江蘇省南京師大附中2019屆數(shù)學(xué)高考模擬試題(含答案)

1、江蘇省南京師大附中 2019 屆高三數(shù)學(xué) 5 月最后一卷試題(滿分 160 分，考試時間 120 分鐘)20195一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分1. 已知集合 ax|x|1，xz，bx|0x2，則 ab_2. 已知復(fù)數(shù) z(12i)(ai)，其中 i 是虛數(shù)單位若 z 的實部與虛部相等，則實數(shù) a 的值為_3. 某班有學(xué)生 52 人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為 4 的 樣本已知 5 號、31 號、44 號學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個學(xué)生的編號是_4. 3 張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎甲、乙兩人同時各抽取 1 張獎券，兩人 都

2、未抽得特等獎的概率是_5. 函數(shù) f(x) xlog (1x)的定義域為_26. 如圖是一個算法流程圖，則輸出 k 的值為_(第 6 題)(第 7 題)7. 若正三棱柱 abca b c 的所有棱長均為 2，點 p 為側(cè)棱 aa 上任意一點，則四棱錐 pbcc b1 1 1 1 1 1的體積為_8. 在平面直角坐標系 xoy 中，點 p 在曲線 c：yx310x3 上，且在第四象限內(nèi)已 知曲線 c 在點 p 處的切線方程為 y2xb，則實數(shù) b 的值為_9. 已知函數(shù) f(x) 3sin(2x )cos(2x )(0 0，b0)有相同的焦點，其左、右焦點分別2 a2 b2為 f ，f .若橢圓

3、與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為 p ，且 f p f f ，則雙曲線的離心率為 1 2 1 1 2_112. 在平面直角坐標系 xoy 中，點 a 的坐標為(0，5)，點 b 是直線 l：y x 上位于第一2象限內(nèi)的一點已知以 ab 為直徑的圓被直線 l 所截得的弦長為 2 5，則點 b 的坐標為 _13. 已知數(shù)列a 的前 n 項和為 s ，a 1，a 2，an n 1 2 n2an2，n2k1，kn*， 則2an，n2k，kn*，滿足 2 019s 3 000 的正整數(shù) m 的所有取值為_m 14. 已知等邊三角形 abc 的邊長為 2，am2mb，點 n，t 分別為線段 bc，ca 上的動

4、點， 則abntbctmcamn取值的集合為_二、 解答題：本大題共 6 小題，共 90 分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或 演算步驟15. (本小題滿分 14 分)如圖，在平面直角坐標系 xoy 中，以 x 軸正半軸為始邊的銳角 的終邊與單位圓 o 交于點 a，且點 a 的縱坐標是1010.553(1) 求 cos( )的值；4(2) 若以 x 軸正半軸為始邊的鈍角 的終邊與單位圓 o 交于點 b，且點 b 的橫坐標為 ，求 的值16. (本小題滿分 14 分)如圖，已知正方形 abcd 和矩形 acef 所在的平面互相垂直，ab 2，af1，m 是線段 ef 的中點求證：(1)

5、am平面 bde；(2) am平面 bdf.17. (本小題滿分 14 分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以 o 為圓 心的半圓及直徑 ab 圍成在此區(qū)域內(nèi)原有一個以 oa 為直徑、c 為圓心的半圓形展示區(qū)，該 廣告商欲在此基礎(chǔ)上，將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū) copq，其中 p，q 分別在半圓 o 與 半圓 c 的圓弧上，且 pq 與半圓 c 相切于點 q.已知 ab 長為 40 米，設(shè)bop 為 2 .(上述圖形 均視作在同一平面內(nèi))(1) 記四邊形 copq 的周長為 f( )，求 f( )的表達式；(2) 要使改建成的展示區(qū) copq 的面積最大

