概率論習(xí)題解答第章

1、第5章習(xí)題答案三、解答題1. 設(shè)隨機(jī)變量 X1 , X2,，Xn獨(dú)立同分布，且XP()，X = Xi，試?yán)闷醣戎x夫不等式估計(jì) n yP| X - - | ： 2的下界。nn解：因?yàn)?X P( )，E(X) =E(丄Xi)=丄7 E(Xi)二丄 nn y n yn由契比謝夫不等式可得2.設(shè) E(X) = -1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9， : xy = -0.5，試根據(jù)契比謝夫不等式估計(jì)P| X + 丫 | : 3的上界。解：由題知 上X丫 - : X i亠門丫 = -1 - 1 =0Cov X,Y = 一, D Y= -0.5、1.9 = -1.5所以 P、X Y

2、_3：- 泣(X0 _3乜793. 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.解：設(shè)i個(gè)元件壽命為 Xi小時(shí)，i = 1 ,2 ,16 ，則 X1，X2，.，X16 獨(dú)立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 ,16 ，16 164X i)二 1600,Xi)二 1.610，i 1i A由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知:167 近似服從 N ( 1600 , 1.610000)，所以i A16吃 Xj 1920lJ壬16=1 P辰 Xi 192

3、016 、Z Xi -1600 1920-1600 1.610000 一 v160000=1 處0.8 =1- 0.7881= 0.21194. 某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū) 1000人商品，某種商品在一段時(shí)間內(nèi)每人需要用一件的概率為0.6，假定在這一時(shí)間段各人購(gòu)買與否彼此無(wú)關(guān)，問(wèn)商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會(huì)脫銷 (假定該商品在某一時(shí)間段內(nèi)每人最多可以買一件).解：設(shè)商店應(yīng)預(yù)備 n件這種商品，這一時(shí)間段內(nèi)同時(shí)間購(gòu)買此商品的人數(shù)為X，則 X B (1000，0.6)，貝U E(X) = 600，D (X ) = 240， 根據(jù)題意應(yīng)確定最小的n,使PX n = 99.7%成立

4、.X -600一 、240n_6：（n-600）=0.997（2.75）.240240所以 n =2.75240600 =642.6，取 n=643。即商店應(yīng)預(yù)備643件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會(huì)脫銷。5. 某種難度很大的手術(shù)成功率為0.9，先對(duì)100個(gè)病人進(jìn)行這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P84 X 1為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同的分布如下表所示，證明大數(shù)定律.X0Pk1/41/21/4證明：、i = - 2 0 12 1=0 ， 又因?yàn)閄n : n _ 1獨(dú)立且同分布，所以:X n 服從切比雪夫大數(shù)定律3.設(shè)隨機(jī)變量序列Xn : n _ 1獨(dú)立同分布，E(Xn) = 0, D(Xn) = ；2(0 ： ；2 ： ：)，又 E(X：)存在1 n(n=1,2,)，證明：一送X i2t o2 (提示：利用Chebyshev大數(shù)定律)n i壬證明：因?yàn)殡S機(jī)變量序列Xn : n _ 1獨(dú)立同分布，所以 X 2也獨(dú)立同分布E(X：) =D(XJ E(Xj )，D