完整版相似三角形模型講一線三等角問題講義解答

1、實用文檔、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識（一） A字型、反 A字型（斜A字型）（平行）（不平行）標(biāo)準(zhǔn)文案（二） 8字型、反8字型B（平行）（三）母子型（蝴蝶型）（四）一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（六）雙垂型:A相似三角形判定的變化模型一線三直角的AD/ BC,對角線 AG BD交于點O, BE/ CD交CA延長線于 E.求證:OC=OA? OE2 .如圖，在 ABC中，AB=AC=10 BC=16點D是邊BC上（不與 B, C重合）一動點，/ ADE=Z B=a, DE交 AC于點E.下列結(jié)論：AD2=AE? Ab 3.6 W AEV 10;當(dāng)

2、AD=2 i 時， ABDA DCE厶DCE為直角三角形時， BD為8或12.5 .其中正確的結(jié)論是 .（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）3.已知：如圖， ABC中，點 E在中線 AD上，/ DEB=/ ABC 求證：(1) DB=DE? Da(2 )Z DCE=/ DAC2AB=AC ADL BC于 D, CG/ AB BG分別交 AD AC于 E、F.求證：BE=EF? EG6.已知：如圖，在 Rt ABC中，/ C=90, BC=2 AC=4 P是斜邊 AB上的一個動點， PD丄AB交邊 AC于點D (點D與點A C都不重合)，E是射線DC上一點，且/ EPD=/ A.設(shè)A P兩點的距離為

3、 x,A BEP的面積為(1)求證：AE=2PE(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;BC=2DE8.如圖，已知 ABC是等邊三角形，點 D B C E在同一條直線上，且/ DAE=120(1) 圖中有哪幾對三角形相似？請證明其中的一對三角形相似；9.(已知：如圖，在 Rt ABC中，AB=AC / DAE=45 .求證:實用文檔10.如圖，在等邊厶 ABC中，邊長為 6, D是BC邊上的動點，/ EDF=60(1) 求證： BD0A CFD求BE的長.標(biāo)準(zhǔn)文案11. (1)在厶ABC中，AB=AC=5 BC=8點P、Q分別在射線 CB AC上(點P不與點 C 點B重合)，且保持 /

4、 APQ2 ABC若BP=x CQ=y求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2) 正方形ABCD勺邊長為5 (如圖)，點P、Q分別在直線CB DC上 (點P不與點C點B重合)，且保持 / APQ=90度.當(dāng)CQ=1時，寫出線段BP的長(不需要計算過程，請直接寫出結(jié)果)13 .已知梯形 ABCD中, AD/ BC,且 AD BC, AD=5, AB=DC=2(1) 如圖，P為AD上的一點，滿足/ BPC=ZA,求AP的長；(2) 如果點P在AD邊上移動(點 P與點A D不重合)，且滿足/ BPE=Z A, PE交直線BC于點E,同時交直 線DC于點Q.當(dāng)點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)

5、AP=x CQ=y求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；14.如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=CD=BC=,6 AD=3.點M為邊BC的中點，以 M為頂點作/ EMFM B, 射線ME交腰AB于點E,射線MF交腰CD于點F,連接EF.(1) 求證： MEA BEM(2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(3 )若EF丄CD求BE的長.15 .已知在梯形 ABCD中, AD/ BC AD BC 且 BC=6 AB=DC=4 點 E 是 AB 的中點.(1) 如圖，P為BC上的一點，且 BP=2.求證： BEPA CPD(2) 如果點P在BC邊上移

6、動(點 P與點B C不重合)，且滿足/ EPF=Z C, PF交直線CD于點F,同時交直 線AD于點M,那么當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè) BP=x, DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)弘加尋厶時時,求BP的長.4D.4DBpC EC16.如圖所示，已知邊長為 3的等邊 ABC點F在邊BC上, CF=1,點E是射線BA上一動點，以線段 EF為 邊向右側(cè)作等邊厶 EFG直線EG FG交直線AC于點M, N,(1) 寫出圖中與 BEF相似的三角形；(2) 證明其中一對三角形相似；(3) 設(shè)BE=x , MN=y求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(4) 若

7、AE=1，試求 GMN勺面積.17.如圖所示，已知矩形 ABCD中, CD=2 AD=3,點P是AD上的一個動點(與A、D不重合)，過點P作PE丄CP交直線AB于點E,設(shè)PD=x AE=y,(1)寫出y與x的函數(shù)解析式，并指出自變量的取值范圍;(2)如果 PCD的面積是 AEP面積的4倍，求CE的長;(3) 是否存在點 卩，使厶APE沿PE翻折后，點A落在BC上？證明你的結(jié)論.DF丄 DE18. 如圖，在 Rt ABC中，/ C=90, AB=5,工匸-=，點D是BC的中點，點 E是AB邊上的動點,交射線AC于點F.(1 )求AC和BC的長；(2) 當(dāng) EF/ BC時，求 BE的長；(3) 連

