概率第三章習(xí)題答案

1、概率第三章習(xí)題答案習(xí)題三1、設(shè)(X,Y)的分布律為XY121231/6 19 11813 a 1/9a o解：由分布律的性質(zhì),1,Pijj0,1,a 0，即丄丄丄1 a69183解得，a2o92、注：考察分布律的完備性和非負(fù)性 設(shè)(X, Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F (x, y)表示：(1) Pa X b,Y c ； P0 Y b ;(3)PX a,Y b.解：根據(jù)分布函數(shù)的定義X，得(1)PaXb,Y c PXb,Y c;PXa,Yc F(b,c )F(a ,c )(2)P()Y bPX,Yb PXF(,b )F( ,0)(3)P：Xa,Yb PX,Y b PXF(,b )F(a ,

2、b )3、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函,Y 0a,Y b數(shù)為勺F(x,y)，分布律如下：YX123411/4001/162)1/161/401/4301/161/1601 3試求： P X ,0 Y 4;2 2(2) P1 X 2,3 Y 4;(3) F(2,3).解：由(X,Y)的分布律，得(1)1 3P X ,0 Y 42 2PX 1,Y1 PX115041616(2)P1 X 2,3 Y 4PX 1,Y3 PXPX 2,Y3 PX110 016161,Y1, Y2, Y2 PX 1,Y344(3)F (2,3) PX 2,Y3PX 1,Y1 PX 1,Y21PX1,Y 3 PX 2,

3、YPX 2,Y2 PX 2,Y3。11c c 1150 04 164 16 84、設(shè)X , Y為隨機(jī)變量，PX 0,Y0PX 0 PY求 Pmax( X ,Y)Pmax( X ,Y)解3/7,0004/7P(X 0)(Y0)P X 0 PY0 PX0,Y0注：此題關(guān)鍵在于理解max( X , Y) 0表示(X0) (Y 0)，然后再根據(jù)概率的加法公式。5、(X,Y)只取下列數(shù)值中的值：(0,0),( 1,1),( 1,1/3),(2,0)，且相應(yīng)概率依次為丄,丄，丄,總。請(qǐng)列岀6 3 12 12(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解：（1）根據(jù)（X,Y）的全部可能取值以及系，（2）

4、根據(jù)丫的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān) 得相應(yīng)概率，得（X,Y）的概率分布表為XY102001/65/121/31/120011/300XY102001/65/121/31/120011/3007121121/3P Y j所以，Y的邊緣分布為Pk01/3 17 /12 112 136、設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,0,102,102,0)，其概率 密度函數(shù)為f(x,y)1200200求 P X Y .解：由圖形對(duì)稱性，得1 PX Y PX Y，故 PX Y -o注：本題的求解借助與圖形的特點(diǎn)變得很簡(jiǎn)單，否則若根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì) 3進(jìn)行求解會(huì)相對(duì)復(fù)雜些。7、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密

5、f(x,y)k(6 x y), 0 x 2,2 y0,其它(1) 確定常數(shù)k ；(2) 求 PX 1,Y3;(3 )求 PX 1.5 ;( 4 )求PX Y 4.分析：利用P(X,Y) G f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy,GG Do再化為累次積分，其中Do (x, y)0 x 2,2 y 4解: (1)由概率密度函數(shù)的完備性，得24k,f (x, y)dx dy 。2 k(6 x y)dydx解得kP(X 1,Y3)13f(x,y)dxdyy)dyP(X 1.5) P(X 1.5,Y)f (x,y)dxdy1.5dxo4 12(6 X y)dy2732P(X Y 4)(4)f

6、(x, y)dxdyx y 424x1odx o 8(6 x y)dy&已知X和Y的聯(lián)合密度為cxy, 0 x 1,0 yf(x，y) 0,其它試求：(1)常數(shù)c; (2) X和丫的聯(lián)合分布函數(shù)F (x, y).解：（1）由概率密度函數(shù)的完備性，得1 11f （x, y）dxdy cxydxdy c解得c 4 oF(x,y)f (u,v)dudv0 x1,0y 10 x 1, y1x1,0y1x1, y1x 0或 y 00 x 1,0 y 10 x 1,y1。x 1,0 y 1x 1,y10,x0 或 y0x y4uvdvdu,0 0x 14uvdvdu,0 01 y4uvdvdu,0 01

