第6講-曲線曲面造型基礎(chǔ).

1、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與cad技術(shù)華中科技大學(xué)國家cad支撐軟件工程技術(shù)研究中心第5講曲線曲面造型基礎(chǔ)自由曲線部分工程中的曲線曲面iiiiii曲線曲面分類5.1認(rèn)識曲線與曲面iii5.2曲面造型的發(fā)展歷程iii5.3曲線曲面的參數(shù)表達(dá)5.4 bezier曲線5.5 b樣條曲線5.6 nurbs曲線一類：初等解析曲面（例如平面、圓柱面、圓錐面、球、圓環(huán)面等）組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類，可用畫法幾何與機(jī)械制圖方法清楚表達(dá)和傳遞所包 含的全部形狀信息。二類：自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機(jī)、汽車、船 舶的外形零件。這一類形狀單純用畫法幾何與機(jī)械制圖是不能表達(dá)清楚的。mm自由曲線和曲面因

2、不能由畫法幾何與機(jī)械制圖方法表達(dá)清楚，成為工程師們首 要解決的問題。人們一直在尋求用數(shù)學(xué)方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。主要內(nèi)容:曲線曲面主要研究內(nèi)容iiiiii曲面造型(surface modeling)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(computeraided geometric design,cagd)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容,主要研究在計(jì)算機(jī)圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對曲線曲面的表示、設(shè)計(jì)、 顯示和分析。它起源于汽車、飛機(jī)、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由 coons bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。經(jīng)多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理b樣條曲面 (rational b-spli

3、ne surface)為基礎(chǔ)的參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù) 曲面(implicit algebraic surface)表示這兩類方法為主體，以插值 (interpolation)、逼近(approximation)這二種手段為骨架的幾何理 論體系。5.1認(rèn)識曲線與曲面iii5.2曲面造型的發(fā)展歷程iii5.3曲線曲面的參數(shù)表達(dá)5.4 bezier曲線5.5 b樣條曲線5.6 nurbs曲線5.2曲線曲面發(fā)展歷程iiiiiiin數(shù)學(xué)上曲線常見以多項(xiàng)式表達(dá)為主(polynomial equations)p() =x(u) 貝以) z()23=a()+ 3|m + 233z=0a(papa2,a3為矢

4、量系數(shù)問題：沒有明顯幾何意義，系數(shù)變化與曲線沒有直觀關(guān)系ao = pa0+ai+a2 +a3 = p!= p(；4w)a| + 2a。+3a? = p；p。rp()=y（“） 一如）一=a() + 3/ + aj/2 + a j/3i：）p(n) = l (”)w) g(m)g,(m)；plpo p;l. 15.2曲線曲面發(fā)展歷程iiiiii 1963年美國波音飛機(jī)公司的弗格森（ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線 曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點(diǎn)的位置矢量、兩個(gè)方向切 矢定義的弗格森雙三次曲面片。p。pp；mliiiinp()= %()w) g(“)0(h)1圖

5、ferguson曲線圖 fergusonllll面5.2曲線曲面發(fā)展歷程iiiiiiferguson曲面問題：角點(diǎn)平坦(flat spots)圖ferguson曲面u!in 1964年，mit孔斯(coons)用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面(増加扭矢控制)。 同年，舍恩伯格(schoenberg)提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。p(m)w w4.質(zhì) 4削4.10玲門 膈)0玲恥恥iv1 1藤 叢1&調(diào)匕cr.ricoons曲面問題：中間形狀控制能力不足5.2曲線曲面發(fā)展歷程iiiiii(riesenfeld)將mg1 若“ y tm0其它ko*0/0 = 0c(“)=旗丁方,以)/-()19

