小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法、思路歸納14：小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)陣問題

1、第十四講 數(shù)陣問題問題 58：幻方一、三階幻方例 1.把數(shù) 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分別填入下面的 9 個(gè)方格里，使每行、 每列以及每條對(duì)角線上的 3 個(gè)格里的數(shù)的和都相等，等于 15。分析與解：把所給的數(shù)按從小到的順序排列成一行，確定出排在中間位置的 數(shù)（可以叫做中位數(shù)）是 5，把 5 首先填在方格的中間。1 、2、3 、4 、5 、6 、7 、8、9中位數(shù)要使每行、每列以及每條對(duì)角線上的 3 個(gè)格里的數(shù)的和都相等，我們以 5 為 中心，把其它數(shù)等距離分為四組：1 和 9、2 和 8、3 和 7、4 和 6。那么， 1 和 9 就要排在同一行，或同一列，或同一對(duì)角線兩端的方格里；

2、同樣的道理， 2 和 8、3 和 7、4 和 6 也都要排在同一行，或同一列，或同一對(duì)角線的兩端的方 格里。此時(shí)，每行、每列以及每條對(duì)角線上的 3 個(gè)格里的數(shù)的和都等于 15。由于三個(gè)數(shù)的和是 15，9 是最大的數(shù)，9 不能填在相同的一行里，因此第 組數(shù) 1 和 9 不可能填在對(duì)角線兩端的方格里。所以，把奇數(shù)組，第組數(shù) 1 和 9、 第組數(shù) 3 和 7 分別填在中間一列、中間一行。把偶數(shù)組，第組數(shù) 2 和 8、第組數(shù) 4 和 6 分別填在對(duì)角線兩端的方格里，102由于 8 不可能與 9 在相同的一行里，所以 2 要填在與 9 相同的一行里。再經(jīng)過試 算、調(diào)整就可以填寫出來。除了上面的解法外，我

3、們還可以用逐步調(diào)整的辦法解決這個(gè)問題： 先將從 1 到 9 這九個(gè)數(shù)字按一般形式排成一個(gè)方陣（如圖（1）579 71593圖（1 ）圖（2 ）圖（3）這時(shí)，圖（ 1）的兩條對(duì)角線、第二行、第二列上的三個(gè)數(shù)字的和已經(jīng)都等 于 15。同時(shí)利用行列式的對(duì)角線法則，平行于主對(duì)角線或次對(duì)角線的三個(gè)元素： （2，6，7）；（4，8，3）；（2，4，9），（6，8 ，1）的和都等于 15 。我們采用下 面的“對(duì)角線”法則對(duì)圖（ 1）的元素作下列調(diào)整：（1）將兩條對(duì)角線上的元素 繞中心旋轉(zhuǎn) 45 度（順時(shí)針或逆時(shí)針都可），如圖（2）或圖（3）所示；（2）對(duì)于 剩下的元素 2、4、6、

4、8，考慮它所在的“主對(duì)角線組”和“次對(duì)角線組”，例如 元素 2，它對(duì)應(yīng)的“主對(duì)角線組”為（2，6，7），“次對(duì)角線組”為（2，4，9）， 因此“2”的主對(duì)角元為 7，次對(duì)角元為 9，這樣 2 在圖（2）或圖（3）中的位置 應(yīng)該在十字架的“7”與“9”的交叉處；同理，4 應(yīng)該在“3”與“9”的交叉處； 6 應(yīng)該在“7”與“1”的交叉處；8 應(yīng)該在“3”與“1”的交叉處。這樣填好之 后，得到圖（4）或圖(5)。816357492672159834圖（4）圖（5）這兩個(gè)圖已經(jīng)符合題目的要求。上面的這道題是有趣的數(shù)字排列圖，叫做幻方（古人把它叫做九宮圖）?；?方是我國(guó)祖先早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的。

5、我國(guó)古代有“河圖”和“洛書”的傳 說：在原始部落伏羲時(shí)代，有龍馬出于黃河背負(fù)“河圖”，有神龜出于洛水背負(fù)“洛103書”。而這種“河圖”和“洛書”的形象最早是宋人根據(jù)鄭玄的乾鑿度中的“載九 履一，左三右七，二四為肩，六八為足 ”造出來的。如下圖所示，我們填寫的方 陣圖正好與這種“河圖” 、“洛書”的形象完全一致。“洛書”作為數(shù)字方陣，也就是 我們所說的三階幻方。直到現(xiàn)在，仍然是許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者感興趣的問題。其實(shí)，在三階方陣?yán)锾顚懙臄?shù)不一定是從 1 開始的自然數(shù)，可以從任何一個(gè) 數(shù)開始，這一列數(shù)可以是任何一個(gè)等差數(shù)列。二、五階幻方我們繼續(xù)用上面的調(diào)整法來制作五階幻方。將數(shù) 1 到 25 按自