6、，求 sin 的值1 2118. (本小題滿分 16 分)x2 y2在平面直角坐標系 xoy 中，已知橢圓 c： 1(ab0)的左、右焦點分別為 f ，f ，a2 b2且點 f ，f 與橢圓 c 的上頂點構(gòu)成邊長為 2 的等邊三角形1 2(1) 求橢圓 c 的方程；(2) 已知直線 l 與橢圓 c 相切于點 p，且分別與直線 x4 和直線 x1 相交于點 m， nfn.試判斷 是否為定值，并說明理由mf11 nn2nnn19. (本小題滿分 16 分)n（n1）n（b b ）已知數(shù)列a 滿足 a a a 2 2 (nn*)，數(shù)列b 的前 n 項和 s 1 2 n n n(nn*)，且 b 1，

7、b 2.1 2(1) 求數(shù)列a 的通項公式；n(2) 求數(shù)列b 的通項公式；n1 1(3) 設(shè) c ，記 t 是數(shù)列c 的前 n 項和，求正整數(shù) m，使得對于任意的 nna b bn n n1均有 t t .m n*20. (本小題滿分 16 分)設(shè) a 為實數(shù)，已知函數(shù) f(x)axex，g(x)xln x.(1) 當(dāng) a0 恒成立，求 b 的 取值范圍；(3) 若函數(shù) h(x)f(x)g(x)(x0，xr)有兩個相異的零點，求 a 的取值范圍1 02019 屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題(滿分 40 分，考試時間 30 分鐘)21. 【選做題】 在 a，b，c 三小題中只能選做兩題，每小題

8、10 分，共 20 分若多做， 則按作答的前兩題計分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟a. (選修 42：矩陣與變換) 已知矩陣 a1 10 1 ，二階矩陣 b 滿足 ab 0 1 .(1) 求矩陣 b；(2) 求矩陣 b 的特征值b. (選修 44：坐標系與參數(shù)方程)設(shè) a 為實數(shù)，在極坐標系中，已知圓 2asin (a0)與直線 cos( )1 相切，4求 a 的值c. (選修 45：不等式選講)求函數(shù) y 1x 3x2的最大值【必做題】 第 22，23 題，每小題 10 分，共 20 分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證 明過程或演算步驟22. 如圖，在四棱錐 pabcd 中，p

9、a平面 abcd，abcbad90，adap4，ab bc2，點 m 為 pc 的中點(1) 求異面直線 ap 與 bm 所成角的余弦值；4(2) 點 n 在線段 ad 上，且 an ，若直線 mn 與平面 pbc 所成角的正弦值為 ，求 的5值23. 在平面直角坐標系 xoy 中，有一個微型智能機器人(大小不計)只能沿著坐標軸的正 方向或負方向行進，且每一步只能行進 1 個單位長度，例如：該機器人在點(1，0)處時，下 一步可行進到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)這四個點中的任一位置記該機器人從坐 標原點 o 出發(fā)、行進 n 步后落在 y 軸上的不同走法的種數(shù)為 l(n)(1)

10、 求 l(1)，l(2)，l(3)的值；(2) 求 l(n)的表達式222019 屆高三模擬考試試卷(南師附中) 數(shù)學(xué)參考答案及評分標準1. 0，1 2. 3 3. 18 4.1 4 3 5. 0，1) 6. 3 7.3 38. 13 9. 2 10.2 218 11. 12. (6，3) 13. 20，21 14. 6215. 解：因為銳角 的終邊與單位圓 o 交于點 a，且點 a 的縱坐標是10.所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知 sin 103 10從而 cos 1sin .(3 分)101010，553 3 3 3 10 2 10 2(1) cos( )cos cos sin sin (

11、 ) 4 4 4 10 2 10 2.(6 分)(2) 因為鈍角 的終邊與單位圓 o 交于點 b，且點 b 的橫坐標是5 2 5所以 cos ，從而 sin 1cos .(8 分) 5 555，于是 sin( ) sin cos cos sin 10 5 3 10 2 5 ( ) 10 5 10 522.(10 分) 3因為 為銳角， 為鈍角，所以 ( ， )，(12 分)2 23從而 .(14 分)416. 證明：(1) 設(shè) acbdo，連結(jié) oe， 四邊形 acef 是矩形， efac，efac. o 是正方形 abcd 對角線的交點， o 是 ac 的中點又點 m 是 ef 的中點， e