6、71年,法|雷諾(renault)汽車公司的貝塞爾(bezier)發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。np()=x)；=0tn nj=0 i=0 1974年，美國通用汽車公司的戈登(gorden)和里森費(fèi)爾德 b樣條理論用于形狀描述，提出了b樣條曲線和曲面。5.2曲線曲面發(fā)展歷程 1975年，美國錫拉丘茲(syracuse)大學(xué)的佛斯普里爾(versprill)提出了有理b 樣條方法。80年代后期皮格爾(piegl)和蒂勒(tiller)將有理b樣條發(fā)展成非均勻有理b樣條(nurbs)方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。mgi 若 l y r.+i 0其它m(，t)

7、5)+也0/0 = 0p(u,v)=sza/nkk(u)nj.i(v)f=0 j=0m nzzsni.k(u)nj.|(v)/=o 0-u)ni+u_(u)5.2曲線曲面發(fā)展歷程 非均勻有理b樣條(nurbs)成為當(dāng)前大多數(shù)商用cad軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達(dá)技術(shù)。 5.3曲線曲面參數(shù)表達(dá)5.1認(rèn)識曲線與曲面iii5.2曲面造型的發(fā)展歷程iii5.3曲線曲面的參數(shù)表達(dá)5.4 bezier曲線5.5 b樣條曲線5.6 nurbs曲線曲線曲面常見有顯式、隱式及參數(shù)表達(dá)方法顯式表達(dá):如曲面方程z=f(x, v)，式中每個(gè)z值對應(yīng)唯一的x、y值，該表 示計(jì)算非常方便，但無法描述多值或封閉面，如球。尸 y2 、

8、 % 隱式表達(dá):如曲面f(x, y, z)=0,這種表示不便于由已知的參量x, y計(jì)算z值，可用于判斷點(diǎn)與曲線曲面的位置關(guān)系+四+ ?卻c2-1-0曲線參數(shù)表達(dá)空間曲線上一點(diǎn)p的坐標(biāo)被表示成參數(shù)ii的函數(shù)： x=x(u), y=y(u), z=z(u)合起來，曲線被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)：p(u) = x y z = x(u) y (u) z(u)由端點(diǎn)為pl、p2的直線段參數(shù)方程可表示為：p(t) = pl + ( p2 - pl )u ueo, 11.曲線參數(shù)表達(dá)優(yōu)點(diǎn):易滿足幾何不變性要求,可以對參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換，節(jié) 省計(jì)算量。幾何不變性：曲線曲面表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標(biāo)

9、系的選 擇或者說在旋轉(zhuǎn)和平移變換下不變的性質(zhì)2.易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。3.有更大的自由度來控制曲線、曲而的形狀。一條二維三次曲線的顯式表示為：y = ax3+bx2 +cx + d（4個(gè)系數(shù)控制曲線形狀）而二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：p（u） = a1u3 + a?u2 + a3u + a4 bju3 +b2u2 +bu + b4u g 0,1 （8個(gè)系數(shù)控制-曲線形狀）-53曲線曲面參數(shù)表達(dá)曲線參數(shù)表達(dá)優(yōu)點(diǎn):4.易于處理多值問題和斜率無窮大的情形。5.易于計(jì)算曲線、曲面上的點(diǎn)。而隱式方程需求解非線性或超越 方程，另外，求導(dǎo)、等距的計(jì)算也被簡化；6.參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是

10、完全分離的，而 且對變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò) 展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式 處理幾何分量。曲線基本參數(shù):曲線矢量表示:binorma!p(w) = x(m) y(u) z(m)曲線導(dǎo)矢(參數(shù)增加方向):p(w)dpdx(u) dy(u) dz(u)弧長:s() = j |p(m)|jw弧長微分公式:.ds = p(u) dudududududs2=dp2=d+dy2+d5.3曲線曲面參數(shù)表達(dá)弧長:曲線基本參數(shù):反函數(shù)up(w) du,0u =以(s)曲線弧長參數(shù)表示：p = p(s) = p(s)曲線對孤長導(dǎo)矢:p(s)=，f =1 (亦2=