6、然排列排成一個(gè) 5 階方陣，如圖（6）所示。按照幻方的要 求，五行、五列、兩條對(duì)角線上的5 個(gè)數(shù)的和應(yīng)該相等。我們首先計(jì)算這個(gè)和應(yīng) 該等于多少。由于 1232425=65，而 655=13，這說明 5 階幻方與 3 階幻 方一樣，中心位置的數(shù)應(yīng)該是 13。在圖（5）中，兩條對(duì)角線、第三行、第三列的 5 個(gè)數(shù)的和已經(jīng)都等于 65： 17131925=65；59131721=65像三階幻方那樣，我們?nèi)匀徊捎孟旅娴摹皩?duì)角線”法則對(duì)圖（ 6 ）的元素作 下列調(diào)整：（1）將兩條對(duì)角線上的元素繞中心旋轉(zhuǎn) 45 度得圖（7）或圖（8）：10421234 5516 7 8 9 10 11 12 13 14 1

7、5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25圖（6 ）91 7 13 19 25 1721圖（7 ）721 17 13 91925圖（8 ）5（2）對(duì)剩余的元素，寫出它相應(yīng)的“主對(duì)角線組”和“次對(duì)角線組”：例如 元素 2，它的“主對(duì)角線組”和“次對(duì)角線組”分別是（2 ，8，14，20，21），（2， 6，23，19，15），這樣 2 在圖（7）或圖（8）中應(yīng)該在對(duì)角元 21 和 19 的交叉處； 同時(shí)，在圖（6 ）中關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)元素在調(diào)整后的圖（ 7）或圖（8）中的 位置也應(yīng)該是關(guān)于中心對(duì)稱的，這樣 24 在圖（7）或圖（8）中的位置就應(yīng)該在 7 和 5 的交叉處；如此

8、下去，就得到下面的圖（9）或圖（10）：18 24 56 1214 10 122 1817 24 181522 3915 1620 11 73 2423 57 14 1617 13 19 25 21 17 13 954 613 20 2210 11 17 23 414 20 21 2 8 圖（9 ）2 23 19 15 6 8 4 25 16 12圖（10 ）10 12 19 21 3 11 18 25 2 9圖（11 ）這種手段可以用到一般的奇數(shù)階幻方的制作上。對(duì)于奇數(shù)階幻方，有人發(fā)現(xiàn)了下面的制作方法：對(duì)于 1、2、3、n ，先將 1 置于頂行正中，按照從小到大的順序向右 上方的臨近方格填寫

9、，遇到右上方“出格”（沒有方格）的情形，按照下面三個(gè) 原則處理：（1）要填的數(shù)超出上方邊界，則填到“出格”的這一列的最下面；（2） 要填的數(shù)超出上右邊界，則填到“出格”的這一行的最左邊；（3）要填數(shù)的位置 上已經(jīng)有別的數(shù)，或者超出右上角，則填在前一數(shù)的緊鄰下方。圖（11）就是按 照這種規(guī)則得到的 5 階幻方。三、四階幻方對(duì)于偶數(shù)階幻方，就不存在上面的“對(duì)角線法”，這是因?yàn)榕紨?shù)階幻方?jīng)]有105中心元，雖然兩條對(duì)角線的元素之和相等（等于（116）16（24）=34）， 但旋轉(zhuǎn) 45 度后形成不了十字架，因此“對(duì)角線法”就不存在。這里只介紹前人研究得到四階幻方的兩種制作方法：12 3 4 1623

10、131 15 14 456 7 85 11 10 812 6 7 99 10 11 12976 128 10 11513 14 15 16圖（12 ）4 14 15 1圖（13 ）13 3 2 16圖（14 ）我們先將這 16 個(gè)數(shù)按自然順序排成一個(gè)正方形（圖（12）所示），它的兩條 對(duì)角線上的數(shù)字之和已經(jīng)等于 34，將每條對(duì)角線上的元素都進(jìn)行中心對(duì)稱交換， 這樣得到的圖（13）已經(jīng)符合要求。另一種是四周不位于角上八個(gè)元素做正方形 的中心對(duì)稱交換，得到符合要求的圖（14）。四、幻方欣賞1、母子幻方31 36 29 76 81 74 13 18 1130 32 34 75 77 79 12 14