7、14uvdvdu,0 00,2 2x y2x2y19、設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概 率密度為f(x, y)4.8y(2 x),0 x 1,0 y x求邊緣概率密度f(wàn)Y(y).解：fy (y)f(x, y)dx14.y0,y(2 x)dx,其它2.4y(3 4y y2),0,10、設(shè)(X,Y)在曲線y0 y其它2x ,Sgx所圍成的區(qū) 域G內(nèi)服從均勻分布，求聯(lián)合概率密度和邊緣 概率密度.解：據(jù)題意知，區(qū)域G的面積為 1 x102dydx -,0 x6由于(X, Y)在區(qū)域G內(nèi)服從均勻分布，故(X, Y)的概率密度函數(shù)為1(x, y) G 6,(x, y) Gf(x,y)Sg0, 其匕26dy,

8、0 x 1fx(X)其它f(x, y)dyx2 0,6(x0,x2),0 x其它fy (y)f(x, y)dx56dx, 0 y 1 y0,其它6( J y0,y), 0 y其它注：此題求解首先必須畫出區(qū)域 G的圖形 然后根據(jù)圖形確定積分上下限。11、二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布律為7/15 7/30（1）求丫的邊緣分布律；（2）P7/301/150|X0 , PY 1|X0;）判定X與丫是否獨(dú)立？解：（1）由邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系，XY0 1P Y j07/15 7/307/1017/301/153/10所以，Y的邊緣分布律為丫 0 1Pi0.7 0.3（2）PX 0,Y0 PX 0,Y1

9、7/1527/15 7/303PY 1 |X 0PX 0,Y1PX 0PX 0,Y1PX 0,Y0 PX 0,Y17/3017/15 7/303(3)根據(jù)二維隨機(jī)變量(X ,Y)的分布律可 知其邊緣分布律7157/30710由于 PX 0,Y0X與Y不獨(dú)立。12、設(shè)隨機(jī)變量為 f (x)1e |x|,2PX 0PY 0，所以X的概率密度問(wèn)：X與|X |是否相互獨(dú)立? 解：【法一】任意給定aPX af(x)dx0 1exdx2P|X|aa1 xe dx0 2af (x)dxa1(22a 1ea2|x|dx1 P Y j7307101/153100 1ea2xdxa 1-e xdx0 23101P

10、X a,|X | a P|X | aaa 1 | |f (x)dx-e |x|dxaa 20 1 x人a 1 x人彳ae dx e dx 1 ea 20 2PX a,|X | a PX aP| X |a,因而X與|X |不獨(dú)立?！痉ǘ咳鬤與|X |相互獨(dú)立,a 0,有PX a,|X | a PX aP|則對(duì)任意X| a,PX|X| a X aa,|X | a P| X | a,0a，解得所以，P|X| a PX aP| X |P|X| a(1 PX a)P| X | a 0或1 PX a，艮顯然這是不成立的，故X與|X |不是相互獨(dú)立的13、將某一醫(yī)藥公司9月份和 月份的青霉素制劑的訂貨單數(shù)

11、分別 記為X與丫。據(jù)以往積累的資料知，X和丫的聯(lián)合分布律為(1)求邊緣分布律;求月份的XY5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條 件分布律.解：(1)由聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系 得XY5152535455P X i51525354550.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.05

12、0.020.010.010.030.050.060.050.010.03(2)0.28 0.28 0.22 0.09 0.130.180.150.350.120.201PX 51|Y51PX 51,Y 510.061PY 510.1PX 521Y 51PX 52,Y51PY 510.0550.18 18PX 53| Y 51PX 53,Y51PY 510550.1PX54|Y51PX 54, Y51PY 510.010.18PX55|Y51PX 55, Y51PY 510.010.1851時(shí)，9月份訂單數(shù)的條8月份的訂單數(shù)為 分布律為X/Y 51515253545513 518 518 1 /