11、技)1=11u如果選擇孤長為參數(shù)，切矢為單位矢量ii曲線基本參數(shù):切矢量t：法式n：副法矢b：3k=pxp p曲率：單位切矢對于弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率撓率：單位副法矢對于弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率=p,p,p/pxp曲線基本參數(shù):ii對t, n, b分別對彌長s求導(dǎo), 得曲線frenet-serret公式t，(s)-kn(s)b(s) 5.3曲線曲面參數(shù)表達(dá)曲線常用定義方法：mr*插值；給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)pi, i=o,l,11,構(gòu)造一條曲線順序通過這些 數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值 方法有線性插值、拋物線插值等(interpolation)o逼近，構(gòu)造一條曲線使之在某種意義

12、下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù) 據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線(approximation) o擬合；插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合(fitting) oapproximation主要內(nèi)容:5.1認(rèn)識曲線與曲面iii5.2曲面造型的發(fā)展歷程iii5.3曲線曲面的參數(shù)表達(dá)5-4 bezier曲線5.5 b樣條曲線5.6 nurbs曲線bezier曲線p() = 2x% (“)04定義：給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量匕（i=0, 1, 2,，n）,則定義 的n次bezier參數(shù)曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的扌畚值公式是：/=o其中：1)2)3)u參數(shù)取值范圍【0, 1,或稱參數(shù)區(qū)間；p構(gòu)成該bezier曲線的特

13、征多邊形（控制多邊形）： bj ju）是n次bernstein基函數(shù)，也稱調(diào)和函數(shù)。bj,n（u） = c0（lwbezier曲線（三次）由po、pp p2. p3四個(gè)控制點(diǎn)定義的3次bezier曲線，其基函數(shù) bi3(u) = c；u，(l u)j i = o,l,2,3上式分別展開為：b.3(u)= (1-11)bi3(u)=3u(l-u)2 b2,3(u)=3u2(1-u)b3.3 (u ) = u 3上述定義的3次bezier曲線則進(jìn)一步表示為：p(u)=pib1.3(u)=b03(u)1=0-13-31= u3 u2 u 1p。1=0b“(u)此 r p2 p3jr3-630一330

14、01000p。p2p3umpbezier曲線性質(zhì)(三次為例)1幾何變換不變性(3、3t(p(u)=t rbu) =t(eb,3(u) i=0丿 i=02.端點(diǎn)插值性質(zhì)曲線過控制頂點(diǎn)的首末頂點(diǎn)。將u = 0和1分別代入表達(dá)式p(u)中可知p(o)=po, p二p3。bezier曲線性質(zhì)（三次為例）3.端點(diǎn)切矢性質(zhì)曲線在首末兩點(diǎn)相切于多邊形的起、止邊。對三次bezier曲線求一階導(dǎo)數(shù):4.對稱性：將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線。5.凸包彳生：即曲線不會越岀特征多邊形的頂點(diǎn)所圍成的凸包6.定比分割特性：后面詳細(xì)介紹bezier曲線示例44bezier曲線（平面）的c語言編程bq,3(u)=(1

15、-u)3b13(u)=3u(1-u)2b2j(u)=3u2(1-u)bezier曲線（平面）的計(jì)算及繪制np()= ze片,(以)u g 41=0b3.3（u）=u在參數(shù)空間ueo, 1進(jìn)行均勻插值，計(jì)算對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，然后連接成線，這條 線就是折線逼近的bezier曲線x(u)= (l-u)3x0 + 3u(l -ufxj + 3u2(1-u)x2 + ux3 y(u)= (1 - u)3y0 + 3u(l - uy】+ 3i?(l - u)y2 + u3y3x(u)= a()+ au +ag2 + a，y(u) = b() + b|ii + b2u2 + b3u3b()= y0b| = 3y

16、 + 3y|by3y-6乂 + 3力b3 = -y0 + 3y|-3y2 + y3a。= xoa = -3、+ 3xa2 = 3x() 6x| +3x2a 4 =-x()+ 3x 3x2 + x.makebezier3(float x. y ; float ys ; integer n)float a4, b4, t;a。 = k0;a 1 = -3 * x0 + 3 * xl；a2 = 3* x0-6* xl+3*x2;a3 = -x0 *3*xl-3*x2 + x3；b0 = y0;bill = - 3 * y0 j + 3 * yl|;bf2 = 3*y0-6yl + 3*y2j;b?3