12、mao，emao. 四邊形 aoem 是平行四邊形， amoe.(4 分) oe平面 bde，am平面 bde，2 2 22 2 222 2 2 am平面 bde.(7 分)(2) 正方形 abcd， bdac.平面 abcd平面 acefac，平面 abcd平面 acef，bd bd平面 acef.(9 分)平面 abcd， am平面 acef， bdam.(10 分)正方形 abcd，ad 2， oa1.由(1)可知點 m，o 分別是 ef，ac 的中點，且四邊形 acef 是矩形 af1，四邊形 aomf 是正方形，(11 分) amof.(12 分)又 ambd，且 ofbdo，of平

13、面 bdf，bd平面 bdf， am平面 bdf.(14 分)17. 解：(1) 連結(jié) pc.由條件得 (0， )2在poc 中，oc10，op20，poc 2 ，由余弦定理，得pc oc op 2ocopcos( 2 )100(54cos 2 )(2 分)因為 pq 與半圓 c 相切于點 q，所以 cqpq，所以 pq pc cq 400(1cos 2 )，所以 pq20 2cos .(4 分) 所以四邊形 copq 的周長為 f( )cooppqqc4020 2cos ，即 f( )4020 2cos ， (0， )(7 分)2(沒寫定義域，扣 2 分)(2) 設(shè)四邊形 copq 的面積為

14、 s( )，則s( )s 100( 2cos 2sin cos )， (0， )(10 分) ocp qcp所以 s( ) 100( 2sin 2cos 2sin ) 100( 4sin 2)， (0， )(12 分)2 2sin 令 s(t)0，得 sin 列表：34 28.sin (0，34 28)34 28(34 28，1)s( )s( )增0最大值減答：要使改建成的展示區(qū) copq 的面積最大，sin 的值為34 28.(14 分)18. 解：(1) 依題意，2ca2，所以 c1，b 3，x2 y2所以橢圓 c 的標準方程為 1.(4 分)4 3(2) 因為直線 l 分別與直線 x4

15、和直線 x1 相交，2 2 2111 2n1 nn1 nnn2n所以直線 l 一定存在斜率(6 分)設(shè)直線 l：ykxm，ykxm，由 得(4k 3)x 8kmx4(m 3)0.3x24y212，由 (8km)24(4k23)4(m23)0，得 4k23m20 .(8 分)把 x4 代入 ykxm，得 m(4，4km)，把 x1 代入 ykxm，得 n(1，km)，(10 分)所以 nf |km|，1mf （41）2（4km）2 9（4km）2 ，(12 分)1由式，得 3m24k2 ，把式代入式，得 mf 4（km）22|km|，1nf |km| 1 nf 1 ，即 為定值 .(16 分)m

16、f 2|km| 2 mf 21 11219. 解：(1) a 2 2 2；(2 分)1n（n1）a a a a 2 2當(dāng) n2 時，a 2n.a a a （n1）n1 2 n12 2所以數(shù)列a 的通項公式為 a 2n(nn*)(4 分)n nn（b b ）(2) 由 s ，得 2s n(b b ) ，1 n所以 2s (n1)(b b )(n2) .n1 1 n1由，得 2b b nb (n1)b ，n2，n 1 n n1即 b (n2)b (n1)b 0(n2) ，1 n n1所以 b (n3)b (n2)b 0(n3) .1 n n1由，得(n2)b 2(n2)b (n2)b 0，n3，(

17、6 分)n n1 n2因為 n3，所以 n20，上式同除以(n2)，得b 2b b 0，n3，n n1 n2即 b b b b b b 1，n1 n n n1 2 1所以數(shù)列b 是首項為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，n故 b n，nn*.(8 分)n1 1 1 1 1 n（n1）(3) 因為 c 1，(10 分)a b b 2n n（n1） n（n1） 2nn n n1所以 c 0，c 0，c 0，c 0，c 0.1 2 3 4 5n（n1）記 f(n) ，2n（n1）（n2） n（n1） （n1）（n2）當(dāng) n5 時，f(n1)f(n) 0，2n1 2n 2n156所以當(dāng) n5 時，數(shù)列f(

