè)小球由頂點(diǎn)A處開(kāi)始隨機(jī)沿底邊自由滾動(dòng)，每次滾動(dòng)一條底邊，滾向頂點(diǎn)

B的概率為滾向頂點(diǎn)。的概率為J；當(dāng)球在頂點(diǎn)B處時(shí)，滾向頂點(diǎn)A的概率為日，滾向頂點(diǎn)。的概

率為之；當(dāng)球在頂點(diǎn)。處時(shí)，滾向頂點(diǎn)人的概率為。，滾向頂點(diǎn)B的概率為之.若小球滾動(dòng)3次,記球滾

OOO

到頂點(diǎn)石處的次數(shù)為X,求數(shù)學(xué)期望石（X）的值.

?21?

跟蹤訓(xùn)練1/（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5

個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形,設(shè)隨機(jī)變量X表示所得三角形的面積.

⑴求概率P（X=2）的值；

（2）求隨機(jī)變量X的概率分布及其數(shù)學(xué)期望E（X）.

題型八:彩票問(wèn)題

血11（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）在一種稱(chēng)為“幸運(yùn)35”的福利彩票中，規(guī)定從01,02,…，35這35個(gè)號(hào)碼中

任選7個(gè)不同號(hào)碼組成一注,并通過(guò)搖獎(jiǎng)機(jī)從這35個(gè)號(hào)碼中搖出7個(gè)不同的號(hào)碼作為特等獎(jiǎng).與特等獎(jiǎng)

號(hào)碼僅6個(gè)相同的為一等獎(jiǎng)，僅5個(gè)相同的為二等獎(jiǎng)，僅4個(gè)相同的為三等獎(jiǎng)，其他的情況不得獎(jiǎng)比.為

了便于計(jì)算,假定每個(gè)投注號(hào)只有1次中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（只計(jì)獎(jiǎng)金額最大的獎(jiǎng)），該期的每組號(hào)碼均有人買(mǎi)，且彩

票無(wú)重復(fù)號(hào)碼比.若每注彩票為2元,特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為100萬(wàn)元/注,一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為1萬(wàn)元/注，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金

為100元/注,三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為10元/注,試求：

（1）獎(jiǎng)金額X（元）的概率分布；

（2）這一期彩票售完可以為福利事業(yè)籌集多少資金（不計(jì)發(fā)售彩票的費(fèi)用）？

■22?

吼2（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)福利彩票雙色球游戲規(guī)則是由中華人民共和國(guó)財(cái)政部制定的規(guī)則，是

一種聯(lián)合發(fā)行的“樂(lè)透型”福利彩票.“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號(hào)碼區(qū)和藍(lán)色球號(hào)碼區(qū)，“雙色球”

每注投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成，紅色球號(hào)碼從1-33中選擇;藍(lán)色球號(hào)碼從1-

16中選擇.“雙色球”獎(jiǎng)級(jí)設(shè)置分為高等獎(jiǎng)和低等獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)為高等獎(jiǎng)，三至六等獎(jiǎng)為低等獎(jiǎng).

“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號(hào)碼與當(dāng)期開(kāi)出中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的球色和個(gè)數(shù)確定中獎(jiǎng)等級(jí)：

一等獎(jiǎng)：7個(gè)號(hào)碼相符（6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼）（紅色球號(hào)碼順序不限，下同）；

二等獎(jiǎng)：6個(gè)紅色球號(hào)碼相符；

三等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

四等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼，或4個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

五等獎(jiǎng)：4個(gè)紅色球號(hào)碼,或3個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

六等獎(jiǎng)：1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符（有無(wú)紅色球號(hào)碼相符均可）.

（1）求中三等獎(jiǎng)的概率（結(jié)果用a表示）；

（2）小王買(mǎi)了一注彩票，在已知小王中了高等獎(jiǎng)的條件下，求小王中二等獎(jiǎng)的概率.

參考數(shù)據(jù)：或3C；6=a

血13（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票

300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是

多少元？

跟蹤訓(xùn)練1.：（2023?高二課時(shí)練習(xí)）某人花2元錢(qián)買(mǎi)彩票,他抽中100元獎(jiǎng)的概率是0.1%,抽中10元獎(jiǎng)的概

率是1%,抽中1元獎(jiǎng)的概率是20%,假設(shè)各種獎(jiǎng)不能同時(shí)抽中,試求：

（1）此人收益的概率分布；

（2）此人收益的期望值.

■23?

跟蹤訓(xùn)練區(qū)（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）根據(jù)某個(gè)福利彩票方案,每注彩票號(hào)碼都是從1~37這37個(gè)數(shù)中

選取7個(gè)數(shù).如果所選7個(gè)數(shù)與開(kāi)出的7個(gè)數(shù)一樣（不管排列順序），彩票即中一等獎(jiǎng).

（1）多少注不同號(hào)碼的彩票可有一個(gè)一等獎(jiǎng)？

（2）如果要將一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)提高到—^―以上且不超過(guò)—^―，可在37個(gè)數(shù)中取幾個(gè)數(shù)？

oUUUUUU^uuuuuu

題型九:納稅問(wèn)題

血］1（2023?四川南充?統(tǒng)考一模）自2019年1月1日起，對(duì)個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率進(jìn)行調(diào)整.調(diào)整如下：納

稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減去5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額.依照個(gè)人所得稅稅率

表,調(diào)整前后的計(jì)算方法如表：

個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整前）個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整后）

免征額3500元免征額5000元

級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（％）

1不超過(guò)1500元的部分31不超過(guò)3000元的部分3

2超過(guò)1500元至4500元的部分102超過(guò)3000元至12000元的部分10

3超過(guò)4500元至9000元的部分203超過(guò)12000元至25000元的部分20

（1）假如李先生某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記2表示總收入,y表示應(yīng)納的

稅，試分別求出調(diào)整前和調(diào)整后夕關(guān)于力的函數(shù)表達(dá)式；

（2）某稅務(wù)部門(mén)在李先生所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成

下面的頻數(shù)分布表：

收入

[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000)

（元）

人數(shù)304010875

先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分層抽樣抽取7人,再?gòu)闹羞x2人作為新納稅法知識(shí)

宣講員，求選中的2人收入都在［3000,5000）的概率；

?24?

吼2（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）個(gè)人所得稅起征點(diǎn)是個(gè)人所得稅工薪所得減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)或免征額,個(gè)稅起

征點(diǎn)與個(gè)人稅負(fù)高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點(diǎn).隨著我國(guó)人民收入的逐步增

力口，國(guó)家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費(fèi)支出水平增長(zhǎng)等各方面因素,規(guī)定從2019年1月1日起,我國(guó)實(shí)

施個(gè)稅新政.實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括：①個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元②每月應(yīng)納稅所得額（含稅）=收

入一個(gè)稅起征點(diǎn)-專(zhuān)項(xiàng)附加扣除；③專(zhuān)項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個(gè)稅政策下

每月應(yīng)納稅所得額（含稅）計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下：

舊個(gè)稅稅率表（個(gè)稅起征點(diǎn)350