17、=y0+3 關(guān) y口 _ 3 昔 y + y3;for i = 0 to n do t = i/n;xsi = ao + (al1 + (a2 + a3*vsfi = b0 + (b 1h (b2 + b3 * t) * t) * t;bezier曲線(空間)的計(jì)算及繪制iii空間beizer曲線也可寫成矩陣表達(dá)式，式中若求px (t)的值，則取斗的x坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，同理求py (t)、p (t)的值，具體如下:px(t)= b0| 3(t)b1|3(t)b2 3(t)b3f 3(t) poxplxp2xp3xtpy(t)=bo,3(ob,3(t)bg(t)b3| 3(t) poyplyp2yp

18、3y tpz(t)=b,3(t)blf 3(t)b2| 3(t)b3f 3(t) pozplzp2zp jt注意:,=j上式基函數(shù)的計(jì)算僅需一次,不必三次。bezier曲線的繪制：例如利用上面的計(jì)算方法可分別求出 t = 0. 1, 0.2,0. 3,0. 9, 1.0時(shí)的曲線 上的點(diǎn)，依次連接相鄰兩點(diǎn)為直線段，即 可得近似的曲線圖形。pobezier曲線幾何作圖與分割特性在平面上給定7個(gè)控制點(diǎn)a(ioojoo)b(120,200)c(220,200)d(270,300)e(370,300)f(420,200)g(420,100)畫出兩段三次bezier線iiiiii(2)求出第一段u=0.3

19、對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)(136.09, 168.4)思考：如何光滑連接?給定參數(shù)t (te：0, 1d，就把定義域0,1分成長度為t:(l-1)的 兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得 分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn),對這些中 間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間 頂點(diǎn)/(卜。丄m-2)。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級遞推得到一個(gè)中間 頂點(diǎn)po。即為所求曲線上的點(diǎn)p(t)op2plpj tpp3po例如：對三次bezier曲線(給定參數(shù)域tc0, 1)上t = l/3的點(diǎn)。把定義域分 成長度為1/3: (1-1/3)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比

20、分割，所得分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn)p。、p、pu，對這些中間頂點(diǎn) 構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點(diǎn)p2、pj。重復(fù) 進(jìn)行下去，直到第3級遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)p3,即為所求曲線上的點(diǎn)p (t) o這一分割算法隱含說明任-bezier曲線均可被分割為兩段bezier曲線。第一段由p。、p?！俊2、p3確定，參數(shù)空間為0,1/3；第二段p3、pg、p3確 定，參數(shù)空間為1/3,1,分割后的曲線形狀保持不變。如圖所示。p21p3iiibezier曲線拼接iiiiii工程實(shí)際中存在許多復(fù)雜形狀的曲線或曲面.不可能用一條bezier曲線 擬合出復(fù)雜的曲線，但可釆用分段bez

21、ier曲線經(jīng)拼接后擬合實(shí)際中存在的復(fù) 雜曲線。工程應(yīng)用中，希望各段曲線在連接處光滑，即切矢連續(xù)(一階幾何 連續(xù)，即(p連續(xù))或曲率連續(xù)(二階幾何連續(xù)，即g2連續(xù))。這里僅討論切矢連續(xù) 的問題。給定兩條三次bezier曲線段:p(u)= pibt.n ( ), q(v)=習(xí) q 乩“(o),心日 60,口i = 0 r 0欲將二曲線段在p3和qo處連接，應(yīng)滿足如下條件：p =9 (0), bp3 = qo若要求一階幾何連續(xù),還應(yīng)滿足下述條件：渺3(0) 可不滿足：p(l) = 7(0)由此可得3hp3 - pz)= 3(q|-qo)這表明r、q應(yīng)重合，且p2pj.qcqt要共線。下圖為兩段三次b