13、18 1114、已知(X, Y)的分布律如表所示,1/4 1/101/30求：（1）在丫 1的條件下，X的條 件分布律；（2）在X 2的條件下， Y的條件分布律.解:根據(jù)聯(lián)合分布律可得邊緣分布律，如下:XY012P X i012 P Y j1/401/3016512 1124 13/1/3724（1）根據(jù)上表，可得(2)013PX 1|Y1/3,11/31PX 1,Y1PY 1PX 2|Y1 PX 2,Y1 PY 12 01/3PX 0,Y1PY 1X/丫 10 1 2p0 1 0(3)根據(jù)上表，可得所以，在Y1的條件下，X的條件分布律為PY 0|X2PX 2,Y0PX 2PY 1|X2PX

14、2PY 2|X2 PX 2,丫 21/PX 21/8 1所以，在X 2的條件下，丫的條件分布律為Y/X 20 1 2p0 0 115、已知(X,Y)的概率密度函數(shù)f(x,y)3x, 0 x 1,0 y x求: (1) 條件概率密度函數(shù).解：(1)0,其它，邊緣概率密度函數(shù)；(2)fY (y)x3xdy, 0 x 1其它0,3x2,00,X 1 ?其它f (x, y)dx13xdx, y0,(2)當(dāng) 0323(1 y),fYix(y|x)3x3x2 ,0,其它0,其它x 1時(shí)， f(x,y) fx(x)其它1時(shí)，X0,其它fXY(x|y)精3x32、2(1 y)0,其它2x 珂，y x(1 y

15、)0,其它注：此題求解時(shí)最好畫出聯(lián)合密度函數(shù)不為零 時(shí)的區(qū)域，以便準(zhǔn)確的確定自變量的取值或積 分上下限。16、設(shè)X與Y相互獨(dú)立，其概率分 布如表所示，2 1 01/2PiYPi1213121/4 1/41/4 1/3 112 1/3求(X,Y)的聯(lián)合概率分布,PX Y 1, PX Y 0.解：由于X與丫相互獨(dú)立，故對(duì)任意i,j，有PX i,Y j PX iPY j,所以，(X, Y)的聯(lián)合概率分布為XY1/213PX1162 1 0 121/61/241/61/16 112116 1/12Y 1 PX121/4141/121122,Y3 PX 0,Y1PX Y 01 PX Y 01 (PX 1

16、,Y1 PX 1/2,Y1/2)6)17、某旅客到達(dá)火車站的時(shí)間 X均勻分布在早上7: 558: 00，而火車這段時(shí)間開(kāi)出的時(shí)間丫的密度函2(5 y), 0 y 5數(shù)為 fy(y)25，0,其它求此人能及時(shí)上火車的概率.解：令7: 55看作時(shí)刻0,以分為單位，故0x5其它X U0,5，即X的概率密度函數(shù)為fx(x)50,(X, Y)的聯(lián)合概率密度而X與Y相互獨(dú)立，故 函數(shù)為PYf(x,y) fx(x)fY(y)18、設(shè)X和丫是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X U(0,1)，丫e(1/2).(1)求X與丫的聯(lián)合概率密度；(2) 設(shè)有a的二次方程a2 2Xa 求它有實(shí)根的概率.所以解：因?yàn)閄U(0,1)

17、,fx(X)1,0 X 1 ；0, other因?yàn)檠緀(1/2)，所以fY(y)” y0, other又X,Y相互獨(dú)立，所以f(x,y) fx(x)fY(y)(1) e 2,0 x 1, y 0 20, other(2) 所求概率為X21X2 1 -y1dx e 2 dx (1 e 2 )dx 00 2 021 x_e 2 dx0疋1e 2 dx V20(0).X20e 2 dx19、設(shè)隨機(jī)變量X與丫都服從N(0,1)分布，且X與丫相互獨(dú)立，求(X, Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)解：據(jù)題意知，由于隨機(jī)變量 X與丫都服從 N(0,1)分布，所以X與丫的概率密度函數(shù)分別 為fX(x)”，2fy(y)1