8、接EF,當(dāng)厶DEF和 ABC相似時，求 BE的長.(備用圖)A、C不19. 如圖，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=BC D是AB邊上一點，E是在AC邊上的一個動點(與點 重合)，DF丄DE DF與射線BC相交于點F.(1) 如圖2,如果點 D是邊AB的中點，求證：DE=DF(2) 如果 AD: DB=m求DE DF的值；(3) 如果 AC=BC=6 AD DB=1: 2,設(shè) AE=x BF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；以CE為直徑的圓與直線 AB是否可相切？若可能，求出此時x的值；若不可能，請說明理由.20. 如圖，在厶ABC中，/ C=90EF交射線BC于點F.設(shè)BE

9、=x,(1 )求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,AC=6 斗_彳,D是BC邊的中點, BED的面積為y.并寫出自變量 x的取值范圍；E為AB邊上的一個動點,作/ DEF=90 ,(2)如果以線段BC為直徑的圓與以線段 AE為直徑的圓相切，求線段 BE的長;BED相似，求 BED的面積.421. 如圖，在梯形 ABCD中, AB/ CD AB=2 AD=4, tanC=，/ ADCM DAB=90 , P是腰 BC上一個動點(不J含點B C),作PQLAP交CD于點Q.(圖1)(1 )求BC的長與梯形 ABCD勺面積；(2)當(dāng)PQ=DQ寸，求BP的長；(圖2)1. 解答：2. 解答：證明： AD/ BC4

10、，又 BE/ CD 丄，二二丄，即 OC=OA? OEOC OBOB OE OC OE解： AB=ACB=Z C,又/ ADE=Z B./ ADEN C,.A ADEA ACD 4 仝，. aeJ=ae? AB, AE AD故正確，易證得厶 CDEA BAD T BC=16設(shè) BD=y, CE=x 魁=,1 工，整理得:CD CE 16-y x2即(y - 8) =64 - 10x , Ov x 6.4 ,/ AE=AC- CE=10- x, 3.6 AEri i / EPD=/ A, / PED=/ AEREPDA EAR 得二_二=21寸PEAP2(2)由厶 EPDA EAR定義域是 0

11、xv 一-5另解：由厶EPDA EAR得DE PD 1PE PE=2DE AE=2PE=4DE AEX2x ,2-Saab= XyxXX 2=1 x , SAABEAB21y= - x323x .定義域是 0 x GBC的中位線， MF=GB2!又 AD/ BC,GADA GBC 塑=型=丄4 ,.塑=1, 即 AG=AB=6GB BC 6 2 AG GB=12 MF=EF=6 BM=BE=3 .點E是AB的中點,又厶 MEFA BEM.型=世=1,即MF=ME EF是梯形 ABCD勺中位線， EF丄(AD+BC ( 3+6)戈;Bg ME222(3 )T EF CD15.答: / EFC=9

12、0 , MEFA BEM / MFE/ MFC/ BME=45 ,解一：過點E作EH! BC,則可得 EHM等腰直角三角形，EH=MH故 EH=MH 設(shè) BE=x 貝U BH丄-,4解二：過點M作MNL DC MC=3由厶 MEFA MFCt T ,即 P 旳TCI54NIC.M4，得3弓&虧解 (1)證明：在梯形 ABCD中 , AD/ BC, AB=DC=FN FC= i i： - 2BE 丨. / B=Z C.BE=2, BP=2, CP=4 CD=4 里=!?. BEPA CPDCP CD(2)解：/ B=Z C=Z EPF 180 / B=180-Z EPF=/ BEP+Z BPE=

13、Z BPE+Z CPFHE 閏.crP2 si6-i4SZ1DJIF 43ABEP, DFBP3 y 八. BEPA CPF, EBBPl 12xCPcr - 工 4 _ y2故當(dāng)點F在線段cd的延長線上時，不存在點 P使sadmf=-|sabep ；當(dāng)點F在線段 CD上時，同理 BEPA DMF.、/9當(dāng) admf abep / BEP=/ FPC BEPA CPF, -4 (2 xv 4)當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，/ FDMZ C=Z B, / BEP=/ FPCK FMD BEPA DMF DF 3 y.T, x - 3x+8=0 , 0.此方程無實數(shù)根.尸gF - 3k+4 .2

14、、, x - 9x+8=0 ,解得 X1=1 , X2=8.由于 X2=8 不合題意舍去. x=1 ,即 BP=1. 時，BP的長為1.16.解解：（BE&A AM0A CFWA GMN 答：證明：（2）在厶BEF與厶AME中,/ B=Z A=60,./ AEM社 AME=120 ,/ GEF=60 ,/ AEM# BEF=120BEF=Z AME :, BEFA AME備用圖一備甲圖二解：(3) (i )當(dāng)點E在線段AB上，點M N在線段AC上時，如圖,/ BEFA AME - BE: AM=BF AE,即: x： AM=2 （3- x） , AM=同理可證厶 BEFA CFN BE: CF