18、n)為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng) n5 時，f(n)f(5) 1.25na01 n（n1）從而，當(dāng) n5 時，c 10.(14 分)n（n1） 2n因此 t t t t t 1 2 3 4 4 5 6所以對任意的 nn*，t t .4 n綜上，m4.(16 分)(注：其他解法酌情給分)20. 解：(1) 當(dāng) a0 時，因為 f(x)a(x1)ex，當(dāng) x0；當(dāng) x1 時，f(x)0，所以 aex2xb 對任意的 a1 及任意的 x0 恒成立由于 ex0，所以 aexex，所以 ex2xb 對任意的 x0 恒成立(4 分)設(shè) (x)ex2x，x0，則 (x)ex2，所以函數(shù) (x)在(0，ln 2)上單調(diào)

19、遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以 (x) (ln 2)22ln 2，min所以 b22ln 2.(6 分)1 （x1）（axex1）(3) 由 h(x)axexxln x，得 h(x)a(x1)ex1 ，其x x中 x0.若 a0 時，則 h(x)0，所以函數(shù) h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù) h(x)至 多有一個零零點，不合題意；(8 分)1若 a0.a由第(2)小題知，當(dāng) x0 時，(x)ex2x22ln 20，所以 ex2x，所以 xex2x2，所以當(dāng) x0 時，函數(shù) xex的值域為(0，)所以存在 x 0，使得 ax ex 10，即 ax ex 1 ，0 0 0 0 0且當(dāng)

20、 x0，所以函數(shù) h(x)在(0，x )上單調(diào)遞增，在(x ，)上單調(diào)遞減 0 0 0因為函數(shù)有兩個零點 x ，x ，1 2所以 h(x) h(x )ax ex x ln x 1x ln x 0 .max 0 0 0 0 0 0 01設(shè) (x)1xln x，x0，則 (x)1 0，所以函數(shù) (x)在(0，)上單x調(diào)遞增由于 (1)0，所以當(dāng) x1 時，(x)0，所以式中的 x 1.01又由式，得 x ex .0 01由第(1)小題可知，當(dāng) ae，a1即 a( ，0)(11 分)e1當(dāng) a( ，0)時，e11 aee 1 1(i) 由于 h( ) ( 1)0，所以 h( )h(x )0.e e

21、e e00000 0 001因為 1e，a a a a a設(shè) f(t)ettln t，te，1由于 te 時，ln t2t，所以設(shè) f(t)0，即 h( )1 時， x ex x ，且 h( )h(x )0，a a同理可得函數(shù) h(x)在(x ，)上也恰有一個零點01綜上，a( ，0)(16 分)e2 2 2 2 24 62019 屆高三模擬考試試卷(南師附中) 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標準21. a. 解：(1) 由題意，由矩陣的逆矩陣公式得 ba11 10 1.(5 分)(2) 矩陣 b 的特征多項式 f( )( 1)( 1)，(7 分)令 f( )0，解得 1 或1，(9 分)所以矩陣

22、b 的特征值為 1 或1.(10 分)b. 解：將圓 2asin 化成普通方程為 x y 2ay，整理得 x (ya) a .(3 分)將直線 cos( )1 化成普通方程為 xy 20.(6 分)4|a 2|因為相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即 a，(9 分)2解得 a2 2.(10 分)c. 解：因為( 1x 3x2)2( 33x1 3x2 1) 321 20(33x3x2)( 1) ，(3 分)3 32 15所以 y 1x 3x2 .(5 分)333x 3x2 7 2當(dāng)且僅當(dāng) ，即 x ，1時等號成立(8 分)1 1 12 332 15所以 y 的最大值為 .(10 分)322. 解：(1) 因為 pa平面 abcd，且 ab，ad 平面 abcd，