22、ezier曲線一階兒何連續(xù)拼接:而不需滿足p（1）=q（0）（即一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）也就是說一階幾何連續(xù)比一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿足光滑連 續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達(dá)的優(yōu)勢之一。bezier曲線不足iiiiii bezier曲線有三點(diǎn)不足:一是特征多邊形頂點(diǎn)數(shù)決定了 bezier曲線的階次, n很大時(shí)，特征多邊形對形狀的控制將減弱。二是bezier曲線不能作局部修改，改變?nèi)我豢刂?點(diǎn)將波及整條曲線仲三是繪制復(fù)雜曲線需要拼接，比較繁瑣。t=0b樣條曲線的提出p1972年gordon等用b樣條基代替bernstein基函數(shù)， 從而改進(jìn)上述缺點(diǎn)。均勻三次b樣條曲線6.1認(rèn)識曲線與曲面iii6.2曲面

23、造型的發(fā)展歷程iii6.3曲線曲面的參數(shù)表達(dá)6.4 bezier曲線6.5 b樣條曲線6.6 nurbs曲線由于b樣條曲線比較復(fù)雜，在此以均勻三次b樣條為例進(jìn)行分析定義：空間n+l個(gè)控制頂點(diǎn)r （i=0, 1,n）可構(gòu)造n 2段三次（k = 3, 四階）均勻b樣條曲線段，每相鄰四個(gè)點(diǎn)可定義一曲線段p； （u）iiiiiiiiiiii（i=l,，n-2）如任意四個(gè)頂點(diǎn)pp pi+p pi+2. pi+3作為特征多邊形構(gòu)造的均勻三次b樣條曲 線段的方程（u）可表達(dá)式為：u!ibiiiipj(u) = nj3(u)pj+j = u u? j=o-13-3p3-630pi+1-3030氐214i0pg

24、1= ump=/f邛七（55 r七（1+3心5）恥+砰p計(jì)3313131no, 3(id pi + ni，3 (u) pj+i + n. 3(u)pi+2 + nj, j (u) r+3式中：ue0,1從定義式中可以看出，上述定義和三次bezier曲線類似，只是基函數(shù) 3有不同均勻三次b樣條曲線的幾何意義p.(u) = xn.3(u)pi+j = u戸0-13-33-63-303141100ojlptp.%1+3p.(0)=l(pi+4pi+14-p+2)o )=!(%r) p(0)=p-2pi+i + p+2pjl)=；(pjh+4pj+2+p心)op.(l)=|(pi+3-pi+1)r(l

25、)二琮-2%+%, + 3邊形的對角線的1/6處曲線起點(diǎn)位于以v田和pi+1pi+2為兩鄰邊的平行四 起點(diǎn)的切矢與pi平行，模為ii p叫-pji/2起點(diǎn)的二階導(dǎo)矢是以叩田和pi+1pi+2為兩鄰邊的平 行四邊形的對角線方向 曲線段末點(diǎn)的情形與上述三點(diǎn)類似，只是向前推移 個(gè)頂點(diǎn)。均勻三次b樣條曲線的幾何意義第一段曲線的末點(diǎn)與第二曲線的首點(diǎn)滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)。各曲線段的末點(diǎn)與下一個(gè)曲線段的首點(diǎn)均滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)，這是b樣條 曲線的優(yōu)勢之一，因此采用b樣條曲線直接能夠構(gòu)造光滑的復(fù)雜曲線均勻三次b樣條曲線性質(zhì)幾何作圖依據(jù)：，、1,、r（0）=e（e+4%+%）o珥弓（*+4% + %）6 吼1

26、）=!（琮-琛,） p（1）=pi+i-2pi+2 + pi+3日（0尾（琨） 耳0）=卜2珞+%根據(jù)b樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置、起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢方向即可近似的幾fei何作圖。b樣條曲線也必須滿足幾何變換不變性，t（p（u）= 1（丈rm）=丈 t（rn,3（u） i=0丿 i=01 .對稱性：將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線。qr），q7popps2.幾何凸包性:即b樣條曲線不越出特征多邊形頂點(diǎn)所圍成的凸包（如圖中陰影所示）3.局部性質(zhì)1. 對均勻三次b樣條曲線任意段修改時(shí)，只被相鄰的四個(gè)頂點(diǎn)控制，與其它 的控制點(diǎn)無關(guān)2. 每段k次b樣條曲線只涉及k+1個(gè)基函數(shù)，并由k+1個(gè)頂點(diǎn)所定義。