18、e 2/ 2 e ，又由于x與丫相互獨(dú)立，f (x,y) fx(x)J(y),故x的聯(lián)合概率密度函數(shù)為1x2 y2f(x,y) fx(x)fY(y)-e 2 , x,y20、設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú) 立，且分別服從二項(xiàng)分布 B(n, p)與B(m, p)，求證：X Y B(n m, p).證：據(jù)題意知，X B(n, p), Y B(m, p), 故X與丫的分布律分別為PX i C；pi(1 p)n i,i 0,1,2,n,PY j Cmpj(1p)m j,j 0,1,2丄,m,又由于X與Xy相互獨(dú)立，故PX Y k PX 0,Y k PX 1,Y k 1PX 2,Y k 2PX k,Y 0PX

19、i 0ki,Y k i PX iPY ki 0iCi in i k i k inP (1 P)Cm P (10P)m (k i)Pk(1 P)km n k QiQk i Qk rkrm nCnCm Cm n P (1P)i 00,1,2,L,m n21、設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú) 且都等可能地取1,2,3為值，求 機(jī)變量U maxX,Y和 min X,Y的聯(lián)合分布.X Y123Pi1/31/31/3解：由題意，X和丫的分布律為可見(jiàn)U V，下求PU i,V j(1) 當(dāng) i j 時(shí)，PU i,V j 0(2) 當(dāng)i j時(shí)，PU i,V i PU V PX YPX i,Y i PX iP Y i 1/

20、9(3)當(dāng)i j時(shí)，PU i,V j PX i,Y j PX j,Y i2/9所以得到關(guān)于U , V的聯(lián)合分布律為UV12312319 2 9 2/901/9 29o1922、設(shè) (X,Y)U(D),D口 0,X Y且U,1,X Y0,X2 丫亠工V求U和V1,X 2Y的聯(lián)合概率分布.(x,y)|O x 2,0y 11 ( ) D解：由題意 f (x,y)2，(x,y),PU 0,VPX YPU 0,VPU 1,Vf(x,y)dxdyD2PU 1,V1f(x,y)dxdyD3PXY,X2Y111f(x,y)dxdydxody0x 2PXY,X2YP PXY,X2YPY12y 110dydx0丿

21、y 24PXY,X2YPX2x/2 11dx0 dyJ00 22O,other0Di102Y2Y所以，U和V的聯(lián)合概率分布為UV011/4 1/4_0_1Z223、設(shè)(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 1x2 y2f(x,y) -e 2Z Jx2解：Fz(z)Y2的密度函數(shù)。PZ z PPX2 y2f(x, y)dxdyz當(dāng)z 0時(shí)，當(dāng)z 0時(shí)，zFz(z) PJXzFz0 x2y2dxdyx r cos , y r sin所以FZ(z)20,zfz(z)0，z10z2/2ze ,z1 200z2/2,z2rze2 rdr0ez2/2，所以0024、設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為X(1)問(wèn)X和Xy

22、是否相互獨(dú)立？ (2) 求x 0,y 0,f()念 y)e(x y), f (x,y)20,其他.Z X 丫的密度函數(shù).解：(1)fx(X)f (x,y)dy0,x y)e ( 0 2由X、Y的對(duì)稱性得，y)dy2(X1)e,xfy (y)f(X, y)dx0,(y 1)ey,y因?yàn)閒 (x, y) fx (x)fY(y)，所以X和丫不獨(dú)立(2) fZ(z)f (x,z x)dx，由 f (x, y)的表達(dá)形式知，當(dāng)X 0, y 0,時(shí)f(x,y) 0, 即當(dāng)x 0, z x 0 , 也即0 x z時(shí)，f (x,y) 0,fz(z)f (x, z x)dx所以，0,z0oz1 ze 0 2zdz -z2e z,z2025、設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且PX0, Y 07，P(X 0)P(Y 0)求 Pmax(X, Y) 0.解:Pmax( X,Y)0P(X 0)(Y0)PX 0 PY0 PX0,Y04435o777726、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)0e(xy)00 x 1,0 y,其它（1）試確定常數(shù)b ； （2）求邊 緣概率密度f(wàn)x x , fY y ； （ 3）求函數(shù)Umax（X，丫）的分布函數(shù).b1解：（1）有概率密度函數(shù)的性質(zhì)，解得,f (