初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽：分式的化簡(jiǎn)與求值

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽：分式的化簡(jiǎn)與求值分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即 分式只有在分母不等于零時(shí)才有意義；也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以 (或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運(yùn)算中通分和 約分的理論根據(jù)在分式運(yùn)算中，主要是通過約分和通分來化簡(jiǎn)分式，從而對(duì)分 式進(jìn)行求值除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速 準(zhǔn)確的解答本講主要介紹分式的化簡(jiǎn)與求值例 1 化簡(jiǎn)分式：分析 直接通分計(jì)算較繁，先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之和的形式， 再化簡(jiǎn)將簡(jiǎn)便得多(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2) 說明 本題的關(guān)鍵是正確

2、地將假分式寫成整式與真分式之和的形式 例 2 求分式當(dāng) a=2 時(shí)的值分析與解 先化簡(jiǎn)再求值直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng)例 3 若 abc=1，求分析 本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，但較復(fù)雜下面介紹幾種簡(jiǎn) 單的解法解法 1 因?yàn)?abc=1，所以 a，b，c 都不為零解法 2 因?yàn)?abc=1，所以 a0，b0，c0例 4 化簡(jiǎn)分式：分析與解 三個(gè)分式一齊通分運(yùn)算量大，可先將每個(gè)分式的分母分解因式， 然后再化簡(jiǎn)說明互消掉的一對(duì)相反數(shù)，這種化簡(jiǎn)的方法叫“拆項(xiàng)相消”法，它是分式化簡(jiǎn)中 常用的技巧例 5 化簡(jiǎn)計(jì)算(式

3、中 a，b，c 兩兩不相等)：似的，對(duì)于這個(gè)分式，顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c)，而分子又恰好湊成 (a-b)+(a-c)，因此有下面的解法解說明 本例也是采取“拆項(xiàng)相消”法，所不同的是利用例 6 已知：x+y+z=3a(a0，且 x，y，z 不全相等)，求分析 本題字母多，分式復(fù)雜若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么題 目只與 x-a，y-a，z-a 有關(guān)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可用換元法求解解 令 x-a=u，y-a=v，z-a=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于 x，y，z 不全相等，所以 u，v，w 不全為零，所以 u2+v2+w20，

4、從而有說明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母?jìng)€(gè)數(shù)，使運(yùn)算過程簡(jiǎn)化 例 7 化簡(jiǎn)分式：適當(dāng)變形，化簡(jiǎn)分式后再計(jì)算求值(x-4)2=3，即 x2-8x+130原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，說明 本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類 型，應(yīng)用得當(dāng)會(huì)使問題的求解過程大大簡(jiǎn)化解法 1 利用比例的性質(zhì)解決分式問題 (1)若 a+b+c0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若 a+b+c=0，則 a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有說明 比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問題時(shí)，靈活巧妙地使用，便 于問題的求解解法 2 設(shè)參數(shù)法令則a+b=(k+1)c，a +c=(k+1)b，b +c=(k+1)a+有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0， 故有 k=1 或 a+b+c=0 當(dāng) k=1 時(shí)，當(dāng) a+b+c=0 時(shí)，說明 引進(jìn)一個(gè)參數(shù) k 表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條