27、如圖，當(dāng)修改p5時(shí)，只影響p2至p8之間的四條樣條段（a至b）,對其它段則不 產(chǎn)生影響。這一特點(diǎn)對曲線的設(shè)計(jì)和修改非常有利。4.連續(xù)性三次b樣條曲線段連接處具有二階函數(shù)連續(xù)性（即c2連續(xù)性）。般來說，k次b樣條曲線具有kl階函數(shù)連續(xù)性（即ckt） o由前而的作圖過程可知，當(dāng)出現(xiàn)重復(fù)控制頂點(diǎn)時(shí)，曲線幾何連續(xù)性可能卜一降 （但函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍連續(xù)），甚至產(chǎn)生尖點(diǎn)。玖力pspl反過來說明：雖然k次b樣條曲線具有kl階函數(shù)連續(xù)性。但曲線仍 然可能退化為尖點(diǎn)、直線段。（只要合理利用控制點(diǎn)的位置）5、形狀控制的靈活性性質(zhì)4的特點(diǎn)說明，只要靈活選用控制點(diǎn)的位置，可以獲正是這種靈活性，使得b樣條方法成為cad系統(tǒng)的

28、主要描述手段。均勻三次b樣條曲線繪制c程序?qū)崿F(xiàn)均勻三次b樣條曲線計(jì)算:iip(u0)= znp(u0)p+jj=。:(i - uo )丫 + (4 + 6u+ 3u)pi+i + (1 + 3u + 3u()2 - 3u()3 )pi+2 + 馬衛(wèi)襯)珥（皿=znj.3（u。）電 l = ：（1-吐 +（4 + 6u+ 3u）l + （l + 3u + 3妒-3u3）%l + ur丄） j=0e（u。）、. = gnj3（u0）pi+j|v =対- u泌 l + （4+6uj +3 討）琮|, +（l+3u + 3u- 3討）+u。以j 均勻三次b樣條曲線的繪制：1. 起點(diǎn)、終點(diǎn)及其切矢繪制曲

29、線段（幾何作 圖法）2. 利用上面的計(jì)算方法可分別求出u=0,0. 25,1. 0時(shí)曲線上的點(diǎn)，依次連接相鄰兩 點(diǎn)為直線段，即可得近似的曲線圖形。県嚨=財(cái)皿)財(cái)二!(1 -麗l + (4+6過 + 3 妒)九丄 +(1 + 3u0 + 3u- 3u?！? u； h0珥(岫或 *(鳥)財(cái)=!(1-u)l+(4+6u+ 3 討)九丄+(l+3u+3u-3u* 丄+ 4 o)dmakeb3plinc3( float x , y; integer nc; float xs , ys ; integer n)l1float a, b, c. d, tjfbris=0tonc4dolfor j = 0 t

30、o n do it = j/n;a = l/6*(l-i)-3;b = l/6*(3* f3-6*r2 + 4): v* c = 1/6* (-3*r3 + 3*r2 + 3* t+z)： d = 1/6 3；xs(i * j = a* xi + b* xi + 1 + c* xi + 21 + d* xi + 3h ysi * n +j = a * yi + b * yi + 1 + c * yi + 2 + d * yi + 3;均勻三次b樣條曲線的反算初：賣際応莊中往彳主是知1通曲舞上的型 值點(diǎn).而并不知道特征多邊形頂點(diǎn)的位置，為 了構(gòu)造b樣條曲線，就需要由這些型值點(diǎn)反求 岀特征多成形的

