教輔：新課標版數(shù)學（理）高三總復習之：第八章立體幾何第七節(jié)

1、,第八章立體幾何,1能夠運用向量的坐標判斷兩個向量的平行或垂直 2理解直線的方向向量與平面的法向量 3能用向量方法解決線面、面面的垂直與平行問題，體會向量方法在立體幾何中的作用,請注意 本節(jié)知識是高考中的重點考查內(nèi)容，著重考查線線、線面、面面的平行與垂直，考查以選擇題、填空題形式，出現(xiàn)時靈活多變，以解答題出現(xiàn)時，往往綜合性較強屬于中檔題,1直線的方向向量 就是指和這條直線所對應向量(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量可以有個,平行,無數(shù)多,2平面的法向量 (1)所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有 ，它們是_向量 (2)在空間中，給定一個點A和一個向

2、量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點A的平面是確定的,無數(shù)多個,共線,唯一,3直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關系中的應用 直線l1的方向向量u1(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為u2(a2，b2，c2) 如果l1l2，那么u1u2 如果l1l2，那么u1u2. 直線l的方向向量為u(a1，b1，c1)，平面的法向量為n(a2，b2，c2) 若l，則unun0； 若l，則unukn ；,(a1，b1，c1)(a2，b2，c2),a1a2b1b2c1c20,a1a2b1b2c1c20,(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2),平面1的法向量為u1(a1，b1，c1)，平面2的

3、法向量為u2(a2，b2，c2) 若12，則u1u2u1ku2_ 若12，則u1u2u1u20 .,(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2),a1a2b1b2c1c20,1已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則下列結論正確的是() Aac，bcBab，ac Cac，ab D以上都不對 答案C,2若兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，則l1與l2的位置關系是() A平行 B相交 C垂直 D不確定 答案A 解析v22v1，l1l2.,3若平面，垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是() An1(1,2,1)，n2(3,1,1)

4、Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1) Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1) Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2) 答案A,4已知平面內(nèi)有一個點M(1，1,2)，平面的一個法向量是n(6，3,6)，則下列點P在平面內(nèi)的是() AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4) 答案A,答案C,6若平面，的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則() A B C，相交但不垂直 D以上均不正確 答案C,例1(1)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點，證明：PQRS.

5、,題型一 證明平行關系,(2)在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，且PDDC，E是PC的中點，求證：PA平面EBD.,(3)在正方體AC1中，M，N，E，F(xiàn)分別是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點，求證：平面AMN平面EFDB.,【答案】(1)略(2)略(3)略,探究1(1)證明線線平行是證明線面平行和面面平行的基礎，要證線線平行，只需證明相應的向量共線即可 (2)解決此類問題的依據(jù)還是要根據(jù)線面平行的判定定理，可證直線方向向量與面內(nèi)一向量平行，也可證直線方向向量與平面法向量垂直 (3)證明面面平行時，可以通過面面平行的判定定理，也可以用兩個平面的法向量

6、互相平行來證,(1)如圖所示，在長方體OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，點P在棱AA1上，且AP2PA1，點S在棱BB1上，且SB12BS，點Q，R分別是O1B1，AE的中點，求證：PQRS.,思考題1,(2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點求證：MN平面A1BD.,【答案】(1)略(2)略,例2(1)已知空間四邊形OABC中，M為BC中點，N為AC中點，P為OA中點，Q為OB中點，若ABOC.求證：PMQN.,題型二 證明垂直關系,(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：BD1平面ACB1.,(3)已知正方體ABCD

7、A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點，求證：平面DEA平面A1FD1.,【答案】(1)略(2)略(3)略,探究2(1)要證明兩線垂直，需轉化為兩線對應的向量垂直，進一步轉化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎 (2)證明線面垂直，可利用判定定理如本題解法，也可證明此直線與平面的法向量共線 (3)用向量證明兩個平面垂直，關鍵是求出兩個平面的法向量，把證明面面垂直轉化為法向量垂直,如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側面PBC底面ABCD. (1)求證：PABD； (2)求證

8、：平面PAD平面PAB.,思考題2,【思路】空間中各元素的位置關系和數(shù)量關系其核心是線與線的關系，線與線的關系完全可以用數(shù)量關系來表示，從而為向量在立體幾何中的應用奠定了堅實的基礎考慮到面PBC面ABCD及PCPB，故可取BC的中點O為原點，OP為z軸，OB為x軸,【答案】(1)略(2)略,題型三 探究性問題,探究3(1)證明線面平行須證明線線平行，只需證明這條直線與平面內(nèi)的直線的方向向量平行可用傳統(tǒng)法也可用向量法用向量法更為普遍 (2)證明線面垂直的方法：可用直線的方向向量與平面的法向量共線證明；也可用直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直證明 (3)證明面面垂直通常轉化為證線面垂直，也可用兩平面的法向量垂直來證明,(2015衡水調(diào)研卷)如圖所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱A1A2. (1)證明：ACA1B；,思考題3,【答案】(1)略(2)點P不存在,用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用