11、 1635 28 33 80 73 78 17 10 1522 27 20 40 45 38 58 63 5621 23 25 39 41 43 57 59 6126 19 24 44 37 42 62 55 6067 72 65 4 9 2 49 54 4766 68 70 3 5 7 48 50 5271 64 69 8 1 6 53 46 51圖（15 ）這個(gè)幻方由 9 個(gè)小幻方組成，整體本身也是一個(gè) 9 階幻方。2、歐拉象棋馬周游世界幻方1061 48 31 50 33 16 63 183051 46 3 62 1914 3547 2 49 32 15 34 17 64 52 29 4

12、 45 20 61 36 13 5 44 25 56 9 40 21 60 28 53 8 41 24 57 12 3743 655 26 39 10 59 2254 27 42 7 58 23 38 11圖（16 ）這個(gè)幻方是倫哈德歐拉在 18 世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的。它由 4 個(gè)小幻方構(gòu)成，也是一 個(gè)母子幻方。這個(gè)幻方的奇妙之處是，如果按照國(guó)際象棋中馬的走法，馬從數(shù)字 1 開始，可以依次到達(dá)從 1 到 64 的每一個(gè)數(shù)。所以人們把它稱之為“歐拉象棋 馬周游世界幻方”。3、六角幻方這個(gè)幻方是一個(gè)叫阿當(dāng)斯的美國(guó)人發(fā)現(xiàn)的，發(fā)現(xiàn)這個(gè)幻方，阿當(dāng)斯耗費(fèi)了 47 年的業(yè)余時(shí)間。不僅如此，美國(guó)研究幻方的專家馬丁加德納

13、還證明了六角 幻方僅此一個(gè)再無其它。1514 139 8 106 411 5 121 218 7 1617 193五、其它形式的幻方例 2.把 1、2、3、4、5、6、7 分別填入下面圖中的圓圈里，使每條線上的 3 個(gè)圓圈里數(shù)的和相等。107分析與解：填數(shù)的關(guān)鍵是確定圖形中心位置圓圈里的數(shù)。設(shè)中心圓圈里的數(shù)是 a，由于 a 一共加了三次，所以有：12345672a282a又由于每條線上的三個(gè)圓圈里數(shù)的和相等，那么 282a 能被 3 整除。而 28 2a39（12a），12a 就能被 3 整除，因此，a 是 1 或 4 或 7。36171672154 26453 25743例2 圖1例2 圖2

14、例2 圖3當(dāng) a 是 1 時(shí)，每條線上的三個(gè)圓圈里數(shù)的和是（282）310，每條線上 另兩個(gè)數(shù)的和是 9，所以把剩下數(shù)分為三組：2 和 7、3 和 6、4 和 5，分別填入 就可以得出一種填法，見上面的圖 1。當(dāng) a 是 4 時(shí)，每條線上的三個(gè)圓圈里數(shù)的和是（288）312，每條線上 另兩個(gè)數(shù)的和是 8，所以把剩下數(shù) 分為三組：1 和 7、2 和 6、3 和 5，分別填入 就可以得出一種填法，見上面的圖 2。當(dāng) a 是 7 時(shí)，每條線上的三個(gè)圓圈里數(shù)的和是（2814）314，每條線 上另兩個(gè)數(shù)的和是 7，所以把剩下的數(shù)分為三組：1 和 6、2 和 5、3 和 4，分別 填入就可以得出一種填法，

15、見上面的圖 3。這是一道輻射型的數(shù)陣，要填的數(shù)還可以是其它的一些數(shù)。一般來說，這幾 個(gè)數(shù)是有限等差數(shù)列的數(shù)，其解題思路與這道例題的思路完全相同。例 3 把數(shù)字 1、2、3、4、5、6 填到下面圖中的圓圈中，使每條線上 3 個(gè)數(shù) 的和相等。108分析與解：填數(shù)的關(guān)鍵是確定圖形 3 個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)。1124656453322 43325 416 516圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）設(shè) 3 個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)分別為 a、b、c，每條線上 3 個(gè)數(shù)的和為 k，把 3 條線上 的數(shù)相加得：12345621（abc）3k可以看出（abc）能被 3 整除，并且 k=7（abc）3。當(dāng) a、b、c 分別是 1、2、3 時(shí)，123=6，6 能被 3 整除，并且 k=9。把 1、 2、3 分別填到圖形的三個(gè)頂點(diǎn)圓圈里，再用 9 減去兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)，就可以確 定中間的數(shù)是什么，從而得到一種填法。如上面的圖 1。當(dāng) a、b、c 分別是 1、3 、5 時(shí)，135=9，9 能被 3 整除，并且 k=10。把 1、3、5 分別填到圖形的三個(gè)頂點(diǎn)圓圈里，再用 10 減去兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)，就可 以確定中間的數(shù)是什么，從而得到一種填