31、頂點(diǎn)，這就是b樣條曲線頂點(diǎn) 的反求.設(shè)己知型值點(diǎn)列 q(1=1,2, . 一 hl), 要求一條三次b樣條曲線通過各h點(diǎn)、求出 這一的線的b樣條特征多邊形 p, (i=0, 1, . n).由曲線的端點(diǎn)性質(zhì)可得下列 綫性方程組了p；pi*pn-ln-1問題：已知空間坐標(biāo)點(diǎn)r，0=1,2-1),反求插值于該 坐標(biāo)點(diǎn)的三次均勻b樣條曲線控制頂點(diǎn)q, (i = o,l,.,)由均勻三次b樣條曲線幾何定義可知:pi+i(o) =(qi + 4qi+1 + qi+2)/6(i=o,l,.n-2)r+i=(qi+i + 4qi+2 + qi+3)/ 6由此可得；q0+4qi + q2 = 6 pi qi

32、+ 4qi+i + qi+2 = 6pi+i（i=o丄n-2）qn-2+4qn-l+qn = 6 pn-1方程數(shù)量為n-1,未知控制點(diǎn)q, （i = 0,1,2 ）數(shù)量為n+1需添加兩邊界條件（如切矢條件），總方程變?yōu)閝o+4qi + q2 = 6斗qi + 4qi+i + qi+2 = 6耳+1（i=0,l,n-2）qn-2 + 4qn-l + qn = 6 pn.|q2-q0 = 2p,qn-qn-2 =-分別對各個(gè)坐標(biāo)分量，求解上述方程組，得到三次均勻b樣條控制頂點(diǎn)邊界條件定義注意事項(xiàng):1.對于開曲線，則首末點(diǎn)邊界切矢 可由用戶隨意交互給定（通常取默 認(rèn)值）2.對于封閉曲線，則首末的位置

33、 相同，且邊界切矢方向相同一般b樣條曲線定義定義：給定n+1個(gè)控制點(diǎn)pi（i=o,l,.,n）構(gòu)成特征多邊形的頂點(diǎn)，及節(jié)點(diǎn)向量 區(qū)間u = % , u, , ull+k , un+k+1 , k次（k+1階）b樣條曲線的表達(dá)式為：（以）z=o其中nj,k（u）是調(diào)和函數(shù)，也稱基函數(shù)，其遞歸定義為:a7 /、1 若ni（、（u）= 粕 0其它vn（以）i （u収h ）乂+養(yǎng)一1（以） 嘰-u/+a+1 - uz+1規(guī)定夸=0b樣條基函數(shù)節(jié)點(diǎn)向量（knot vector）:u = & , ui , un+k，un+k+l 1iiii i ii丨丨 .uo u|uj ui+|un+k un+k+u

34、= uo，ll,，+k , un+k+1 稱為b樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量，葉為節(jié)點(diǎn)值，且應(yīng) 滿足uiui+1，即節(jié)點(diǎn)值應(yīng)滿足有序遞増（允許有重節(jié)點(diǎn)）。1 /i:u. 11 n例如準(zhǔn)均勻三次b樣條開曲線函數(shù)以=3, =6）的節(jié)點(diǎn)向量為 1/ =0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4,./=0準(zhǔn)均勻b樣條曲線的基函數(shù)2段曲線(0123, 1234)準(zhǔn)均勻b樣條曲線準(zhǔn)均勻b樣條曲線例：k=3（3次4階），節(jié)點(diǎn)向量為0 0 0 0 12 2 2 2n=4, 5個(gè)控制點(diǎn)beizer曲線的b樣條定義bo.3(u)=(1-u)3 b|.3(u)=3u(1-u)2 b23(u) = 3u2(1-u) b3,3