15、=BF CN即：x： 1=2： CN - CN丄,/ AC=AM+MN+CN 3=0曾?+y+工y=；J ( K x 3);2| x(ii )當(dāng)點E在線段AB上，點6在厶ABC內(nèi)時，如備用圖一，同上可得：AM= 丁 i；, CnL,2x/ AC=AM+CN MN 3= _ /+%+上yy= J %*民 一 4 ( ov x 3);22x綜上所述：y= -婁細(xì)竺( o v x 1)； 2x2x(4) (i )當(dāng)AE=1時， GMN是邊長為1等邊三角形，Smm=_X 1 X 二=丄；(1 分):(ii )當(dāng) AE=1 時， GMN1 有一個角為 30 的 Rt, x=4,. y= 一，一丄,NG=

16、FG FN=4X ；- 1 X；=；, 2X42222 s =1X222 g17.答:解(1)解：T PEI CP,.可得：y 3 _ Xx 2(2)解：當(dāng) PCD的面積是厶AEP面積的4倍, 則：相似比為2： 1 , 又 CD=2 AD=3 設(shè) PD=x, AE=y,.AF PAEAP PDC 亠-PD CD y= 1 2 衛(wèi) ，y= - r,0v x v 3; .AE AP_1PDCD2，_/ CD=2 AP=1, PD=2 PE= - , PC=2 : , EC= 111.(3 )不存在.作AF丄PE,交PE于O, BC于 F ,連接EFT AF丄 PE, CP丄 PE/. AF=CP=

17、 , , PE=：,-.,(3-72/ CDPA POA=223x 6x+4=0,OA=PA PC (3- x) x=l2 =6 4 X 4 X 3= 12 x 無解因此，不存在.18.答:解 解：（1）在 Rt ABC中，/ C=90E作EH! BC,垂足為H.易得BE=5k(3)過點設(shè) EH=3k,/ HED丄 HDE=90 / FDC+Z HDE=90EHBA ACB/ EHD2 C=90 EHDA DCF/ HED=/ FDC I 方五，當(dāng)厶DEF和 ABC相似時，有兩種情況:1CD4,即.解得-丄,24K厲DE BC 4綜合1、2 ,22，呼5匸衛(wèi)即亠CD-32 3當(dāng)厶DEF和 AB

18、Ct目似時，BE的長為上或丄2 g解得w，丄.y， 設(shè) AC=3k, BC=4k, / AB=5k=5,. k=1,. AC=3 BC=4 BC 4|(2)過點E作EH! BC,垂足為 H.易得 EHBA ACB設(shè) EH=CF=3k BH=4k, BE=5k;/ EF/ BC/ EFD=/ FDCFD_CD/ FDE玄 C=90a EFD FDC FD=EF? CD,即 9k2+4=2 (4 -4k)化簡，得 9k2+8k - 4=0（負(fù)值舍去），二_丨;19.解(1)證明：如圖2,連接DC答： / ACB=90 , AC=BC A=Z B=45 ,點 D是 AB中點，BCD2 ACD=45

19、, CD=BDACD=/ B=45/ ED! DF, CD!AB,/ EDC丄 CDF=90 , / CDF+Z FDB=90 ,EDCM FDB CEDA BFD (ASA) , DE=DF(2) 解：如圖1,作DP! AC, DQL BC,垂足分別為點 Q, P./ B=Z A , / APD=/ BQD=90 ,ADPA BDQ DP DQ=AD DB=m/ CPD/ CQD=90 , / C=90, / QDP=90 ,/ DF丄 DE, / EDF=90 , / QDF/ PDE/ DQF/ DPE=90 ,DQFA DPE DE DF=DP DQ DE DF=DP DQ=AD DB

20、=m(3) 解：如備用圖1,作EGL AB, FH! AB,垂足分別為點 G H.在 Rt ABC中，/ C=90 , AC=BC=6 - AB= :,20.答:/ AD DB=1: 2,：. AD三 ：, DB= 由/ AGEM BHF=90，/ A=Z B=45可得 AG=EG= 一 .，BH=FH2 K 2易證 DG0A FHD ： DG GE匸，GD= _.,2V2資V22r V2W2如備用圖2,取CE的中點0,作OML AB于M.可得 CE=6- x, A0=-十二,HD=：7,0M=：_,.AB相切，貝U 2 _ 2 2若以CE為直徑的圓與直線 解得.:當(dāng)八時，以，: y=8 -

21、2x,CE為直徑的圓與直線 AB相切.備冒圖1備用圖解解:(1)t在厶 ABC中，/ C=90, AC=6 t述斗，： BC=8AB=10,定義域是: CD=DB=4過點E作EH! CB于 H.則可求得 EH丄x.54 x x= x (0 V x 5 5-或 5V xw 10).(2)取AE的中點O,過點O作OGL BC于G 連接OD則x10+y32 (10+x), GD=C- CG=4-I (10-x)4 2T 25122兩圓外切，則可得 *BC1；AE=OD：.( BC+AE =4OD,2 Q 2+x 25: 0D=2：( 8+10- x) =4(10+x)100若兩圓內(nèi)切，得|-；BC-；AEFOD,解得42+x225BE的長為二丄3又 EM=M EB