35、(u)=u若三次b樣條曲線控制點(diǎn)數(shù)為4(n=3),次數(shù)k = 3,且節(jié)點(diǎn)矢量u = 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 ,可推得：此時(shí)三次b樣條 曲線轉(zhuǎn)化為三次 bezier 曲線。bi,3(u) = c；u*l_u)a i = 0,l,2,3同樣，若k次b樣條曲線節(jié)點(diǎn)矢量u = 0,.,0,此時(shí)首末k+1重節(jié)點(diǎn)分別為。和1,則k次b樣條曲線轉(zhuǎn)化為k次bezier ft線。因此，三次均勻b樣條和bezier都是b樣條的特例，或者說三次均勻b樣 條和bezier都可用b樣條統(tǒng)一表達(dá)一般b樣條曲線定義b樣條重節(jié)點(diǎn)對曲線影響:對b樣條曲線，當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量出現(xiàn)重復(fù)節(jié)點(diǎn)時(shí), 在其重節(jié)點(diǎn)處曲線連續(xù)性

36、將逐次下降。如當(dāng)在p2 處為二重節(jié)點(diǎn)時(shí)，連接處為一階連續(xù)，而當(dāng)p2為 三重節(jié)點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，此時(shí)將出現(xiàn)尖點(diǎn)。b樣條曲線幾何性質(zhì)均勻b樣條曲線的特性也是一般b樣條曲線所具有的特性。即:1、對稱性2、凸包性3、局部性4、幾何變換不變性5、連續(xù)性對均勻b樣條曲線，重復(fù)控制點(diǎn)使曲線幾何連續(xù)性降低。6、造型的靈活性b樣條曲線與bezier曲線的比較1、bezier曲線的基函數(shù)的次數(shù)等于控制頂點(diǎn)數(shù)減一，而b樣條曲線的基函數(shù)的次數(shù)與控制點(diǎn)數(shù)無關(guān)，即可用任意多的 控制點(diǎn)來擬合三次均勻b樣條曲線。原因是b樣條曲線是分 段擬合的，這樣構(gòu)造復(fù)雜曲線更方便。2、bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)正好是控制多邊形的首末控制

37、點(diǎn), 控制形狀直觀方便。而b樣條曲線一般不經(jīng)過控制多邊形 頂點(diǎn)。3、為使b樣條曲線經(jīng)過控制多邊形首末控制頂點(diǎn)，使之具有 bezier類似的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中常引入準(zhǔn)均勻b樣條，即 在節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有k+1個(gè)重復(fù)度。例如：當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)=6,次數(shù)k = 3的準(zhǔn)均勻三次b樣條曲線的節(jié)點(diǎn)矢量可定義為u =0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3,3, 3o準(zhǔn)均勻三次e樣條曲線4、bezier曲線和b樣條曲線的關(guān)系:若三次b樣條曲線11 = 4, k = 3的節(jié)點(diǎn)矢量ii = 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 ,此時(shí)三次b樣條曲線轉(zhuǎn)化為二次bezier 曲線。因此，可以說bezier曲

38、線僅是b樣條曲線的特例，也就是 iiiiii說b樣條表達(dá)能力完全覆蓋了 bezier表達(dá)。p2p3po5、b樣條曲線比bezier曲線具有更緊致的凸包。因此，b樣條方法的凸包性比bezier方法優(yōu)越，使曲線更加 逼近特征多邊形。(a) b樣條曲絨韓btekr曲線四包的比較wxlerlfia(b b樣條曲線和也成了曲絨的比較因此，b樣條表達(dá)比bezier更優(yōu)越，應(yīng)用更廣泛主要內(nèi)容:6.1認(rèn)識曲線與曲面iii6.2曲面造型的發(fā)展歷程iii6.3曲線曲面的參數(shù)表達(dá)6.4 bezier曲線6.5 b樣條曲線6.6 nurbs曲線nurbs曲線non-uniform rational b-splinesiiinurbs稱非均勻有理b樣條n22cipini.kinj,k(u)i=onurbs仍采用b樣 條基函數(shù)，但采 用有理表達(dá)，増 加權(quán)值控制式中:財(cái)）=1 若 l o，丄一牝i+k0/0 = 0nurbs曲線優(yōu)點(diǎn)非均勻樣條(non-uniform b-spline):非均勻節(jié)點(diǎn)向量 基函數(shù)為